聚焦数学思维品质提升的教学创新策略

王艳凤 北京市第二中学通州校区

苏联著名数学教育家斯托利尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学思维活动的教学。”他在列举数学教育目的时将发展学生的数学思维放在第一位。而要在学校中开展数学思维训练活动，首先要了解思维和思维品质的特点以及数学思维品质的特点。对此，思维科学研究表明：思维的本质是人的意识对客观事物的本质属性和内部规律的概括和间接反映。思维品质主要表现为思维的广阔性、批判性、深刻性、灵活性、敏捷性等方面，它是衡量主体的思维发展水平的重要标志。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的过程与活动，而数学思维品质则是主体的数学思维活动对客观事物数学关系的理解和掌握的程度或水平。数学思维特点和结构之间的相互关系使数学思维成为一个有机的整体。因此，在具体的数学思维训练和素材选择时，要充分考虑不同方面、不同层次、不同角度思维训练的需要，克服思维障碍，从而达到改善高中学生思维品质、提高思维能力、促进和发展学生数学思维品性的目的。

思维品质提升的教学原则

思维品质提升的教学创新策略的实施离不开课堂教学，除了要遵循一般的教学原则外，根据实践证实还应该贯彻特殊的原则，才能有效引导学生进行思维训练活动，实施创新策略，从而培养学生良好的思维品质。

遵循系统训练原则 系统训练原则即进行全面系统的思维训练。训练要讲究系统性，如果单方面训练思维结构中的某一方面则很难应付复杂的问题，必须有系统地进行。在具体的数学思维训练中，当然要一个方面一个方面的训练，只是在不同的问题上应有所侧重。例如，像数列的求和问题、不等式的证明等问题比较适合训练学生思维的灵活性；像求函数的最值问题、不等式的解法等问题比较适合训练思维的批判性等。但这并不等于，解决这类问题不涉及其他的数学思维品质、思维能力和思维方法。一般来说，具有一定综合性质的数学问题都可能涉及中学数学思维的各个方面，都适合进行系统的思维训练。实践证明，系统地进行数学思维品质训练思维的广阔性、批判性、深刻性、灵活性、敏捷性训练等，能够达到单独进行某一方面思维训练所达不到的高度。

遵循过程训练原则 数学是思维活动的过程。因此，数学思维训练尤其应重视充分展现数学的思维过程，即揭示数学知识的形成和发展过程，这样有利于学生思维品质的形成。在教学实践中，首先应该注重对解决问题的思维加工过程的分析，并尽可能地揭示出加工的流程及阶段。在数学思维的批判性训练中，通过“错解”与“正解”思维加工过程的对比分析，总结出各阶段成功的一般思维策略、思维方法和规律。其次，思维训练过程中应有目的地、反复地让学生体验自己的思维过程。只有加强对“过程”的自我意识，才能真正改进自己的思维过程，才能有效地调节自己的思维过程，从而提高思维能力和水平。

遵循有效迁移原则 教育心理学认为：学生已学过的知识、技能、方法，对于学习新的知识、技能、方法会产生一种影响和作用，这种影响和作用就是“学习的迁移”。学习迁移是个复杂的心理过程，在学习新知识时，由感知诱发产生联想，而回忆起旧知识；通过思维活动，再将与新知识相类似的旧知识转移到新知识中。迁移可分为正迁移和负迁移。正迁移可产生积极的、有利的、促进的作用。负迁移产生的作用是消极的、不利的和干扰的。因此，在思维训练教学中，教师应运用迁移规律，帮助学生解决新旧知识技能之间的矛盾。例如，在思维的批判性训练中安排一些由于知识的负迁移而产生错误的问题，从而使学生克服负迁移或实现负迁移向正迁移转化。而在思维的灵活性和广阔性的训练中则侧重于正迁移在解题中的作用的训练。只有防止负迁移，促进正迁移实现知识的有效迁移，才能获得思维训练的良好效果。

