基于价格随机Faustmann模型的最优轮伐期决策方法及演进

余智涵，张楠，3，杨红强，4

（1.南京林业大学经济管理学院，江苏 南京 210037； 2.国家林业和草原局林产品经济贸易研究中心，江苏 南京 210037；3.佐治亚大学沃内尔林业与自然资源学院，美国 佐治亚州 雅典 30602；4.南京大学长江三角洲经济社会发展研究中心，江苏 南京 210093）

随着2030年碳达峰和2060年碳中和的“双碳”目标提出，除了加快能源结构调整、发展绿色低碳技术等减排措施，充分发挥以林业碳汇为主的陆地生态系统固碳能力也是缓解气候变化、实现“双碳”目标的重要途径［1］。一方面，可以通过植树造林、减少毁林等林业活动增加森林碳汇量；另一方面，也要充分发挥碳排放权交易市场的作用，通过市场机制将生态价值转化为经济价值，以提高林业在缓解气候变化方面的地位和作用［2］。就中国而言，天然林保护工程的实施对恢复天然林和生态修复起到了关键作用，其中中龄林和近熟林的固碳潜力巨大［3］。然而，成熟林和过熟林占比过高的问题也将导致其固碳量增长缓慢，甚至可能导致林区由碳汇向碳源转变［4］。除此之外，种植广泛的人工林也具有很高的木材生产和碳汇能力，且受到整地、抚育等森林管理行为影响，人工林蓄积量增长呈现出前期高、后期低的趋势［5-6］。在合适的时机砍伐林分，不但能够将碳固存在生物质、土壤碳库及木质林产品中，也能够将木质林产品用于建筑以减少钢铁和混凝土行业生产期间的二氧化碳排放，更能够将生物质用于能源生产以代替化石燃料燃烧排放二氧化碳［7］。因此，在“双碳”目标和气候变化缓解的压力下，有必要先导性探讨合理的森林采伐制度，通过对森林进行可持续经营管理，以最大限度地提高森林木材生产和固碳的联合效益。

1 研究背景

在全球气候变化缓解过程中，森林生态系统通常被认为是一个非常重要且具有成本效益的碳汇，据估计，全球森林对于大气二氧化碳的抵消在陆地碳汇中的占比高达60%［8］。在中国，森林蓄积量及碳汇的增长也主要来源于20世纪70年代中期以来的人工林扩张［9］。因此，最大限度地发挥分布广泛的人工林的固碳潜力，无疑是缓解全球气候变化、实现中国碳中和目标的重要途径。

人工林具有较高的木材生产和碳汇能力，然而，其增长率通常随着林龄的增长而下降。因此，从多目标森林经营管理的角度来看，林地所有者需要确定最优轮伐期，使林地的经济价值和生态价值最大化。其中，经济价值为出售木材所获得的收益，而生态价值主要为林业碳汇增加所带来的在气候变化减缓和“双碳”目标实现过程中所发挥的重要作用。对于生态价值的获取，首先包括每年林地碳汇增量所对应的价值总和；其次，只有可销售商品材部分会被砍伐，这部分碳汇会进一步保留在木质林产品中，而林分的未采伐部分则会转移至死亡有机质碳库（包括枯死木、枯落物和土壤有机碳）中保留一段时间并缓慢分解［2，10-12］。除此之外，定义最优轮伐期也是确定其他森林管理策略的重要前提，例如森林抚育、间伐等［13］。在“双碳”目标下，如何基于中国森林资源特点，进一步从经济学视角探讨林业碳汇项目的经营管理策略，为林业参与“双碳”目标的实现提供参考，已经成为中国林业部门需要重点关注与急需回答的现实问题。

Faustmann［14］首先使用一个考虑木材收益的模型求解最优轮伐期，之后碳汇收益也被纳入到Faustmann模型的分析框架中［15］。根据新古典经济学中的市场交换理论，最优轮伐期正是市场交换的结果，而作为交换过程中信息的载体，价格会调整林地所有者的个人行为，从而在与所有其他卖方和买方的无数交易相适应的同时，实现利润最大化［16］。然而，木材价格和碳汇价格均存在不确定性。随着市场经济的发展，随机价格问题作为影响最优轮伐期的重要因素也逐渐成林业经济学中的研究重点［17-19］。

