利用角平分线构造翻折全等三角形

孙蕾

角是轴对称图形，角平分线所在直线是其对称轴，沿对称轴将图形翻折，可构造翻折全等三角形. 下面介绍三种基本模型及其应用.

模型解读

模型1：构造双垂直

如图1，P是∠AOB的平分线OM上的一点，PC⊥OA于点C.

辅助线作法：过点P作PD⊥OB于点D，得PC = PD，构造 △OPC ≌ △OPD.

模型2：构造单垂直

如图2，P是∠AOB的平分线OM上的一点，C为OA上的一点，且PC⊥OM于点P.

辅助线作法：延长CP交OB于点D，构造△OPC ≌ △OPD.

模型3：构造等长线段

如图3，P是∠AOB的平分线OM上的一点，C为OA边上任意一点，连接CP.

辅助线作法：在OB边上取一点D，使OD = OC，连接PD，构造△OPC ≌ △OPD.[O][C][A][P][B][D][图1][M] [O][C][A][P][B][D][图2][M] [O][C][A][P][B][D][图3][M]

模型应用

例1 如图4，在四边形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∠A + ∠OBC = 180°.求证：AC = BC.

解法1：结合模型1，构造双垂直.

过C作CM⊥OB，交OB的延长线于M，

过C作CN⊥OA于点N，如图5，∴∠BMC = ∠ANC = 90°.

∵CM⊥OB，CN⊥OA ，OC平分∠AOB，∴CM = CN.

∵∠A + ∠OBC = 180°，∠CBM + ∠OBC = 180°，

∴∠CBM = ∠A.

∵[∠CBM=∠A]，[∠BMC=∠ANC]，[CM=CN]，

∴△BMC ≌ △ANC（AAS），∴BC = AC.

解法2：結合模型3，构造等长线段.

在OA上取一点M，使OM = OB，连接CM，如图6.

∵∠MOC = ∠BOC ，∴△MOC ≌ △BOC，

∴CM = CB，∠CMO = ∠OBC.

∵∠OBC + ∠A = 180°，且∠CMO + ∠CMA = 180°，

∴∠A = ∠CMA，∴CM = CA.

∴CB = CA.

例2 如图7，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE = 90°. 求证：AE = AB + DE.

解法1：结合模型2，构造单垂直.

如图8，延长EC，AB交于F，可得∠FAC = ∠EAC，

易证△AFC ≌ △AEC（ASA），得AF = AE，CF = CE.

再证BC = DC，∠BCF = ∠DCE，可得△BCF ≌ △DCE，

则BF = DE，所以AE = AF = AB + BF = AB + DE.

解法2：结合模型3，构造等长线段.

如图9，在AE上取一点F，使AF = AB，连接CF.

因为AB = AF，∠BAC = ∠FAC，AC为公共边，

所以△ABC ≌ △AFC（SAS），得∠ACB = ∠ACF，BC = FC，

因为∠ACF + ∠ECF = ∠ACE = 90°，∠ACB + ∠ECD = 180° - ∠ACE = 180° - 90° = 90°，所以∠ECF = ∠ECD.

又因为EC为公共边，CD = BC = CF，

所以△EFC ≌ △EDC（SAS），可得EF = ED，所以AE = AF + EF = AB + ED.