遵循自我反馈调控原则 数学教学过程是一个特殊的系统，这个系统由教师、学生、知识信息的教学方法等基本要素构成。一个系统只有当它有反馈存在，使信息通道构成闭合回路时，这个系统才是可控的。在思维训练教学中，要依据训练的教学目标，使“反馈—调控”贯穿于教学始终，这样才能使教学中的各个环节相互密切配合，协调一致，使教学系统处于最佳的平衡状态。在思维训练教学过程中，主要应进行如下两方面的调控：其一，教师对“教”的调控，即在教学过程中，教师注意及时回收教学活动过程中的反馈信息，调整教学方法和采取必要的补救措施；其二，学生对“学”的调控，学生通过各种反馈信息，对照教学目标，自我纠正偏差，弥补知识缺陷，自我改进学习方法。

高中数学教学的目的之一就在于培养学生的思维能力。实践证明，培养数学思维品质是形成数学能力的基本条件，培养良好思维品质的途径是进行相应训练。因此，结合高中教学的实际，并依据上述中学数学思维训练的教学原则，数学教师应积极采取拓展问题情境、训练质疑辨误、重视变式教学、注重灵活转化、善用合情推理等思维训练的教学创新策略来培养学生数学思维品质的广阔性、批判性、深刻性、灵活性、敏捷性，发展学生良好的思维品性，培养具有科学思维品性的人。

拓展问题情境，提升思维的广阔性

思维的广阔性，是指能够全面而细致地考虑问题。数学思维的广阔性则指对一个问题能从多方面考虑，对一个对象能从多种角度观察，对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解，既可以开拓解题思路，巩固所学知识，又可激发学习的兴趣和积极性。在不等式教学中，教师通过拓展问题情境，给学生创造多方面思考问题的机会，引导他们在多种方法中选择最优方法。例如，教学中两个数大小关系的比较，通法是让学生运用作差法或作商法计算，但大部分学生掌握了方法却懒于计算。对此，教师引导学生根据已知条件进行数学建模，通过糖水浓度、购物优惠等问题激发学生的学习兴趣，再采用题组训练、一题多变、一题多解的方式反思解题思路，加强学生对基础知识的掌握，激发他们的求新欲望，从而促进思维广阔性的提升。同时，使学生思维的敏捷性和灵活多变性得到了训练和发展，逻辑推理、数学运算的素养也得到了促进和发展。

训练质疑辨误，提升思维的批判性

思维的批判性，是指能使自己的思维受到已知客观事物的充分检验。数学思维的批判性表现为善于独立思考、提出问题，能够及时发现错误、纠正错误，并在解决数学问题的过程中不断反思回顾、总结经验。对此，教师在教学中应善于举反例，引导对一些容易致误的数学问题进行分析和思考，从而提高思维的批判性。例如，利用均值不等式求最值是一种常用方法，但学生在解题时往往会忽视正数、定值和相等的条件，出现各种似是而非的错误。对此，教师要向学生展示错解，让他们讨论出错原因，以此培养批判辨误意识，确保学得透、印象深、记得牢。此外，培养学生质疑辨误意识的教学策略还有很多，如在概念教学中的辨析训练、解题教学中的错题分析、课堂检测后的分组互批、分享交流等，都可以促使学生再遇到同类问题便采用批判的眼光去看待，从而不断提升逻辑推理的数学素养和思维的批判性。

重视变式教学，提升思维的深刻性

思维的深刻性，是指能深入事物的本质里面去考虑问题。数学思维的深刻性，就是在思考数学问题时能够抓住问题的本质和规律，深入细致地分析和解决问题，而不被表面现象所迷惑。例如，在完成不等式的性质与均值定理的教学后，对于不等式恒成立问题采用变式教学，对数学问题进行不同角度、不同层次、不同情形的变式，从而暴露问题的本质特征，揭示不同知识点的内在联系。通过变式教学引导学生不为一肤浅问题的解决而知足，而进行深入细致的再考虑，这种层层深入式的解题思想，有助于培养思维的深刻性，也使学生数学学科核心素养的发展具有连续性。

