一次函数图象的平移变换探究

陈建兰

真题呈现

例 （2022·辽宁·阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化. 下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整. （1）如图1，将一次函数[y=x+2]的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移 个单位长度；（2）将一次函数[y=-2x+4]的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 （填“左”或“右” ） 平移了 个单位长度；（3）综上，对于一次函数[y=kx+b（k≠0）]的图象而言，将它向下平移[m（m>0）]个单位长度，相当于将它向 （填“左”或“右”）[（k>0]时）平移了 个单位长度或将它向 （填“左”或“右”）[（k<0]时）平移了 个单位长度．

解析：（1）将一次函数[y=x+2]的图象向下平移1个单位长度，得到[y=x+2-1=（x-1）+2]，相当于将它向右平移了1个单位长度.

（2）将一次函数[y=-2x+4]的图象向下平移1个单位长度，得到y = -2x + 4 - 1 =       -2[x+12] + 4，相当于将它向左平移了[12]个单位长度.

（3）综上，对于一次函数[y=kx+b] [（k≠0）]的图象而言，将它向下平移[m（m>0）]个单位长度，对应的直线解析式为[y=kx+b-m=kx-mk+b]. [当k>0时]，相当于将它向右平移了[mk]个单位长度；[当k<0时，]相当于将它向左平移了[mk]个单位长度.

总结规律

1. 一般地，一次函数y = kx + b的图象是由正比例函数y = kx的图象沿y轴向上（b > 0）或向下（b < 0）平移[b]个单位长度得到的一条直线.

2. 将直线[y=kx+b（k≠0）]向下平移m（m > 0）个单位长度后，直线对应的解析式为[y=kx+b-m]；向上平移[m（m>0）]个单位长度后，直线对应的解析式为[y=kx+b+m]. 这就是我们所说的“上加下减”的规律.

3. 我们将[y=kx+b-m]变形为[y=kx-mk+b]，可以看出：[当k>0时]，相当于将它向右平移了[mk]个单位长度；[当k<0时]，相当于将它向左平移了[mk]个单位长度.

我们将[y=kx+b+m]变形为[y=kx+mk+b]，可以看出：[当k>0时]，相当于将它向左平移了[mk]个单位长度；[当k<0时，]相当于将它向右平移了[mk]个单位长度.

4. 由上可知：将直线[y=kx+b]（k ≠ 0）向左平移[n（n>0）]个单位长度后，对应直线的解析式为[y=k（x+n）+b]；向右平移[n（n>0）]个单位长度后对应直线的解析式为[y=k（x-n）+b].这就是我们所说的“左加右减”的规律.

分层作业

难度系数：★★ 解题时间：5分钟

1. 在平面直角坐標系中，若将一次函数[y=2x+m-1]的图象向左平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则[m]的值为（ ）.

A. [-5] B. 5 C. [-6] D. 6

2. 若直线[y=x]向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则[m]的值为 .

3. 将直线[y=5x]向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）.

A. [y=5x-2] B. [y=5x+2] C. [y=5（x+2）] D. [y=5（x-2）]

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

4. 将直线[y=-x+1]向左平移[m（m>0）]个单位长度后，经过点（1，-3），则[m]的值为 .

5. 将直线[y=2x+1]向上平移2个单位长度，相当于（ ）.

A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度

C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度