Nordstrom［20］首次研究了随机木材价格对于最优轮伐期的影响。Brazee等［21］提出了存在价格波动时的最优轮作问题，林地所有者应该根据预期价格重新制定管理决策。其他学者的进一步研究表明，最优轮伐期和土地期望值（Land Expection Value， LEV）会随着随机价格过程的变化而变化，但林地所有者通常可以利用价格波动获得更高的收入［22-29］。随着气候变化问题的加剧，森林的碳汇效益受到了更加广泛的关注，随机价格假设也由木材价格扩展到碳汇价格，部分学者使用实物期权分析（Real Options Analysis， ROA）计算了包括碳汇收益在内的最优轮伐期和LEV［18，30-32］。ROA允许林地所有者在投资决策不可逆转时将决策推迟，并且被认为是在价格波动的情况下对投资进行估价和描述投资行为的有效模型［33］。

该研究围绕随机价格下的最优轮伐期问题，梳理其评估方法学及研究进展，归纳总结随机价格问题未来在林业经济学中的主要研究趋势。首先，梳理Faustmann模型的起源及其演进，揭示Faustmann模型经典框架在静态价格假设方面的不足；然后，结合不同市场假说和未来价格路径的预测方法，探讨不同的随机价格过程在Faust‐mann模型中的应用情况；其次，归纳比较静态和随机价格假设下的林地价值评估方法学，分析其优缺点，并以ROA为例，明确几种具体模型求解方法在不同随机价格假设下的适用性；最后，在全球气候变化背景下，结合中国木材市场和碳排放权交易市场的实际发展情况，为Faust‐mann模型中随机价格问题的发展提供建议。

2 Faustmann模型经典框架及其广义扩展

Faustmann［14］首次从经济学的角度，遵循利润最大化原则，构建了一个考虑木材收益时的模型以求解其最优森林管理决策。首先从单轮伐期开始分析，假设造林成本为C，树木的生长方程为V(t)，木材价格为P且保持不变，折现率为r，则林地所有者需要确定最佳采伐时间t，使得LEV最大，如式（1）所示：

进一步地，在多轮伐期假设下，林地所有者从0时刻开始种植，并且每经过时间t对林分进行采伐以获取利润，同时再次种植相同的树种。此时的LEV相当于将单轮伐期下的LEV分别乘以折现因子1、e-rt、e-2rt等并相加，即乘以一个几何级数的和，如式（2）所示：

由此可以得到多轮伐期下的Faustmann模型及其一阶条件，如表1所示。在Faustmann模型中，最优轮伐期应通过比较持续轮作的边际效益来确定，这种边际效益由树木价值的额外增长和延迟收获的机会成本来解释［34］。在Faustmann模型中，森林市场交易的复杂价格序列被简化到价格序列的开始和结束点，这个序列的开始只考虑最后的木材和裸地价格，并以造林成本作为价格序列的结束［16］。

表1 多轮伐期下确定最优轮伐期的不同模型及其一阶条件

Hartman［35］扩展了Faustmann模型，将森林生态价值以函数F(t)的形式纳入到评价系统，兼顾了木材经济效益和生态经济效益。表1给出了考虑林地服务价值下的Faust‐mann模型及其一阶条件。之后，Van Kooten等［15］聚焦于生态价值中的森林碳汇效益，并将其纳入到模型中来。在确定最优轮伐期时，虽然也可以使用最大持续产量（Maxi‐mum Sustainable Yield， MSY）标准，但从经济学的角度选择最优轮伐期无疑对林地所有者和林业投资是最具吸引力的［34］。包含碳汇收益的Faustmann模型也逐渐成为关于最优轮伐期决策和相关主题研究的基础［36］。

经典的Faustmann模型以5个基本假设为基础：①价格和成本是不变的，而且是已知的。②未来的利率是不变的，而且是已知的。③已知林分的生长函数。④林地市场是完美的。⑤金融资本市场是完美的。在上述假设下，贴现现金流（Discounted Cash Flow， DCF）是一种常见的模型求解方法，它以固定可预测的现金流量模式为依据确定林地价值，式（1）中的LEV便是DCF的一种形式［12］。

