类比推理在数学教学中的应用原则与方法

张程

类比推理是结合两类不同事物的类似特征，根据已知事物的特征，推导出另一类事物特征的一种方法.这种方法推导出来的结论不一定准确，但存在一定的合理性，可利用证明或反例来确定其可靠性.简而言之，这是一种由特殊到特殊的推理形式，基本范式如下：

A的性质有：a1，a2，a3……，an，a′；B的性质有：b1，b2，……，bn.其中，ai和bi（i=1，2，3，……，n）类似或相同.据此可推断B具有b′的性质，b′与a′相似或相同[1].

类比推理作为科学研究的重要方法之一，也适用于初中数学概念、解题等的教学中.掌握好这种思维，能有效地帮助学生通过已知获得未知，实现思维的创新.

1 应用原则

1.1 参与性原则

新课标明确提出学生才是课堂的主人.随着新课改的推进与深入，学生已然成为当前数学课堂中的主体，教师只是起引导作用.想要提高教学效率，首先需调动学生参与教学活动的积极性，鼓励学生主动、自主地参与到类比推理过程中，为更好地获得新知奠定基础.

1.2 过程性原则

教师不能将眼光局限于类比推理的结论，而应关注学生在类比推理过程中思维的发展历程，只有领悟到数学思想方法，才能从真正意义上实现思维的进步.为了启迪学生的思维，教师可将自己的思维过程暴露出来供学生参考，让学生从中看到类比推理的逻辑关系，从而促进自身学习能力的发展.

2 应用方法

2.1 引入概念

概念是数学学习的基础，也是知识学习的首要环节，它的重要性不言而喻.随着新课改的推进，教师的教学观念也逐渐发生了转化，概念教学由原来静态的文字形式转化成动态的教学模式，常见的有结合学生的生活素材或原有的认知结构进行概念的引入.

新课标特别强调数学与生活的关系，要求教师结合学生的生活实际进行教学.其实，不少数学概念在学生的实际生活里都能找到它的原型.为此，教师可在充分了解概念内涵与外延的基础上，结合学情，利用与学生生活相关的情境，帮助学生抽象概念.

案例1  “平面直角坐标系”的教学

平面直角坐标系是一个比较抽象的概念，若运用传统的“讲解+练习”方式，很难让学生产生形象、深刻的认识.为此，笔者结合学生的生活，采取了以下类比推理的方法来引出概念.

第一步：展示一张18排18座的电影票，要求学生说说寻找该座位的具体方法.

初中学生都有看电影的生活经历，根据电影票寻找座位是一件简单且有趣的事，学生很快就能表达清楚寻找座位的方法.

问题  为什么电影票上要运用几排几座来表示每个人的具体位置呢？

学生经过交流与分析，一致认为这么编排的作用就在于让观众快速找到一对一的位置，避免出现拥挤或座位重复的情况，同时还利于售票工作的开展.

第二步：将电影院的座位抽象成点，一个座位用一个点表示，并在此基础上渗透平面直角坐标系的概念.

学生很快就能根据对电影院座位的直观感受及电影院座位的特点，类比推理出平面直角坐标系的基本特征.

此过程，教师通过一张电影票引出座位，再引入本节课的教学主题“平面直角坐标系的概念”，学生根据自己熟悉的生活素材，很快就能抓住本节课的重点，并对此产生直观、形象、深刻的认识，使得概念教学更加生动、有效.

2.2 辅助解题

解题能力体现了学生数学综合水平与素养.类比推理是一种重要的解题方法，它能帮助学生突破思维障碍，找到解题思路，使得原本模糊的问题变得条理清晰，亦可将原本复杂的问题，变得简洁.初中阶段的数学解题涉及到的内容比較多，如几何、函数、方程等问题，均需用到类比推理法.

为此，笔者针对如何更好地将类比推理法应用于解题教学中，作了大量实践与研究，颇有收获.实践证明，类比推理应用于解题教学中，能有效地激活学生的思维，可为提高课堂教学效率奠定基础.

