基于方程误差最小二乘的制导航空炸弹高空气动参数辨识

朱豪坤，鱼小军，罗艳伟，肖 斌，任延超

(湖南云箭集团有限公司，湖南 长沙 410100)

0 引言

现代战机作战性能不断增强,作战空域不断提高,对制导航空炸弹的投放高度和飞行高度提出了更高的要求。随着高度的增加,大气变得更加稀薄,炸弹气动数据相对其在低空飞行时有所变化。通常可通过CFD数值计算和地面风洞试验两种方法提供全面的炸弹气动数据。然而,CFD数值计算方法在建模准确度、计算精度方面能力有限,风洞试验难以复现炸弹在高空动态飞行时的实际条件,所得炸弹气动数据与实际高空飞行时有一定差异,而通过参数辨识的方法从真实飞行数据中可辨识出更准确的炸弹气动参数[1-3]。

目前研究中,欧阳光等[4]以最小二乘法为辨识准则,通过分布线性搜索相结合的方法,基于飞行数据对常规布局飞机的气动参数进行了辨识;李寒冰等[5]以最小二乘法为准则,通过逐步回归的方法对小型飞翼式无人机的相关气动参数进行了辨识;Pinkelman等[6]利用最小二乘准则显著减小参数估计中偏差误差,对线性动态结构系统的时间序列模型进行了参数辨识。Ribeiro等[7]利用时域气动弹性系统最小二乘法辨识出飞行器的气动弹性参数,从而建立了气动弹性模型。Grauer等[8]利用递归最小二乘和时域数据确定稳定导数和控制导数的精确不确定度方法,提高了辨识的可信度。此外Dutra[9]利用了输出误差法对飞机的气动参数进行了辨识;Gandhi等[10]分别利用最小二乘回归、非线性回归、高斯回归等多种方法对垂直起降飞行器的气动参数进行了辨识。

文中参考已有研究成果,以制导航空炸弹为研究对象,针对其在高空稀薄大气飞行时气动模型不准的问题,基于方程误差最小平方准则,利用回归方法对其气动参数进行辨识。通过仿真算例验证了该方法的可行性。

1 辨识原理

方程误差法进行参数辨识的原理如图1所示,主要包括弹体运动、动力学模型、最小二乘辨识参数算法3个部分。涉及到的信号主要有:输入信号u、测量噪声v、观测状态x、观测方程z。其中输入信号u用来激活弹体短周期的运动模态,使飞行数据具备可辨识性。观测状态x通常为弹体输出的线速度、角速度、角加速度、攻角、侧滑角等飞行状态量。观测方程z为力与力矩系数方程,通常不可直接获取,需要通过动力学对飞行数据处理得到。

图1 方程误差法原理图Fig.1 Schematic diagram of equation error

所谓方程误差法就是利用动力学模型将弹体实测飞行数据转化为飞行过程中的力与力矩系数观测方程z,同时通过既定回归变量ξj和待辨识参数构造模型回归方程y,以观测方程和回归方程的误差作为优化目标的方法。以其误差平方和最小为目标,通过线性回归的手段对未知参数θ进行辨识。回归方程通常事先已知,其一般形式可表示为:

(1)

式中:θj为np=n+1个待辨识参数,j=1,2,…,n;i=1,2,…,N,N为数据观测的个数。将式(1)用向量的形式表示:

y=Xθ

(2)

式中:θ=[θ0,θ1,…,θn]T;X=[1,ξ1,…,ξn],为N×np的回归矩阵。

最小二乘法的应用,通常要求系统满足最小二乘的模型假设:

1)待辨识参数θ是一个未知常数参数的向量;

2)测量噪声v是一个随机向量,通常假设为零均值、不相关、方程不变的白噪声。

最小二乘意义上的最优估计来自于最小化测量值与模型回归方程输出值的差的平方和所对应的参数。其指标函数可表示为:

(3)

则最小化指标函数的参数估计必须满足:

(4)

式(4)表示的np个方程被称为正则方程,求解正则方程可得到最小二乘估计器:

(5)