然而在现实中，上述假设未必能严格成立，即林地所有者的经济行为会受到各种因素的影响［37］。特别是关于静态价格的假设，会使林地所有者对LEV的评估出现严重偏误［12，24］。因此，有必要明确现实市场中价格的波动形式，并使用动态模型根据市场状况灵活决策，从而在价格波动的市场中实现利润最大化的目标。

3 三类市场假说下的价格波动特征

考虑到木材价格和碳汇价格会随着时间的推移而变化，因此林地所有者的管理决策面临着一定的风险。林业经济学家通常使用金融和投资文献中提出的随机过程来处理这类风险，这为指定未知变量随时间的漂移和波动提供了一种方法［34］。该节综述了随机过程理论在最优轮伐期问题中的应用，首先介绍了现代资本市场理论下随机价格过程的一般形式，接着归纳总结有效市场假说和完全竞争市场假设下价格波动的具体形式，最后讨论基于经验数据的其他价格波动建模改进。

3.1 现代资本市场理论下的价格波动建模

包含资产组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论等在内的现代资本市场理论的一个核心便是随机价格假设，其中伊藤过程（Ito Process）是最常用的描述价格波动的随机过程模型［38］。伊藤过程通过漂移率和波动率来描述价格随时间的变化，被林业经济学家广泛应用于处理Faustmann模型中的随机价格问题［34，39］。伊藤过程的一般形式为：

其中：xt表示t时刻的价格；μ(xt，t)表示漂移项；σ(xt，t)表示波动项；Bt表示维纳过程。

进一步地，Yoshimoto等［40］通指定过μ(xt，t)为xt的线性函数、σ(xt，t)为xt的非线性函数，将伊藤过程改写为状态相关波动过程（State‐Dependent Volatility Process），如式（4）所示：

其中：σ、α、β、γ为待估参数。

由式（4）表示的随机过程被记为SDVP（α，β，γ）。其中，作为伊藤过程和状态相关波动过程的特例，几何布朗运动（Geometric Brownian Motion， GBM）和均值回复过程（Mean‐Reversion， MR）已经被广泛应用于林业经济学中的价格建模，能够在不同的经济学假设下解决随机价格假设中的最优轮伐期问题［34，39-40］。

3.2 有效市场假说下的价格波动建模

根据有效市场假说，有效市场中的价格总是完全反映了所有可用信息，投资者无法通过基本分析和技术分析获得超额利润［41］。而GBM则是有效市场中价格波动的一个特例，它要求价格在不同微小时间间隔内的增量为独立同分布的随机变量。部分学者在最优轮伐期研究中假设价格波动服从正态分布，并建议使用GBM建模，因为它与有效市场假说一致，且价格每年都会在之前的水平上随机增加［21-23］。其一般形式为：

其中：P表示价格；μ表示均值；σ表示标准差；dz表示维纳过程的增量。对于初始价格P0，给定时间t下价格Pt的期望值和方差可以用式（6）—式（7）表示：

进一步的，根据伊藤引理（Ito’s Lemma），式（5）可以改写为如下形式：

其离散形式为：

其中：εt～N(0，1)。

如果假设价格过程遵循GBM，那么参数μ和σ可以根据以下公式得到：

其中：m和s分别为序列{}lnPt-lnPt-1的均值和方差。

在早期林业经济学的研究中，许多学者基于GBM探讨了随机木材价格假设下林分的最优轮伐期［21-23，42］。这些研究表明，当木材价格或林分价值遵循GBM且无重置成本时，最优轮伐期对于价格波动不敏感；但当重置成本存在时，林地所有者可以利用价格的随机性来改进最优轮伐期的选择，因为林地所有者有机会在观察到未来真实价格前推迟重置成本的发生。表2总结了GBM在Faustmann模型中的应用情况。

