高斯色噪声背景下基于权向量的连续波信号检测

代 振,吴吉伟,尹美方

(海军士官学校,安徽 蚌埠,233000)

0 引言

连续波(continuous wave,CW)信号作为一种比较简单的发射信号波形,在雷达、声呐以及声自导鱼雷中受到了广泛应用[1-3]。在高斯白噪声背景下,检测CW 信号的最佳检测器为匹配滤波器(matched filter,MF)[4]。然而在实际检测过程中,背景通常是有色的。高斯色噪声背景下的最佳检测器则为广义匹配滤波器(generalized matched filter,GMF)。GMF 的思路是通过一定的变换,将色噪声背景下的信号检测问题转化为白噪声背景下的检测问题,从而应用MF 完成检测[5]。

GMF 的核心在于对色噪声进行预白处理。常见的预白化方法主要包括Karhunen-Loève 变换法、Cholesky 分解法以及增强现实(augmented reality,AR)预白化法等[6-8]。但除AR 预白化法外,其他预白化法都要求色噪声的协方差矩阵是先验已知的,这在实际过程中通常难以满足。AR 预白化法虽然可以根据接收信号实时估计色噪声的协方差矩阵,但也存在定阶困难和计算量大等问题[9]。

为此,文中提出一种基于权向量的信号检测方法,该方法在大数据记录下(采样点数足够多时)检测CW 信号时,无需进行预白处理,并且检测性能和GMF 相当。

1 信号检测模型

考虑如下检测模型

式中:xn是接收信号;sn是待检测信号;wn是零均值的平稳高斯色噪声,其协方差矩阵为Cw,是对称正定toeplitz 矩阵。

易知X是N维高斯随机矢量,在假设H0和H1下其概率分布为

对于上述信号检测模型,根据经典的统计信号检测理论可知,其最佳检测器为GMF,对应的检验统计量为[10]

2 基于权向量的信号检测

2.1 检验统计量构造

由式(3)可以看出,GGMF是接收信号矢量X的线性组合,是一个线性检测器。因此基于权向量构造一个线性检验统计量,即

式中,β=[β0,β1,···,βN-1]T为权向量。

2.2 检测性能分析

由于Gβ也是X的线性组合,易知Gβ是一维高斯随机变量,其概率分布为

由式(5)可知,在不同假设下Gβ的均值不等而方差相等。可以证明,以Gβ作为检验统计量时,其虚警概率Pf与检测概率Pd总满足[10]

由式(6)可以看出,在给定虚警概率时,信号的检测概率完全由检测指数d2决定,其计算公式为

式中,E(G/Hj)与Var(G/Hj)分别是假设Hj(j=0,1)下检验统计量G的均值与方差。

结合式(5)和式(7)可得G=Gβ=βTX时的检测指数为

2.3 N-P 准则下的最优权向量

在雷达、声呐以及声自导鱼雷中,通常采用NP 准则作为最佳判决准则,即给定虚警概率,使得检测概率最大。由式(6)可知在虚警概率一定时,检测概率是检测指数d2的单调递增函数,因此使得d2取最大值时的权向量就是N-P 准则下的最优权向量。下面推导最优权向量的表达式。

在式(8)两端同时对权向量 β求导可得

由于常系数对信号检测没有影响,为方便起见,可直接取最优权向量为,将其代入式(4)可得最优检验统计量为

对比式(3)和式(11)可以发现,根据最优权向量构造的最优检验统计量Gm和GGMF的表达式完全一样,这与GMF 是高斯色噪声背景下最佳线性检测器的结论一致。

显然,GMF 的检测性能同样可由式(12)确定的检测指数决定。

3 CW 信号检测

当待检测信号sn为CW 信号时,可写为

式中:fc为归一化后的信号频率;A、θ分别为CW信号的幅值与相位。对于单次检测而言,幅值A与相位 θ通常未知,但其值是确定的,因此可视为确知信号检测。

3.1 权向量选择

如果是在高斯白噪声背景下检测CW 信号,其最佳检测器为MF,检验统计量为

对比式(14)和式(3)可以发现,GMF 相比于MF 多出一个因子。由于Cw是色噪声的协方差矩阵,所以的存在相当于对色噪声先进行了预白处理,然后再进行MF 检测。这也是GMF 被称为广义匹配滤波的原因。

