关于课程思政案例设计的思考与实践

刘敬刚，马新顺

（华北电力大学〔保定〕数理系，河北 保定 071003）

引言

为深入贯彻全国高校思想政治工作会议、全国教育大会精神，提高立德树人成效和人才培养质量，以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，根据教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》，要求充分挖掘课程所蕴含的思政教育元素，实现思政与课程教学深度融合，将价值塑造、知识传授和能力培养三者融为一体，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应，构建全员全程全方位育人大格局。课程思政元素的挖掘服务于立德树人根本任务，通过对教学内容的全面梳理，使课程教学回归知识传授、价值塑造和能力培养的统一，充分发挥课堂教学在育人中主渠道作用，着力将教书育人落实于课堂教学之中。基于“以学生发展为中心”的教育理念，围绕课程创新性、高阶性、挑战度建设目标，课堂教学要注重价值引领，实现传道授业解惑、育人育才的有机统一。

根据课堂教学内容凝练教学案例，定格案例教学内容及思政元素，通过精心的教学设计，在课堂教学过程中潜移默化进行思想价值引领。案例的凝练和教学设计要结合不同学科的课程特点、思维方法和价值理念，以培养学生的科学思维和创新精神为目标，在传授专业知识和培养能力过程中，达到润物无声的育人效果。本文以数学课程“线性代数”为例［1-2］，介绍课程思政教学案例通过基于课程内容的思政元素挖掘和基于思政元素的教学设计，实现“润思政”的教学效果。

一、贯彻课程思政，丰富授课载体

要使得所有课程都具有思政教育的功能，需要教师在传授专业知识和培养能力过程中加强思想价值引领作用，将思想价值引领贯穿于教学计划、课程标准、课程内容、教学评价等主要教学环节，不断地坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信。授课中将马克思主义理论与科学研究相互融合，用马克思主义基本观点有效地分析教育教学中的各类问题，从而实现思政课程之外的全员、全程、全方位育人新局面。教育的作用在于构建人的知识体系和能力要素，实现立德树人根本任务，既要培养科学思维，也要锻炼创新思维。专业课程教师在学生心中具有一定权威性，容易达到亲其师信其道的育人效果，因此在课程思政的实施过程中，可以达到较好的育人效果［3］。

“线性代数”是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，是高等学校工科各专业的一门重要基础理论课，在计算机技术快速发展和日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。数学理论具有天然的抽象性，数学哲学的基本目标是解释数学，数学哲学融入数学教育是数学课程进行课程思政建设的必然选择。每个人生来都是科学家，充满了探明事物关系的冲动，因此将前人智慧摆在学生面前时，更要给出摄取它的理由。

二、面向授课内容，挖掘思政元素

专业课程的任何一个授课内容，都包含积极向上的思想价值元素。线性代数课程的核心问题是线性方程组，下面围绕线性方程组及其消元解法，探讨如何实现课程内容与价值引领相融合。

需要将授课内容分解为更细小的知识点，对于线性方程组及消元法这个内容，可以分解为下列知识点：线性方程组及其一般形式；同解线性方程组；消元法；增广矩阵；应用拓展。基于知识点挖掘其中的育人元素，对于上述知识点有下列思政内容。

（一）激发历史自豪感，增强文化自信

通过介绍我国古代数学典籍《九章算术》《孙子算经》中有关线性方程组及消元法的研究成果，激发学生对中华优秀传统文化的历史自豪感和学习兴趣，增强文化自信。

（二）抓住问题本质，培养科学思维

运用“本质方法论”，在“学习—实践—复盘—优化”这四个步骤的反复过程中，深刻理解并有效解决实际问题［4］，具体支撑内容有：（1）线性的本质是“一次”；（2）方程组由其未知量系数和右端常数唯一确定；（3）消元法本质就是对增广矩阵做初等行变换；（4）方程组的本质可由同解的阶梯形方程组和同解的最简形方程组揭示。在讲授过程中启发学生透过现象看本质的思维方法，并在实践中把握事物本质和内在规律，抓住主要矛盾，培养科学思维。

（三）运用系统视角，树立大局意识

在线性方程组求解中，运用系统视角，不再像中学那样逐个对未知量进行求解，而是通过求出容易求解的同解方程组，实现对所有未知量的求解。这个过程中需要将线性方程组化为同解的阶梯形方程组和最简形方程组，阶梯形方程组可以完成对解存在性的判定，而最简形方程组可以给出方程组的通解。在这个过程中，要用主元将其下方所有的未知量系数都化为零，由此潜移默化培养学生的大局意识。

（四）感悟质量互变，打造科学精神

介绍线性方程组的应用和拓展内容：非线性问题可以局部线性化为线性方程组求解问题，连续问题可以离散化为线性方程组求解问题等。体会化繁为简，逐步求精，感悟脚踏实地、积少成多的质、量互变过程，打造科学精神。

三、瞄准思政元素，设计教学过程

课堂教学是将立德树人根本任务落到实处的主阵地，因此必须基于提炼出的思政元素精心进行教学设计，使学生在学习科学知识的同时，体会“四个正确认识”的精髓，即学会用正确的立场、观点和方法分析问题，把学习、观察、实践同思考紧密结合起来，善于把握历史和时代的发展方向、把握社会的主流和支流、现象和本质，养成历史思维、辩证思维、系统思维和创新思维。关于线性方程组及其消元解法的课程设计分为四个部分：引例，线性方程组，消元法，小结。具体教学过程如下。