表2 几何布朗运动和均值回复过程在Faustmann模型中的应用

3.3 完全竞争市场假设下的价格波动建模

GBM假设使得最优轮伐期问题在偏微分方程的模型框架下变得易于求解，但仍存在一些不切实际的地方［43］。首先，从式（5）中可以看出，如果价格在某一时刻变为0，那么它将在后续时刻始终保持为0，这与现实不符，也可能导致价格较低时期权价值的估值出现较大偏差［44］。此外，GBM假设下价格上涨的期望值和方差不受约束（式（6）—式（7）），但根据完全竞争市场假设，当一种商品的价格相对较高时，随着成本较高的生产商进入市场，该商品的供应将会增加，从而对价格构成下行压力，反之亦然［45］。与遵循GBM的价格路径相比，此行为更有可能导致MR价格路径，部分学者对经验价格数据的实证检验也证明了这一观点［24］。

MR的一般形式为：

其中：P表示价格；ν表示回复速率；μ表示均值；σ表示标准差；dz表示维纳过程的增量。当实际价格P大于均值μ时，ν(μ-P)dt一项整体为负，不考虑随机波动项σPdz，当期的价格增量dP小于0，因此当期价格将会向平均值趋近；同理，当实际价格P小于均值μ时，当期的价格增量dP则大于0，MR将使得每一期的价格稳定在均值μ附近。

根据伊藤引理，可以求得MR的解析解，如式（13）所示：

从形式上看，离散形式下的式（13）与自回归（Auto-Regressive， AR）过程非常相似，如式（14）所示：

其中：β0、β1和β2均为待估参数。因此，也有一些学者使用AR模型来代替MR分析木材价格的波动情况［29，46-47］。

为了求得参数ν、μ和σ，首先将式（12）转化为离散形式：

式（15）可以改写为如下形式：

其中：c1、c2和et的标准差se可以通过最小二乘法估计得到。则ν=。

Gjolberg等［24］指出，MR假设倾向于减少林地所有者所感知的长期价格波动，这将导致与GBM假设相比，LEV的估值更高。Insley［44］的研究也表明，在MR假设下，期权价值和最优轮伐期与GBM假设相比有显著差异，例如，当价格低于平均值时，MR给出了更高的期权价值。表2总结了MR在Faustmann模型中的应用情况。

3.4 基于经验数据的其他价格波动建模改进

根据式（4）—式（6），GBM和MR仅仅是随机过程中的两个特殊模型，它们分别由于符合有效市场假说和完全竞争市场假设而得到广泛应用。

已有许多学者使用ADF（Augmented Dickey‐Fuller Test）检验法来测试经验价格数据是否存在单位根而决定使用GMB还是MR假设［34］。然而，Yoshimoto等［40］基于SDVP（α，β，γ）展示了13种亚洲树种的木材价格在GBM、MR和其他多种形式随机过程中的表现，结果表明，无论是GBM还是MR都不足以解释这些木材价格的价格动态。

为了使随机过程模型更加符合价格的实际波动情况，也有部分学者使用了GBM和MR之外的其他随机过程。其中最常见的是与MR极为相近的AR（1）模型；其次是将价格取对数从而构成对数均值回复过程；此外还包括进一步引入分布参数为γ的泊松跳跃，或均值为0、方差为σ2、赫斯特系数为H的分数高斯噪声WHi，并将几种随机过程混合。但无论使用哪一种随机过程模型，都应根据实际价格动态与随机过程的匹配程度来选取［43，56-57］。表3展示了其他类型的随机过程在Faustmann模型中的应用情况。

表3 其他类型的随机过程在Faustmann模型中的应用

4 静态与随机价格下的最优轮伐期决策

由于对随机价格的描述通常以第3节中随机过程的形式出现，这使得随机价格假设下的Faustmann模型无法使用对利润函数求一阶导数的简单静态方法求解，需要使用ROA对经典Faustmann模型针对随机价格进行改进。此外，每一个价格波动模型都拥有一些数学特征，木材价格和碳汇价格也可能分别拥有不同的波动形式。因此，还需要选择适当的方法，以解决具有不同的价格波动模型特征的最优轮伐期动态决策问题。该节首先归纳了静态价格假设下的最优轮伐期决策方法学及缺陷，接着以ROA为基础综述了适用于具有随机价格的最优轮伐期决策动态模型，以及不同价格波动特征下的模型求解方法学。