但是,对于色噪声背景下的CW 信号检测,如果直接应用GMF,综合式(11)和式(12)可知,无论是检验统计量计算还是检测性能分析,都不可避免地涉及到。然而,Cw一般不是先验已知的,通常需要进行实时估计得到,这将大大增加检测的计算量。为此考虑选择合适的权向量,以避免预白处理,也就是避免计算。

显然,一个最简单的方法是继续用MF 在色噪声背景下检测CW 信号,这意味着直接取权向量为

式(15)表达式虽然简单,但色噪声下的检测性能并不是最优的,需要进一步分析。

3.2 色噪声背景下MF 性能分析

由于MF 等价于权向量取为β=S,将其代入式(8)可得MF 的检测指数为

定义MF 和GMF 的检测指数之比为ηd,可知其表达式为

显然 ηd＜1,但如果 ηd越接近于1,表明MF 的检测性能越接近于GMF。

下面证明,当接收信号足够长,即在大数据记录下 ηd是等于1 的。

首先,对于CW 信号有

其次,根据文献[10]可知,在大数据记录下有

对于CW 信号而言,其周期谱图只在fi=fc和fi=1-fc(实际上对应的频率是 -fc)处有非零值,而在其他频率处的周期谱图值均为零,并且有I(fc)=I(1-fc)。同时由于P(f)是偶函数,故有P(fc)=P(1-fc)=P(-fc)。将二者代入式(19)可得

根据Parseval 定理,确知信号的时域能量等于其频域能量,故有

将式(18)、(20)和(21)代入式(17)可得

表明在大数据记录下,MF 和GMF 的检测指数相等,即MF 和GMF 的检测性能是一样的。

4 仿真分析

假设高斯色噪声背景wn可以用M阶AR 模型来拟合,即

式中:ak为AR 模型系数;un是均值为0、方差为1 的高斯白噪声。

取采样频率为1 600 Hz,CW 信号归一化频率为0.15。采用4 阶AR 模型来模拟高斯色噪声,AR 模型参数取[-0.38,0.36,0.16,0.17]。采样点数为N,仿真结果如下。

图1 给出了 ηd与采样点数N的关系。可以明显看出,当采样点数N较小时,ηd取值与1 相差较大;随着N的增加,ηd取值也迅速增加;当N>300时,ηd取值较为平稳,接近于1。

图1 N-ηd曲线Fig.1 Curve of N-ηd

约束虚警概率为Pf=10-3,取采样点数N分别为50、100、500,统一进行20 000 次蒙特卡洛实验,MF 与GMF 的检测性能对比见图2。图中横坐标为信噪比,记为SSNR,且SSNR=10log(A2/σ2w)。

图2 MF 与GMF 检测性能对比Fig.2 Comparison of detection performance for MF and GMF

从图2 首先可以看出,当采样点数比较少时(N=50),GMF 的检测性能优于MF,前者比后者高出1 dB 左右,这与GMF 是高斯色噪声背景下的最优检测器一致。同时还可以看出,随着采样点数的增加,MF 的检测性能逐渐逼近GMF,当采样点数较大时(N=500),MF 与GMF 的检测性能曲线几近完全重合,这与文中的结论一致。

5 结束语

针对高斯色噪声背景下的信号检测问题,提出了一种基于权向量的检验统计量构造方法,推导了N-P 准则下的最优权向量,证明根据最优权向量确定的检测器与GMF 一致。将权向量应用到CW 信号检测中,证明了大数据记录下MF 和GMF的检测性能是等价的,仿真结果证明所提方法在检测CW 信号时可以避免预白化处理,明显提高检测效率。但是,检测调频信号时,仍然要进行预白化处理,下一步可针对色噪声背景下调频信号的检测,研究相应权向量的选择。