变的是形式 不变的是本质

宋柏锋

数学问题的变化往往是變化题目的条件或结论，转换问题的内容和形式，而不更换问题的本质特征. 因此，真正理解加权平均数、中位数、众数、方差等的定义，是准确选择统计量和计算均衡程度统计量的关键本质.

一、选择统计量的关键

关键1：与数据位置有关选中位数

例1 在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名选手成绩的（）.

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

解析：中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数据的影响. 部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的集中趋势，常应用于“选拔”“录取”等生活情境. 故选B.

关键2：与数据集中度有关选众数

例2 要在某校选择256名身高基本相同的女同学组成表演方队，在这个问题中最值得我们关注的是该校所有女生身高的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）.

解析：众数是数据中出现次数最多的数，受极端值影响较小. 在这个问题中最值得关注的是队伍的整齐度，身高必须差不多. 故填众数.

关键3：方差不是越小越好

例3 某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近 10 次成绩的平均数相同，且在“区运动会跳高纪录”附近，若甲跳高成绩的方差为[s2甲] = 65.84，乙跳高成绩的方差为[s2乙] = 285.21，那么单从方差的角度看，为了打破“区运动会跳高纪录”应选参加区运动会.

解析：方差越小越稳定，但在实际问题中，未必越稳定越好. 尤其是在选拔竞技比赛的运动员时，若每名备选运动员的平均水平相当，且都高于对手，则应选择方差小、发挥稳定的队员. 若每名备选运动员的平均水平相当，且都低于对手，则要选择方差大、发挥不稳定的队员. 因为在对手稳定发挥的前提下，只有超常发挥才有机会战胜对手赢得比赛. 故填乙.

二、均衡程度统计量计算的关键

关键1：精准判断加权平均数中的“权”

例4 （2023·湖南·湘潭）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面. 其中教学设计占20%，现场展示占80%. 某参赛教师的教学设计为90分，现场展示为95分，则她的最后得分为（）.

A. 95分 B. 94分 C. 92.5分 D. 91分

解析：加权平均数是将各数值乘相应的权数，然后相加求和，再除以总数.  加权平均数的权数常常以百分比、比值、频数的方式出现.  90 × 20% + 95 × 80% = 94（分）. 故选B.

关键2：精准把握中位数中的“位”

例5（2023·湖南·张家界）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88，则这8名选手决赛成绩的中位数是___________________.

解析：中位数又称中值，是按一定顺序排列的一组数据中居于中间位置的数. 将数值由高到低或由低到高排序，是求解中位数相关问题的前提. 故填92.5.

关键3：灵活掌握方差计算公式

例6 已知一组数据x1，x2，x3的方差是2，那么另一组数据2x1 - 4，2x2 - 4，2x3 - 4的方差是__________________.

解析：如果 x1，x2，…，xn的方差为 s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，x1- a，x2 - a，…，xn - a的方差为s2. 故填8.

关键4：严谨掌握极差的计算

例7 一组数据-3，1，2，x的极差为6，则x的值为__________________.

解析：极差是用来评价一组数据离散程度的统计量，是用一组数据中的最大值减去最小值得到的. 一组数据的极差受极端值的影响较大.

这组数据的极差为 6，而2 - （-3） = 5，由此可知未知数 x 是最值，可能是最大值，也可能是最小值，因此分两种情况讨论得出答案 . 故填3或-4.

分层作业

难度系数：★★解题时间：4分钟

1. 已知一组数据2，1，x，6的中位数是3，则x的值为__________________.

2. 某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元，某天的销售情况如右图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是__________________元. （

（作者单位：大连市第三十七中学）