4.1 基于贴现现金流的静态价格决策方法及缺陷

DCF分析是评估林业和其他行业投资的一种基本静态方法，它基于一个融资的基本原则：由于通货膨胀和经济增长的存在，货币具有时间价值。其中，净现值（Net Present Value， NPV）是DCF的一种，能够比较总体投资回报随着时间的演进规律［39］。Faustmann［14］、Hartman［35］和Van Kooten等［15］共同构建的包含碳汇效益的经典Faust‐mann模型均基于NPV分析，要求林地所有者将最优轮伐期确定为LEV最大化的时间点。Asante等［11］分析了不同碳汇价格、考虑不同碳库数量时的最优轮伐期和LEV，与Van Kooten等［15］的理论分析一致，发现纳入碳汇效益能够缩短最优轮伐期而提高LEV，且提高幅度随着碳汇价格的增加而增加。在中国，也有学者以Faustmann模型为基础，使用NPV评估了碳汇目标下杉木人工林的碳汇供给［61］和经济效益［62］，同样发现考虑碳汇效益能够提高LEV，木材价格和利率是影响最优轮伐期的关键因素。由于中国碳排放权交易市场仍处于起步和建设发展阶段，实际碳汇价格远低于木材价格，因此对碳汇供给提高和经济效益增长的影响并不明显；但敏感性分析结果也表明，当碳汇价格提高到一定程度时（如600元/t），林地所有者的经济收益将明显提高。

然而，包含NPV在内的DCF分析把投资决策看作是一个现在立即执行或永远不执行的决定［39］。事实上，随着时间的推移，林地所有者所掌握的相关价格信息越来越多，一项投资的不确定性在未来可能会降低，在未来预测的现金流量也将有别于最初的预测［63］。相比之下，ROA作为一种动态决策方法具有更强的灵活性，并拥有使用新信息更新决策的机会，因此可以为林地所有者提供更好的投资决策。

4.2 基于实物期权分析的三种动态随机价格决策方法比较

4.2.1 随机价格假设下的最优轮伐期动态决策模型

ROA作为一种金融衍生工具能够帮助林地所有者在风险市场中动态评估LEV随时间的演进规律［64］。Sauter等［65］指出林地所有者的管理决策行为更符合ROA理论而非DCF理论。ROA考虑林分生长时间范围内的一系列决策点，在每个决策点，林地所有者通过比较立即采伐与延迟采伐的预期收益，来决定是现在采伐林分还是保留之后采伐的权利［31-32，60］。使用ROA分析的优势在于随着新信息的出现以及市场状况和未来现金流的不确定性逐渐得到解决，林地所有者可以随时调整他们的经营策略，并在木材价格或碳汇价格较为有利时选择采伐林分从而在风险中获利，提高了决策的灵活性［66］。

ROA所带来的动态决策过程需要使用“贝尔曼方程”来求解［34］。总的思路是将决策过程分为两个部分，即刻阶段以及后续阶段。林地所有者的目标是选择一系列控制变量使即期收益价值与连续收益价值最大化。通过对贝尔曼方程求解，可以得到不同决策点上的一系列采伐阈值。就木材价格而言，当位于特定决策点的实际木材价格超过阈值时，林地所有者应该选择立即采伐林分并出售木材从而获取超额收益；而对于碳汇价格，由于林地所有者需要为采伐林分而造成的碳损失支付罚款，因此应该在实际碳汇价格低于阈值时采伐林分而减少收入损失［31-32，60］。其中，对于贝尔曼方程的求解方法，通常包含构建偏微分方程、蒙特卡洛模拟和马尔可夫决策过程（Markov Decision Process， MDP）［30］。