案例2  “二次函数”的教学

“二次函数”是初中阶段令不少学生头疼的一个章节，本章内容多且复杂，既是中考的重点，也是难点.中考试卷中常以综合类问题呈现，对学生知识基础与思维能力的要求比较高，历年学生的失分现象都比较严重.

问题  在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（－2，－4），O（0，0），B（2，0）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若M为该抛物线对称轴上的一点，则AM+OM的最小值是多少？

分析：本题的第（1）问比较容易，只要将A，O，B三点坐标代入抛物线解析式，即可通过解方程获得结果.第（2）问对于学生而言有点难度，学生思维的障碍点在于求最小值的方法.因此，笔者引导学生类比之前求最短距离的问题，作对称点，根据两点间线段最短，将对称点与另一个点相连，此时与对称轴产生的交点就是所要找的点，再应用勾股定理，很快就能获得AM+OM的最小值.

解：（1）将A，O，B三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得y=－12x2+x.

（2）抛物线y=－12x2+x的对称轴是直线x=1，而点O，B关于直线x=1对称，因此连接AB，与直线x=1相交于点M，则M为待求的点，此时AM+OM的值最小.

过点A作AN垂直x轴于点N，在Rt△ABN中，由AN=BN=4，得AB=AN2+BN2=42.所以OM+AM的最小值是42.

随着与求最短距离问题的类比，本题的解题思路愈发清晰.若一味地从题目本身去思考，则很难突破思维障碍，从而导致解题失败.由此可见，类比推理在解题教学中具有无可替代的重要作用.作为教师，应利用好类比推理方法，将它渗透于解题过程中，启发学生的思维，培养学生的创新意识.

2.3 引发猜想

類比猜想是指应用类比推理法，将两个数学研究对象或问题中存在的相似之处进行比较，推测出事物的基本属性，获得新的命题或方法.解题中，不论从命题的本身来说，还是从解题的思路方法来看，类比推理都能引发学生的猜想，从中获得命题的引申与推广的基本动力[2].

最常见的类比猜想有：①根据命题相似的条件，猜想结论的相似性；②根据命题相似的形式，猜想推理方法的相似性.在应用类比推理法求解问题时，应注重辅助问题的引入，辅助问题作为类比的参照，是引发猜想、形成解题思路的重要载体，从辅助问题上可预见到问题的答案.

案例3  “轴对称图形”的教学

教师若从理论的角度再三强调轴对称图形的概念与性质，学生也很难从本质上掌握其内涵.而引导学生一起动手操作，则能引发学生的共鸣，很容易抽象出轴对称、对称轴与轴对称图形的概念.

边操作，边结合理论，既能突出教学重点，又能促进学生产生知识的正迁移[3].在了解轴对称图形的基础上，对等边三角形、等腰三角形、正方形、长方形、圆等图形的性质进行类比猜想，并通过实际操作来验证这种猜想.

活动中，教师鼓励学生畅所欲言，积极参与实验与探究，在亲历图形性质的抽象过程中获得相应的结论.如此，既展现了“做中学”的教育理念，又充分展现了“体验、发展”的教育思想.从学生感知到数学定理的形成，需经历一个类比推理、猜想、验证的过程，而每个环节无不透露出数学学科的严谨性与思维的周密性.

通过活动的开展，学生亲历操作、推理与验证的过程，有效地培养了学生的推理能力与创新意识，同时也让学生深刻体会到数学与生活的实际关系：数学来自生活，高于生活，为生活服务.

综上可知，教学中教师应结合教学内容与学情，巧妙地创设一些类比推理的机会，以推进学生思维的发展，让学生体会到数学学习带来的成就感，从而增强学习兴趣，提高学习效率.

总之，类比推理作为一种历经时代考验的科学思维方法，可将旧知灵活地应用到新知中，使得学生快速熟悉并接纳新事物，尤其是面对灵活多变的数学问题，类比推理法的应用，能有效地打开学生的思维，促进学生创新意识的形成与发展.

参考文献：

[1]郎淑雷.类比推理：数学发现的有效方法[J].安庆：安庆师范学院学报（自然科学版），2007（3）：119-121.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[3]李小英.类比迁移对数学问题解决的研究综述[J].考试周刊，2010（8）：66-67.