（一）引例

【设计】通过数学典籍《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入二元一次方程组，其一可以引起学生的兴趣，其二可以让学生了解中华优秀传统文化。

【展示】

【板书】引例 我国1 500年前的数学著作《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

解：设鸡有x头，兔有y头，得

（二）线性方程组

【设计】总结引例给出的二元一次方程组的形式和结构，引导学生抓住其本质写出线性方程组的一般形式，培养类比、联想的能力。简单介绍线性方程组是线性代数课程研究的核心问题，引起学生对线性方程组的重视，抓住学习线性代数课程的主要矛盾。围绕线性方程组进行讨论，可以联系到线性代数课程的几乎所有内容。

【板书】线性方程组的一般形式：

（三）消元法

【设计】我国古代数学典籍《九章算术》就出现了消元法，继续激发学生的民族自豪感。

【讲述】我国古代的数学著作《九章算术》就出现了消元法，现在流传的是魏晋时刘徽为《九章算术》作的注本。

【展示】

【设计】以同解线性方程组的视角用消元法求解引例，联系并对比中学的消元过程，帮助学生建立大局观、培养系统思维方法。

【板书】引例

【设计】通过观察消元法求解过程，发现计算与未知量无关，故引入增广矩阵，并通过增广矩阵实现线性方程组的消元求解过程，引导学生抓住求解线性方程组的主要矛盾。

【板书】

——增广矩阵

结论如下：（1）增广矩阵和线性方程组一一对应。（2）消元过程，本质上就是对增广矩阵的行做运算，称之为增广矩阵的初等行变换。（3）求解过程规律明显，从而可以上升为“算法”：a.向下消元结束后所得增广矩阵，称为（行）阶梯形矩阵（零行在下方，主元〔行非零首元〕列指标随行指标的增加而严格增加）；b.向上消元结束后所得增广矩阵，称为（行）最简形矩阵（行阶梯形，主元都是1，主元所在列其他元素全为0）。

【板书】

注意到：（b）——阶梯形矩阵，（c）——最简形矩阵。

【设计】通过练习进行巩固后，总结线性方程组的一般求解过程，培养学生归纳总结的能力。注意到消元过程中，增广矩阵首先化为行阶梯形矩阵，为了实现目标，主元素要将其下方的所有非零元都变为零，这个事实可以引申为这些变为零的元素具有大局意识、核心意识、看齐意识。

【设计】最后，提出关于解的存在性判定条件等问题，让学生课下进行思考讨论，培养科学探索精神。

【板书】思考讨论：（1）有解、无解的条件是什么？（提示：阶梯形矩阵有无矛盾方程）（2）有解时，唯一解和多解的条件是什么？（提示：阶梯形矩阵非零行和未知量个数的关系）（3）求解过程的规律是否适用于所有线性方程组？

（四）小结

【设计】总结讲述的主要内容，强调重点、难点。对线性方程组的应用进行拓展，说明线性方程组的重要性，同时激发学生的探索精神。重点介绍非线性方程（组）的迭代解法，让学生了解到非线性方程组线性化所得为线性方程组，通过反复求解线性方程组，求得非线性方程组满足一定精度要求的近似解，即“简单”的重复生成复杂。由此体会质量互变过程，打造科学精神。

【讲述+展示】

本次课主要讲授了通过增广矩阵用消元法求解线性方程组；大量的科学研究和工程应用问题，最终往往归结为解线性方程组［4］，因此线性方程组的快速准确求解十分重要。

拓展：（1）由消元法设计的求解线性方程组的数值解法（将消元法的求解规律进行总结，得到顺序高斯消去算法、列主元高斯消去算法等）在计算数学中占有重要地位。（2）非线性问题求解的思路之一就是局部线性化，所得问题往往是线性方程组求解问题，如非线性方程组求根问题。（3）连续问题求近似解一般通过离散化实现，所得问题一般是线性方程组求解问题，如微分方程边值问题的数值求解。

四、总结育人成效，找准改进方向

课程思政教学案例需要在设计、实践、再设计这个反复过程中逐步完善，因此必须对每一版的案例设计进行教学效果总结与教学反思。对于线性方程组及其消元解法课程思政教学案例，经过教学实践发现：（1）让学生了解了我国古代数学的发展和成就，掌握了用增广矩阵实现消元求解线性方程组的方法；（2）激发了学生的历史自豪感，培养了学生抓住问题本质、运用系统思维解决问题的能力，了解了在复杂问题求解过程中的质量互变规律，从而达到增强文化自信、树立全局意识、养成科学思维方法和科学精神的目的。（3）线性方程组和增广矩阵的一一对应关系比较抽象，同时这个关系在求解方法的理解和掌握中十分重要，因此需要通过强化练习使学生能够较好地掌握这个内容。因此在后续教学中需要有针对性地对该案例进行改进和完善，从而可以更好服务于“线性代数”课程思政大局，服务于高质量完成立德树人根本任务。

结语

课程思政的案例设计是实现课程育人目标的基础。课程思政建设过程中，在课程“两性一度”建设目标基础上，回归知识传授、价值塑造和能力培养的多元统一。在课程思政案例设计的具体过程中，充分运用创新思维，以新思维催生新思路、以新思路谋求新发展、以新发展推动新方法、以新方法解决新问题，实现课程思政案例设计的创新发展，达到以文化人、润物无声的育人成效。