4.2.2 不同价格波动特征下的动态模型求解方法

（1）价格服从正态分布的求解方法。以随机过程为基础而构建偏微分方程的Black‐Scholes‐Merton（BSM）模型是求解林地实物期权价值的常用方法，它通过将期权价值的变化等同于未到期资产价值的变化来计算期权价值，可以在短时间内计算大量决策点的期权价值，其中价格的波动性保持不变且收益服从正态分布［39，67］。目前，由于多数有关最优轮伐期的研究使用了GBM或MR假设，且价格在任意微小时间间隔内的增量均服从正态分布，因此这些研究均使用了基于BSM的模型求解［18，22，24-29］。在中国，曹先磊［68］也使用该模型对湿地松碳汇造林项目进行了投资时机分析和价值评估。然而，BSM模型也存在一定的局限性，例如，只允许考虑一种风险来源而导致在项目期限较长的林业生产中与收益相关的多种其他风险被忽略［69］、缺乏透明度且无法提供所有关键变量之间的准确关系［30］。

基于点阵模型的二叉树和有限差分方法的离散偏微分方程模型也能够计算林地实物期权价值，并且允许价格的波动性发生变化［30，67］。Thomson［23］首次使用二叉树方法来确定木材价格随机时的林分价值；进一步地，Tee等［30］使用二叉树方法对考虑两个随机价格（木材价格和碳汇价格）的林分进行估价，从而允许林地所有者在两种风险来源下对管理决策进行联合优化。但是，随着时间的增长和风险来源数量的增加，二叉树和有限差分方法的计算量将呈现指数增长［70］。因此，该模型多应用于项目周期较短且风险来源较少的期权定价问题［56］。

（2）具有多个随机价格的求解方法。由于木材价格和碳汇价格均存在随机波动性，最优轮伐期的计算可能涉及多个风险来源。蒙特卡洛模拟则能够通过构建具有特定分布的随机变量、依靠重复随机抽样技术近似计算无限接近于真实值的数值解方式来处理这些价格波动，这些变量允许拥有非标准分布、随时间变化的分布或存在相关性［56］。与偏微分方程相比，蒙特卡洛模拟不受时间或风险来源数量多的限制，也能够提供未来林分价值的分布［56］。

自从Ibaneza等［56］提出了一种计算美式期权价值的蒙特卡洛模拟方法以来，蒙特卡洛模拟在求解Faustmann模型的ROA问题中得到了广泛应用。Petrasek等［60］同时考虑木材价值和碳汇价值，计算了道格拉斯冷杉林的LEV和最优采伐策略。Petrasek等［31］进一步考虑使用木材产品代替碳密集型材料所避免的排放，在不同固碳情景下计算了道格拉斯冷杉林的LEV，为设计碳补偿政策提供了依据。Ning等［32］以美国密西西比州木材市场为研究对象，探讨了同时考虑木材、碳汇和生物燃料生产对森林经营管理的影响。在中国，余智涵等［10］也使用蒙特卡洛模拟计算了单次轮作下考虑死亡有机质碳库时杉木人工林的最优轮伐期，发现考虑包含死亡有机质碳库在内的林业碳汇效益能够稳定提高林地所有者的收益。

（3）价格具有马尔可夫性的求解方法。在GBM和MR假设中，每一期的价格都取决于前一期的价格，这种包含了具有马尔可夫性的随机价格模型可以通过构建转移概率矩阵从而使用MDP近似求解［59，71］。但由于转移概率矩阵的存在，MDP同二叉树和有限差分方法一样，其计算量也会随着随机变量个数的增加而呈现指数增长［43］。

Buongiorno［71］关于Faustmann模型随机森林生长和价格的研究表明，Faustmann公式是一种特殊的MDP模型，其中假设的一切信息已知；Faustmann模型给出了确定环境下的最优LEV，而MDP模型则给出了随机环境下的最优LEV。Lembersky等［72］首次将MDP应用于林分LEV的估值。随后，Insley等［43］、Buongiorno等［59］聚焦于随机木材价格，使用MDP探讨了木材价格波动对于林地所有者收益的影响，也证明了MDP在林业经济学中的适用性和高效性。进一步地，Sloggy等［47］将MDP扩展为MOMDP（Mixed Observability Markov Decision Process），以处理多个随机变量下最优轮伐期的确定问题。

5 研究结论与展望

5.1 结论

最优轮伐期决策一直是林业经济学领域的研究重点。设置合理的林业碳汇项目期限及森林采伐制度，能够充分发挥森林及木质林产品的固碳潜力。文章以Faustmann模型为基础，着眼于随机价格下最优轮伐期决策的研究进展，梳理了Faustmann模型经典框架及其广义扩展，对不同市场假说下价格波动的处理方法以及不同价格假设下的林地价值评估方法学进行了分析，得出以下主要结论。

