三维可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性

侯东杰 赵奥明 陈亚洲

(北京化工大学数理学院, 北京 100029)

引 言

气液两相流或多相流在化学工程、航空航天、微生物等工业领域有着重要的应用价值,吸引了大量学者对其进行研究。 与单相流相比,两相流的研究由于存在扩散界面和相互作用而变得更加复杂。1958 年,Cahn 和Hilliard[1]引入界面自由能,提出著名的Cahn-Hilliard 方程来描述两种不混溶流体之间的扩散界面。 后来Lowengrub 等[2]在Cahn -Hilliard 方程中加入了流体运动与扩散界面的相互作用,提出了Navier-Stokes-Cahn-Hilliard(NSCH)方程,该方程可更好地刻画两种可压缩非混相流体流动的物理特性。 关于NSCH 方程的研究已经有很多。 Abels 等[3]使用文献[4]引入的框架,在不限制初值大小的情况下,证明了NSCH 方程在有界域上初边值问题弱解的存在性。 Chen 等[5]证明了一维可压缩NSCH 方程周期边值和混合边值问题解的适定性,随后Chen 等[6]又研究了三维周期边值问题强解的全局存在性及大时间行为。 王暐翼等[7]证明了带有van der Waals 状态一维NSCH 方程周期边值解的适定性。 另一种常用的非混相两相流模型是Navier-Stokes-Allen-Cahn 系统[8]。 以上两个模型的本质区别在于Navier-Stokes-Cahn-Hilliard 模型中关于相场的方程是一个四阶方程,它相对于ρφ是守恒的,而Navier-Stokes-Allen-Cahn 中的相场方程是一个非守恒的二阶方程。

在前人工作的基础上,本文主要研究三维可压缩NSCH 方程组的Cauchy 问题的适定性。 对于此类问题,我们克服了强非线性项带来的困难,在初值小扰动的条件下通过能量方法证明了全局强解的存在唯一性。

1 模型的构造及主要定理

考虑如下描述三维可压缩非混相两相流体流动的NSCH 偏微分方程组。

式中,ρ=ρ1+ρ2是混合流体总密度;u为流体的速度,且满足ρu=ρ1u1+ρ2u2,ui、ρi(i=1,2)分别为第i种组分的速度和密度;ϕ=ϕ1-ϕ2为组分间浓度差,ϕi=ρi/ρ;μ为化学势;T为Cauchy 应力张量;f为界面自由能密度。

式中,ν(ϕ) ＞0,λ(ϕ)≥0 为黏性系数,ν(·),λ(·)∈C3(R)且λ+≥0;S为牛顿黏性张力,D(u) =为应变张量;I为单位矩阵;压力p是关于密度ρ的函数,且满足p′(ρ) ＞0。

f的计算公式为

我们要研究的模型满足如下初始条件

式中,x= (x1,x2,x3),ρ为给定的一个正实数,|ϕ0| =1表示两相流的初始时刻浓度差ϕ0在无穷远处为1 或-1。 以下是本文的主要结论。

定理1如果初值(ρ0,u0,ϕ0)满足

则存在δ＞0,当

那么方程(1) ～(4)存在唯一解(ρ,u,ϕ)满足

且

式中,用Hl,l＞0 表示Hl(R3),L2表示L2(R3)。

2 主要定理的证明

证明定理1 全局解存在性的思路如下:在方程组局部解存在的基础上,运用能量估计方法得到解的一致估计,从而将其延拓到全局解。

2.1 局部解的存在性

令σ=ρ-ρ,∀M＞0,0 ＜T＜∞,构造解空间如下。

对方程组(1)采用线性化方法结合Schauder 不动点定理,可以得到如下局部强解的存在唯一性命题,这里略去证明,具体方法可参考文献[9]。

命题1∀M＞0,如果初始值(ρ0,u0,ϕ0)满足那么∃T*＞0,方程(1)在X2M([0,T*])内存在唯一局部解(ρ,u,ϕ)。

2.2 全局解的存在性

设(σ,u,ϕ)∈XM([0,T])为方程组(10)的局部解,将方程组(1)变形如下。

式中,

由解空间(9),结合Sobolev 嵌入定理可得,存在M0＞0 足够小,使得∀0 ＜M＜M0,从而有

命题2假设H2,则存在一个只依赖于初值和T的常数C,使得

命题2 的证明由以下4 个引理得到。

引理1若(σ,u,ϕ)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,则

证明:设

由式(15)和方程组(1)中第一式得到

方程组(1)中第二式乘以u再积分,结合式(16)可得

方程组(10)中第三式乘以μ,并运用(10)中第四式,可得

将式(17)、(18)相加,得到

由式(9)、(11)、(15)可得

将式(19)在[0,T]上积分,结合式(20)得

且

故可得式(14)。

在方程组(10)中第四式两边乘以-Δϕ,关于x积分得

由式(9)、(11)和Hölder 不等式得到

取M足够小,可得

结合式(23)、(21)得到式(13),引理1 得证。

引理2若(σ,u,ϕ)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,则

证明:将方程组(10)中第四式代入(10)中第三式,可得

由于

故可得

根据Hölder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式对(i=1,2,…,6)进行估计。

因此,可得到

其中

其中α满足

故

引理3若(σ,u,ϕ)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,则

其中,

用同样的方法可以对

进行估计,然后可得

故

用同样的方法可得

引理4若(σ,u,ϕ)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,则

式中,

由同样的方法可得

故

3 结束语

本文研究了三维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程组Cauchy 问题的适定性。 在初值小扰动的条件下,我们解决了相场ϕ在估计过程中带来的一些困难,证明了该方程全局解的存在唯一性。 该结果表明,在小扰动情况下,相分离状态保持不变。 本文结果可为非混相两相流的模拟计算提供理论基础。