又如，针对含参不等式恒成立、求参数范围的问题中，教师以含参的二次函数为载体进行变式教学，参数的位置可在常数项、一次项系数、二次项系数或变量取值范围等位置进行变化。无论是采取分离参数法还是分类讨论的方法，在变式问题逐一解决的过程中，学生轻松掌握了不等式恒成立问题需转化为函数值域（最值）问题的方法，并总结函数值域（最值）的基本求解方法：除了转化为函数运用其图像和性质求最值，另一重要方法就是运用均值定理求解。逐一解决问题后，学生可以充分感受到通过变式教学可以使一个问题与有关问题联系起来，或使问题层层深入，思维不断深化，从而深入理解知识并掌握其延伸变化，这样不仅可培养思维的深刻性，也可培养思维的敏捷性。实践证明，有意识地引导学生进行例题与习题的变式探究，对促使其自觉进行知识体系整理与思路方法归纳极有好处，学生的数学逻辑推理、数学建模、数学运算等学科素养都将得到进一步的发展与提升。

注重灵活转化，提升思维的灵活性

思维的灵活性，是指一个人的思维活动能够根据客观情况的变化而变化。数学思维的灵活性通常表现为：不固执己见，不拘泥于陈旧的解题方法，善于根据题设中的已知条件和问题的具体特征及时提出新的设想和解题方案，能自由而轻易地从一个角度转向另一个角度，从一种途径转向另一种途径，不受一种固定的思维束缚，善于观察、善于联想、善于转化。首先，观察是认识事物的最基本的途径，是了解、发展和解决问题的前提，是联想和转化的基础。善于观察能够更快地找到解题的最佳方法。其次，联想就是由观察到的问题的具体特征，联想到相关的数学知识，并获得迅速的解题方法，包括逆向联想、类比联想、相似联想等。例如，类比矩形的长和宽与其对角线长之间的勾股关系，写出长方体的长、宽、高与体对角线长之间的关系式；由平面图形三者之间的度量关系对应得出立体图形四者之间的度量关系，这种从平面几何到立体几何，不同阶段知识之间的类比联想是有效迁移原则的重要表现，更能开阔学生的思路，提高思维的灵活性。最后，转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。怎么转化呢？概括讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。因此，在解决数学问题时，需要先观察具体特征，再联想有关问题，最后寻求转化关系。灵活转化体现在能从不同角度、不同方向，运用多种方法分析问题；思维过程灵活，能从分析到综合，从综合到分析，全面灵活地运用思维方法；善于组合分析，随着知识的掌握和经验的积累，有较强重新组合已学知识的能力，从而使自己的数学思维的灵活性得到发展。

善用合情推理，提升思维的敏捷性

思维的敏捷性，是指在短时间内提出解决问题的正确意见，是其他思维品质发展的结果，也是所有优良思维品质的集中体现。所谓数学思维的敏捷性，就是学习者善于在较短时间内果断而迅速地对思维对象进行识别、判断、推理、猜想，即合情推理，以至于问题解决。数学思维敏捷性主要表现在数学解题过程中善于走捷径，超越常规步骤，从而使解题的步骤大大缩减。

扎实的基础知识和熟练的基本技能的掌握是思维敏捷性的前提，在数学思维品性的广阔性、批判性、深刻性与灵活性得到提升的基础上，善用合情推理，思维的敏捷性自然能够得到提升。思维敏捷性具有直觉的成分，通过直觉思维得到简洁的解题思路，如有些学生函数理解得透彻对数据比较敏感、有些学生空间想象能力强对图像比较敏感等。对此，教师应在教学中重视开展限时限量的题群训练、“一题多解”与“一题多变”的交流分享，引导学生注重自我反思，总结问题的具体特征、运用到的相关知识要素及解题方法，理论与方法的有效结合，自然能够善于运用合情推理，快速打开解决问题的思路，从而提高思维的敏捷性。

总之，学生的数学思维品质是一个统一整体，各个组成部分相辅相成、彼此渗透、互相促进、互为补充、不可偏废。在教学过程中，教师应将它们有机地结合起来，通过拓展问题情境、训练质疑辨误、重视变式教学等有目的、有计划地强化学生的思维训练，培养学生良好的数学思维品质。同时，要积极鼓励学生注重灵活转化、善用合情推理不断积累基本活动经验，使知识和经验不断丰富起来，体会知识和经验对思维能力的重要影响。这样，我们才能从真正意义上适应素质教育对数学教学的要求，使学生的思维品质在数学学习中得到充分培养，数学核心素养得到不断发展，培养出具有科学思维品质的人。