怎样求一元一次不等式组的解集

陶高雅

一元一次不等式组是初中阶段的基础内容.同学们在求解一元一次不等式组问题时普遍存在一个问题就是：虽然能分别求出不等式的解，但最后往往不能正确给出不等式组的公共解集.那么怎样准确求出一元一次不等式组的解集呢？下面介绍三种常用方法.

一、数轴法

数轴法，即利用数轴直观确定一元一次不等式组的解集.其基本解答思路是：首先，求出不等式组中每个不等式的解集;然后，在数轴上画出每个不等式的范围;接着，找出所有不等式的公共部分;最后根据公共部分，确定出该不等式组的解集.

例1不等式组，的解集为______.

解：由 8x-10>3x ，可得x>2;

由 7x + 6<2（3x + 2），可得x<-2 .

把x> 2和x < -2在数轴上表示出来，

如图1所示，它们没有公共部分，

所以該不等式组无解，即解集为空集.

例2  不等式组的解集为______.

A.x≤1    B.x <3

C.l≤x<3    D.空集

解：解：由x-3（x-2）≥4，可得x≤1;

由1+2x>2（2x-1），可得x<3.

把x≤1和x<3在数轴上表示出来，如图2所示，

它们的公共部分为x≤l ，

所以该不等式组的解集为x≤l ，

故本题正确答案为A项.

评注：数轴法是确定不等式组解集的一种有效方法.在数轴上表示不等式的解集时，同学们要注意起点是实心点还是空心点.一般地，若不等式符号是“ > ”或“ < ”，则用空心点表示；若不等式符号是“≥”或“≤”，则用实心点表示.

二、观解法

观解法立足于数轴法却优于数轴法，它结合数轴箭头向右的特性，以及不等式组公共解集在数轴上呈现出两端向中间靠拢的特

征，将不等号开口方向统一向右.解题时，首先求出不等式组中每一个不等式的解集;然后，将所得解集中的不等式符号开口方向统一向右;接着，按照“左大右小”的原则，综合确定该不等式组的解集;最后，检查所求出的不等式组的解集，若不等式右边的数小于左边，则该不等式组无解.

例3  一元一次不等式组的解集是______.

解：由原不等式组可得

将不等式符号的开口统一向右，可得.

根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为1≤x<-2.

然而1≤x<-2并不成立，

所以该不等式组无解.

例4  一元一次不等式组，的解集是______.

解：由原不等式组可得

不等式开口统一向右，可得

根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为.

评注：运用观解法解答不等式组问题，省去了“作图—看图—表达”这一过程，可以快速准确地确定出解集.解题时要注意把每个不等式符号开口方向统一向右，并严格依照 “左大右小”的原则来确定解集，否则会影响解答结果.

三、口诀法

口诀法就是借助口诀来确定不等式组的

解集.它可以归纳为“同大取大，同小取小，小大大小中间寻，大大小小无解找”.其中，“同大取大”是指“不等式号同是大于号，不等式组的解集取较大的数”；“同小取小”是指“不等式号同是小于号，不等式组的解集取较小的数”；“小大大小中间寻”是指“小于大的数，大于小的数，不等式组的解集取这两个数之间”；“大大小小无解找”是指“大于大的数，小于小的数，不等式组无解，其解集为空集”.

例5  解不等式组

解：由5x-2>8，可得x>2.

由3x+1>10，可得x >3.

联想“同大取大”口诀，该不等式组的解集为x > 3.

例6  一元一次不等式组，的解集是______.

A.x < 5    B.x ≥ 1

C.1≤x<5    D.空集

解：由x-4≤3（x-2），可得x≥1;

由1+3x>4（x-1），可得x<5.

联想“大大小小中间找”这一口诀，

此一元一次不等式组的解集为1≤x<5，故本题应选C项.

评注：用口诀法确定一元一次不等式组的解集时，应当注意：如果不等式组中有一个不等式的解集是空集，那么这个不等式组的解集也是空集.

综上所述，在求一元一次不等式组的解集时，数轴法一目了然，运用过程中要注意找准不等式组的公共部分;观解法快捷准确，运用时要注意统一不等式符号的方向；口诀法简单易行，运用时应在充分理解的基础上记住口诀，以避免错用.