矩阵XTX总是对称的。如果构成X的列的回归向量是线性独立的,那么XTX是正定的,XTX的特征值为正实数,相关的特征向量相互正交,对应的逆矩阵(XTX)存在。从式(4)中可以看出,代价函数相对于参数向量的二阶梯度是XTX,它是正定的,表示该点的代价函数是一个极小值而不是极大值。

2 试验及辨识算法设计

为保证炸弹飞行数据具备高可辨识性,需要对飞行试验进行设计,试验设计主要包括激励输入信号的设计和飞行数据采集设计。

输入激励信号设计是为了保证飞行源数据的可辨识性,因此要求输入激励信号能够充分激励弹体的短周期运动模态,使气动数据中的静态导数、控制导数、稳定导数充分解耦。弹体固有频率可通过CFD或风洞所得数据采用式(6)计算[11]。文中选用“3211”输入结构作为控制系统输入,激励弹体相关模态,其输入模型结构如式(7)所示。其中td为机动动作开始的时刻;Ad为输入的幅值,幅值的设计以可以充分激励弹体运动动态特性,又使弹体处于可控制范围之内为准则;ΔT为3211中“1”的时间长度,其选取原则是将“2”的脉冲宽度定为弹体固有模态频率一半的时间段。

(6)

(7)

飞行数据采集设计是为了获得足够充分、精确的飞行状态信息,作为辨识算法的输入。在基于最小二乘准则的方程误差法辨识中,辨识所需采集的数据包括但不限于:线加速度、角加速度、角速度、姿态角、动压、气动角。在实际工程中,线加速度和角速度可通过加速度计和陀螺仪测量;角加速度和姿态角分别通过角速度微分和积分获得;相对风速、动压和气动角可通过弹载嵌入式大气数据传感系统(FADS)测量。

在通过线性回归方法进行气动参数辨识中,采用无量纲气动力和力矩系数作为线性回归的因变量。对每个力或力矩系数都当成一个单独的线性回归问题来求解,对应于最小化炸弹六个自由度下每个运动方程的方程误差。由于气动力和力矩系数不能在飞行中直接测量,必须基于其他测量量通过动力学方程进行转换计算。必要的方程式如式(8)所示,对应图1中的观测方程z。

(8)

辨识用气动模型回归方程如式(9)所示:

(9)

基于最小二乘估计器的参数辨识算法由式(5)表示,下面以阻力系数cx的辨识过程举例进行详细说明:

(10)

其待辨识参数向量、观测向量、状态矩阵如式(10)所示。同样,根据式(9)和式(8)进行类似处理,可得cy,cz,mx,my,mz的辨识算法。

3 仿真验证

表1 炸弹物性参数Table 1 Physical parameter of bomb

(11)

炸弹初始投放高度为15 000 m,初始速度为300 m/s,初始姿态角、姿态角速度、气动角和线加速度均为0。炸弹离机飞行稳定后,高度约为14 500 m,在开环控制下在纵向平面做“3211”机动动作,幅值Ad=1°,单位间隔ΔT为由式(7)确定的自然震荡频率关系,选取仿真步长为0.02 s。

以飞行数据加上信噪比为5%信号强度的高斯白噪声,生成带噪声的炸弹纵向通道飞行数据。经过辨识算法所辨识的结果如表2所示。

表2 辨识结果Table 2 Identificational results

利用表2中的辨识结果,可以得到纵向气动参数的辨识预测输出,由辨识数据重构飞行弹道与原观测飞行数据对比如图2所示,由辨识预测输出与六自由度仿真观测输出的对比如图3所示。

图2 观测飞行数据与重构飞行数据Fig.2 Observed and reconstructed flight data

图3 观测数据与辨识预测Fig.3 Observational data and identificatinal prediction data

4 结论

针对制导航空炸弹气动模型在高空稀薄环境不准的问题,根据方程误差法,首先将观测数据通过动力学方程转换为气动参数观测方程输出,再通过已知的气动模型结构构造回归方程,进而以方程输出误差平方最小为准则推导参数寻优算法,最后基于高空纵向通道机动飞行仿真算例对算法进行了验证。仿真结果表明,该方法能够较好的辨识高空环境制导炸弹的气动参数,可为制导炸弹气动模型的确定提供参考,且方法简单易于实现,工程可实现性强。