谈谈解答三角形取值范围问题的思路

柏爽

三角形取值范围问题比较常见，这类问题常与函数、三角函数、平面几何、解析几何、向量相结合.常见的命题形式：（1）求三角形中某条边、某个角的取值范围问题；（2）求三角形的周长、面积的取值范围.下面结合实例，谈一谈解答三角形取值范围问题的思路.

一、利用函数的性质

例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a>b>c，a2

解：∵a2

由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA，

∴b2+c2-2bc·cosA0，

我们根据a20，即可根据余弦函数的有界性以及三角形内角的取值范围，求得角A的取值范围.在解答与三角形的角有关的问题时，要注意挖掘一些关于角的隐含条件：三角形的内角和为180°，锐角的范围为（0，90°），钝角的范围（90°，180°）.

我们先根据正弦定理将边化为角，并将目标式化为用cosB表示；然后根据三角形内角的取值范围确定角B的取值范围，即可根据余弦函数的有界性和单调性求得目标式的取值范围.

解答本题，要根据正弦定理建立三角形边角之间的关系；然后用sinA表示三角形的周长，将问题转化为正弦函数的最值问题；再根据两角和的正弦公式和辅助角公式化简目标式；最后根据正弦函数的有界性、单调性，以及三角形内角的取值范围求得△ABC周长的取值范围.

例4.已知△ABC的内角A，B，C的對边分别为a，b，c，其中A为钝角，asinB=bcosB，求cosA+cosB+cosC的取值范围.

范围，才能利用函数的单调性和有界性求得目标式的取值范围.

二、利用基本不等式

解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，

∴3=a2+b2-ab，

∵a2+b2≥2ab，∴ab+3≥2ab，

在解答三角形取值范围问题时，要注意：（1）三角形的三边均为正数，且两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）灵活运用正余弦定理进行边角互化，使目标式中的边角统一；（3）根据已知条件和隐含条件减少目标式中边、角的个数，使目标式简化；（4）运用转化思想，将问题转化为最值问题来求解.