例谈点电荷电场强度的叠加问题——由2023年高考全国乙卷理综第24题引发的思考

张照康 刘兴东

(1.武汉市育才高级中学;2.博乐市高级中学华中师大一附中博乐分校)

1.真题再现

【例1】(2023·全国乙卷·24)如图1,等边三角形△ABC位于竖直平面内,AB边水平,顶点C在AB边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下,BC边中点N处的电场强度方向竖直向上,A点处点电荷的电荷量的绝对值为q,求:

图1

(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断 3个点电荷的正负;

(2)C点处点电荷的电荷量。

本题主要以三个点电荷在平面内形成电场为背景,考查电场强度叠加问题的一般处理方法。

(2)求解C点处点电荷的电荷量有两种方法:

图3

2.平行四边形法则的应用

2.1 一般方法

图4

( )

【参考答案】B

图5

2.2 按组矢量合成

【例3】(改编自2022·全国乙卷·19)如图6,两对等量异号点电荷+q、-q(q>0)固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点,O为内切圆的圆心,M为切点。试判断L和N两点处的电场方向是否相互垂直?试求M点的电场方向?

图6

【参考答案】L和N两点处的电场方向相互垂直;M点的电场方向水平向左。

本题考查电场强度叠加问题,通过题目可以发现四个点电荷位置分布十分具有特点且电荷量大小相等,矢量合成过程中可根据求解问题先两个一组按组矢量合成,再进行矢量叠加。在判断L和N两点处的电场方向是否相互垂直问题时,可将两个正电荷、两个负电荷单独看成一组,两个正电荷、两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O,故N点的合场强方向由N指向O;两个正电荷、两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L,故L处的合场方向由O指向L;即L和N两点处的电场方向相互垂直。在求M点的电场方向问题时,可将上边电荷看成一组,底边电荷看成一组,底边的一组等量异号电荷在M点产生的场强方向向左;上边的一组等量异号电荷在M点产生的场强方向向右;M点离上边一组距离较远,则M点的场方向水平向左。

2.3 坐标系辅助法

【例4】(改编自2021·河北卷·10)如图7,四个电荷量均为q(q>0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点,其坐标分别为(4l,0)(-4l,0)(0,y0)和(0,-y0),其中x轴上的两个点电荷位置固定,y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0),试判断除无穷远处之外,菱形外部电场强度是否处处不为零?

图7

【参考答案】除无穷远处之外,菱形外部电场强度处处不为零。

本题考查电场强度叠加问题,通过题目可以发现四个点电荷位置分布十分具有特点,在判断菱形外部电场强度方向时可借助坐标系辅助解决。在判断位于菱形外部坐标轴上点的电场强度是否为零时,可在该点沿水平、竖直方向建立坐标系,发现四个点电荷产生的电场强度方向均指向某一坐标轴同侧,电场强度不可能为零。在判断位于菱形外部坐标轴上某点的电场强度是否为零时,可在该点沿平行最近菱形的边方向(x轴)和垂直该边方向建立坐标系,发现四个点电荷产生的电场强度方向均指向x轴外侧,电场强度不可能为零。综上所述,除无穷远处之外,菱形外部电场强度处处不为零。

2.4 立体空间中的矢量合成

【例5】(改编自2019·新课标Ⅲ卷·21)如图8,电荷量分别为q和-q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上,a、b是正方体的另外两个顶点,试判断a点和b点的电场强度大小与方向存在什么关系?

图8

【参考答案】a点和b点的电场强度大小相等,方向相同。

本题考查立体空间内的电场强度叠加问题,厘清几何关系有电场叠加的一般方法即可解答。正点电荷在a点产生的电场和负点电荷在b点产生电场,方向、大小均相等;正点电荷在b点产生的电场和负点电荷在a点产生电场,方向、大小也均相等;故矢量合成后(图9),a点和b点的电场强度大小相等,方向相同。

图9

3.其他常见求解方法

3.1 极限法

【例6】(改编自2022·江苏卷·9)如图10所示,正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷,电荷量相等,O是正方形的中心。现将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动,试判断“在移动过程中,O点电场强度变小”是否正确?

图10

【参考答案】不正确

本题考查极限法处理电场强度叠加问题,在一般方法的基础上引入极限思想,直接考虑开始和无穷远就有可能较为简单的解决问题。初始时,O是等量同种电荷连线的中点,场强为零;将A处的正点电荷沿OA方向移至无穷远处,O点电场强度不为零,故不正确。

3.2 模型法

【例7】(改编自2021·北京卷·9)如图11所示的平面内,有静止的等量异号点电荷,M、N两点关于两电荷连线对称,M、P两点关于两电荷连线的中垂线对称。试判断M点的场强与P点的场强大小关系?N点的场强与P点的场强关系?

图11

【参考答案】M点的场强与P点的场强大小相等;N点的场强与P点的场强相同。

本题用一般方法也能解答,但借助等量异种电场产生的电场关系可以更快地解答此题。根据等量异种点电荷的电场线分布(图12)特点得,M点的场强与P点的场强大小相等,N点的场强与P点的场强大小相等,方向相同。

图12

3.3 借助合场强为零时,场强之间关系

【例8】(改编自2011·重庆卷·19)如图13所示,电荷量为+q和-q的点电荷分别位于边长为a正方体的顶点,其中ABDC为正方体上表面,O1为上表面ABDC中心,O为正方体体心。现将A点电荷换为+q,其他点电荷不变。试求此时上表面ABDC中心O1处和正方体体心O处电场强度?

图13

3.4 借助等势线与电场方向的关系

【例9】(改编自2022·河北卷·6)如图14,真空中电荷量为2q和-q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点,形成一个以MN延长线上O点为球心,电势为零的等势面(取无穷处电势为零),P为MN连线上的一点,S为等势面与直线MN的交点,T为等势面上的一点。试求T点电场强度方向?

图14

【参考答案】T点电场强度方向为TO方向。

本题用一般方法很难解答,但借助等势线与电场方向的关系(等势线上点的电场方向总是垂直于等势线)与电势关系可以很快地解答此题。由于T为等势面上的一点,故T点电场强度方向为TO方向或者OT方向;由异种电荷电场线分布可知φS>φO,而φS=φT,故φT>φO;电场方向由高电势指向低电势,故T点电场强度方向为TO方向。

4.结束语