由一道二元最值问题引发的思考

钱桂红

二元最值问题中通常含有两个变量，我们无法直接运用基本初等函数的单调性求得最值，需灵活运用基本不等式、柯西不等式、判别式法、构造法等，才能顺利解题.下面结合一道例题，探讨一下求解二元最值問题常用的几种方法.

该目标式较为复杂，含有一次式、常数项、二次项，且涉及了两个变量.要求该式的最值，需灵活运用基本不等式、柯西不等式，根据一元二次方程的根的判别式进行分析.

一、基本不等式法

解法1.不妨设y=kx，

二、利用柯西不等式

三、判别式法

运用判别式法解答二元二次最值问题，需先引入参数，构造出二元二次方程；然后以其中一个变量为主元，根据一元二次方程有解，建立不等式Δ≥0，通过解不等式，求得参数的取值范围，即可确定目标式的最值.

则方程的根的判别式Δ=（y-m）2-4·2·（y2-my+3）≥0，

整理得7y2-6my+24-m2≤0.

设f（y）=7y2-6my+24-m，要使函数的值小于或等于0，需使函数的图象都与x轴有两个交点，即Δ=36m2-4·7（24-m2）≥0，

我们将目标式看作关于x的函数式，此时y，m为系数，根据一元二次方程2x2+x（y-m）+y2-my+3=0有解，得出判别式Δ≥0，即可得到关于y的不等式. 此时还需再次构造函数f（y）= 7y2-6my+24-m，根据其函数的图象判定Δ≥0，从而求得m的取值范围.

可见，解答二元最值问题，需灵活运用基本不等式、柯西不等式等工具，同时要学会将问题与函数、方程关联起来，根据一元二次方程的根的判别式、函数的性质来建立关系式.