用轴对称求线段和最值之锦囊妙计

陈立娜

本溪市第十二中学孟丽娜老师的直播课“用轴对称解决线段和最小问题”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升.

观看了孟丽娜老师的直播课，受益颇多. 用轴对称解决线段和最值问题的本质是“两点之间，线段最短”，关键是抓住动点所在的直线. 我们可以想象动点像一条小船飘荡在一条河上，我们要先找到这条“河”，然后作某点关于这条“河”的对称点. 其实，垂直平分线、角平分线、等腰三角形底边上的中线就是这条天然的“河”，也是用轴对称求线段和最值之锦囊妙计.

锦囊一：以垂直平分线为“河”

例1 如图1，在[△ABC]中，[AB=3]，[AC=4]，[BC=5]，[EF]垂直平分[BC]，点[P]为直线[EF]上的任意一点，则[△ABP]的周长的最小值是.

解析：通过观察可以发现，动点P所在的直线EF即为所寻找的“河”，点B与点C关于直线EF对称.

连接CP，如图2，[∵][EF]垂直平分[BC]，[∴]BP = CP，

[∴]AP + BP = AP + CP，

[∴]当A，P，C三点共线時，[AP+CP]的值最小，

即[AP+BP]的值最小，最小值等于[AC]的长.

[∵][AC=4]，[∴][AP+BP]的最小值是[4]，

[∴][△ABP的周长的最小值为AP+BP+AB] = 4 + 3 = 7.

故应填7.

锦囊二：以角平分线为“河”

例2 如图3，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=6]，[BC=8]，AB = 10，AD平分[∠CAB]，交[BC]于点D，[E]，[F]分别是[AD]，[AC]上的动点，则[CE+EF]的最小值为．

解析：通过观察可以发现，角平分线AD为动点E所在的“河”，作点F关于直线AD的对称点[F']即可.

如图4，在[AB]上取点[F']，使[AF'=AF]，连接[EF']，过[C]作[CH⊥AB]，垂足为[H]，

[∵][S△ABC=12BC·AC=12BA·CH]，

[∴][CH=BC·ACBA=8×610=245].

[∵][AD]平分[∠CAB]，[∴][∠FAE=∠F'AE].

又[∵][AF'=AF]，[AE=AE，]∴[△FAE≌△F'AE]（SAS），

[∴][EF=EF'，][∴][EF+CE=EF'+CE，]

∴当[C]，[E]，[F']三点共线时，[EC+FE]的值最小，此时点F'与点H重合，EC + FE的最小值为CH的长，即[245]. 故应填[245].

锦囊三：以等腰三角形底边上的中线为“河”

例3 如图5，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，AD = 8，D是BC边上的中点. 若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC + PQ的最小值是．

解析：利用等腰三角形的“三线合一”，可以发现动点P所在的直线AD即为所寻找的“河”．

[∵]AB = AC，D是BC边上的中点，[∴]AD垂直平分BC.

[∵]P是AD上一动点，[∴]BP = CP．

如图6，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，

此时PC + PQ取最小值，最小值为BQ的长．

[∵][S△ABC=12BC·AD=12AC·BQ]，

[∴][BQ=BC·ADAC=12×810=9.6]．

故应填9.6.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：3分钟

如图7，等腰三角形[ABC]的底边[BC]长为[4]，面积是[12]，腰[AB]的垂直平分线[EF]分别交[AB]，[AC]于点[E]，[F]，若点[D]为底边[BC]的中点，点[M]为线段[EF]上一动点，则[△BDM]的周长的最小值为．

（答案见第39页）