求解数列前n项和问题常用的技巧

史珍亮

求数列的前n项和问题具有较强的综合性，此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式.求数列前n项和的技巧很多，如裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和等.下面结合实例谈一谈下列三种技巧.

一、裂项相消

例1.设数列{an}，其前n项和Sn=-3n2，{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

二、错位相减

错位相减法是求数列前n项和常用的方法之一.该方法主要运用于求形如{an·bn}的数列的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列.先将数列{an·bn}的每一项乘以数列{bn}的公比；然后将其与数列{an·bn}的前n项和错位相减，即可将问题转化为等比数列求和问题.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足3bn+（n-4）an=0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}的首项b1=1，点P（bn，bn+1）满足2+bn=bn+1.

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn.

解：（1）an=2n，bn=2n-1；（过程略）

（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn

=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n，2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1，

=（3-2n）·2n+1-6.

故Tn=（2n-3）·2n+1+6.

由问题（1）可知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，则{anbn}的各项由等差、等比数列的对应项的积构成，于是采用错位相减法，首先列出Tn的表达式；然后列出2Tn的表达式；再将两式作差，通过错位相减求得-Tn.

三、分组求和

若问题中出现形如an=bn±cn的数列，其中{bn}、{cn}为等差、等比或常数列，便可以采用分组求和法，将数列中的各项进行拆分，再重新组合成几组，使得每一组为等差、等比或常数列，即可根据等差、等比数列的前n项和公式进行求和.

例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-3Sn+1+3，n∈N*.

（1）求证：an+2=3an；

（2）求Sn.

解：（1）过程略；

求出a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1后，可以發现在n取奇数、偶数时，对应的Sn不同，需采用分组求和法，将数列中的项分成两组，一组由奇数项构成，一组由偶数项构成，分别根据等比数列的前n项公式进行求和，得S2n、S2n-1，最后用分段式表示Sn.

裂项相消、错位相减、分组求和的适用情形以及用法均不相同，同学们在解题时要重点研究数列的通项公式，对其进行合理的变形，可将其拆分、裂项、乘以公比等，以便将复杂的数列求和问题转化为简单的计算问题，这样便能化难为易、化繁为简.