（1）在现代资本市场理论中，以伊藤过程和状态相关波动过程为基础的随机过程是描述木材和碳汇价格波动的重要模型，它们通过指定漂移率和波动率来描述价格随时间的变化。GBM和MR分别由于符合有效市场假说和完全竞争市场假设而得到广泛应用，在GBM假设下，价格具有指数增长的趋势，而MR假设下的价格将保持在均值附近波动。此外，也有林业经济学家根据经验价格数据的检验使用了更为复杂的随机过程模型。

（2）以Faustmann经典模型框架为基础的多数研究均使用了基于DCF的静态价格分析方法，但DCF作为确定型决策无法处理市场风险，也无法利用新信息灵活调整决策方案。而ROA允许林地所有者进行动态分析、根据市场状况随时调整经营策略，通过在每个决策点比较立即采伐与延迟采伐的预期收益、并在实际木材价格超过阈值或实际碳汇价格低于阈值时选择采伐林分从而在风险中获利。

（3）以即期收益价值与连续收益价值最大化为目标的贝尔曼方程是求解林地实物期权价值的有效方法。通过对贝尔曼方程求解，可以得到不同决策点上的一系列采伐阈值，林地所有者可以通过比较采伐阈值和实际价格的方式决定是否立即采伐林分并出售木材获利。而构建偏微分方程、蒙特卡洛模拟和MDP则分别可以在价格服从正态分布、具有多个随机价格和价格具有马尔可夫性时有效求解贝尔曼方程。

5.2 展望

林地所有者面临着来自金融资本市场的多重价格风险，大量学者基于ROA和随机过程模型研究了Faust‐mann模型中的随机价格问题，特别是针对木材价格波动时的森林管理决策问题，已有许多学者对不同树种开展了专门研究。然而，在处理Faustmann模型中的随机价格问题时，仍有一些值得重视的科学问题。

（1）将Faustmann模型在气候变化背景下扩展至完整林业碳汇效益。随着气候问题的加剧，森林在缓解全球气候变化方面发挥的作用越来越受到国际社会的关注［7，15］。从已有研究来看，Faustmann模型中的随机价格研究多集中于木材价格，涉及碳汇效益的研究仍然较少。一般来说，完整林业碳库包括地上生物量、地下生物量、枯死木、枯落物、土壤有机碳和木质林产品，特别是木质林产品碳库，它们不仅可以比自然死亡的树木将碳储存更长时间，而且当考虑替代效应时，还可能导致高碳排放建筑材料的使用减少［7］。精准核算完整林业碳汇效益并与ROA相结合，能够充分实现林业的生态价值。

（2）使用包含机器学习在内的多种方法对木材及碳汇价格波动进行更加精确和合理的建模。不同的价格模型会导致模拟的样本路径在未来时间点上的不同分布，由于ROA方法依赖于未来价格分布的形式，价格模型的设置对LEV的估算至关重要［40］。就中国而言，木材市场存在明显的区域特征，且竞争与垄断并存，多种所有制和经营形式并存［17］；碳排放权交易市场仍处于起步和发展阶段，且交易价格会受到环境、政策等因素的影响，未来的价格路径难以用简单的随机过程描述［10］。因此，有必要使用包括随机过程、神经网络、机器学习在内的多种方法对木材价格和碳汇价格进行准确建模，以实现LVE的精确估值。

（3）在Faustmann模型中考虑包含资源风险和决策者偏好风险在内的多个风险来源。除了价格风险外，林业管理还涉及资源风险和决策者偏好风险［73］。特别是在气候变化背景下，包含火灾、病虫害等在内的资源风险显得尤为重要。此外，以林地所有者自身风险偏好和政策风险为代表的决策者偏好风险也是影响最优轮伐期的关键因素。因此，如何将多个风险来源同时纳入Faustmann模型，并构建一个合理的指标体系，在生态模型和经济模型之间取得权衡，以协助林地所有者根据自身偏好做出最优管理决策，也是未来的一个重要研究方向。