基于主成分分析法与模糊算法的芯片固化温度建模方法

刘耀义，余 敏，李 才

（1.惠州市蓝微电子有限公司，惠州 516000；2.三一重工股份有限公司，长沙 430100）

0 引言

实际工业过程中的很多系统，如材料的成型过程、化学过程中的催化反应、表面贴装（Surface Mount Technology,SMT）产线上的芯片固化工艺，都具有典型的时间和空间动态特征，它们常被称为分布参数系统（Distributed Parameter System，DPS）[1]。这些过程通常伴随着明显的时变或非线性，并且具有未知的动力学和未知的边界条件，这些都为DPSs的有效建模带来了巨大的挑战[2-4]。

对于这类系统，传统的处理方法是将其视为一系列的偏微分方程组（Partial Differential Equation，PDE），然后通过数学推导或数值求解的方法，如有限差分法（Finite difference method，FDM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）、伽辽金及谱方法等[5-7]，将其转化为常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）。这其中需要解决无线维向有限维的近似问题，很多学者展开了研究并取得了一系列的成果。在工程应用中，这类模型通常被称为有限集总参数模型。然而，对于这些主要的建模方法，在许多DPS中获得精确的偏微分方程或边界条件是一个巨大的挑战，这往往使得对此类DPS建模变得困难[8-9]。

近年来，随着传感器技术的发展和数据手段的不断更新，各种形式的数据从工业过程中被采集出来，这为数据建模方法的发展和广泛应用，提供了强大的数据基础。因此，为了进一步弥补传统方法的不足，很多学者提出了一些基于数据模型的方法，从实验输入/输出数据中提取系统的特征，确保数据驱动模型的准确性[10-11]。其中，时空分离策略被许多学者研究并获得了大量成功应用[12]。该类方法主要通过机器学习算法，如Karhunen Loève（KL）[13]、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[14]和支持向量机（Support Vector Machine，SVM）[15]等，从系统的输入与输出数据中提取空间特征，这些特征被称表示为空间基函数。然后，将系统输出映射到空间基函数，生成表征DPSs时间动态的的时间系数，从而实现从原始时空建模问题向时间序列建模过程的简化。为此，人们开发了许多方法来模拟这一时间序列过程[14-16]。然而，这些方法主要在处理线性动态方法具有明显的优势，但对于如芯片固化过程等具有明显非线性的工业过程，其建模的准确性无法满足实际需求。此外，为了解决这个问题，尽管已经有学者开发了数据驱动的建模模型，但高阶模型给计算资源带来了巨大压力，使得模型难以用于实际预测和控制。

因此，为有效解决工程实际中存在的建模难和运算复杂的问题，本文基于全局降维技术和现有时空分离架构，提出了一种低维时空建模方法，对芯片加热过程中的非线性空间和时间动态进行有效建模。首先，利用PCA对非线性空间特征进行全局处理，识别并删除冗余空间点；在损失尽量少信息的前提下，将无限维的空间动态分布转化为有限维的空间基函数。在此基础上，通过将系统的时空数据在空间基函数上投影，得到表示系统非线性时间动态的时间序列。然后，结合模糊算法在非线性建模方法的优势，建立了基于模糊算法的非线性时间模型。最后，将所获得的空间基函数与非线性模糊模型结合起来，实现了对芯片固化成型过程中空间分布和非线性时间动态的有效重构。并通过晶圆的快速热过程仿真，对本文所构建模型的有效性进行了验证。

1 问题描述

1.1 温度建模中存在的问题

在芯片固化过程中，温度经常决定着产品的最终性能。例如，晶圆的快速热过程中，需通过合适的升温速率将晶片重复加热至所需温度。此外，在STM产线上，将电子元件放置到印刷电路板（Printed circuit boards,PCB）上后，也需要通过固化炉的加热作用将元件固定在PCB板上。该过程中的升温速率与峰值温度分别决定了组装胶固化后SMT贴片的加工表面质量和贴片胶的粘结强度。因此，温度的均匀分布与控制精度是芯片成型和质量的关键。以晶圆的快速热过程为例，其具体原理如图1所示。

图1 晶圆的快速热过程示意图

在一些假设和简化条件下，例如忽略位置的极角和晶圆的厚度，该系统可描述为以下偏微分方程[17,18]：

其中，T和Ta是晶圆和石英窗的调整温度，dn(z,t)和dr(z,t)分别表示系统中未知的噪声和扰动；uj(t)表示系统输入（电源灯的实际强度）；bj(z)表示外部输入能量从区域j传输到晶圆的位置z上的辐射系数。系统的初始状态和边界条件如下：

目前，虽然有很多针对分布参数系统的模型被提出，但大多集中在慢变、线性或非线性过程中。由于物体本身的物理特征，从圆心铺展开来的阶梯温度分布，导致了加热过程温度分布具有很强的空间和时间的非线性，这与很多工业过程有很大的区别。此外，在实际生产过程中，由于时变非线性、未知动力学和未知边界条件，获得上述显式的方程和边界条件非常困难。因此，结合材料本身的物理过程和生产数据建立加热过程中准确的温度分布模型，对于保证良好的质量具有重要意义。

1.2 数据驱动的温度建模方法

针对上述问题，很多基于数据的温度建模方法被提出来，其中比较典型的是时空分离框架[12]，这种方法主要根据傅里叶变换思想，对不同采样时刻的样本数据进行分析。其具体做法是：首先，利用特定的特征提取算法获得快照集的主要特征，从而在信息损失最小的情况下，将无限维的空间分布转化为有限维的标准特征向量，即空间基向量。在此基础上，将原始样本在空间基向量上投影，得到表征非线性时间动态的时间序列数据。这样，复杂的非线性时空建模方法就有效地转化为了时序建模问题。

在测试晶圆的表面沿半径方向，平均分布N个空间传感器，采集到如下数据：[u(tk),y(xi,tk)]，其中，i=1,2,...,N，k=1,2,...,L。y(xi,tk)表示第i个传感器在tk(k=1,2,...,L)时刻的输出。u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]T表示输入电压。基于时空分离思想，该分布参数系统的时空动态可由下式构建：

最终，通过降维技术，系统输出可近似为以下的M阶模型：

在上述时空分离架构的基础上，有很多不同的算法被提出，如KL变换、奇异值分解、流形学习等[13-15]，并在实际工业过程中得到了有效验证。然而，这一类方法在进行降维的时候主要基于线性变换，大多只适用于线性系统或弱非线性系统动态，往往无法对强非线性时空动态进行有效的建模。因此，需要建立一个有效的非线性时空模型，以表征系统的复杂空间分布与非线性时间动态。

2 基于PCA和模糊的低维时空模型

为了解决芯片成型过程中温度场的时空非线性动态建模问题，在PCA和非线性模糊建模技术的启发下，提出了一种低维时空建模方法来重新建立温度场的非线性时空动态。具体如图2所示。与传统的数据建模方法相比，该方法对非线性空间特征采用全局处理的方法，在利用PCA算法的时候，引入了核技巧，使低维空间中的非线性样本数据在高维空间中被映射和线性化，从而在变换过程中保留空间非线性动力学。在此基础上，通过将原始时空数据映射到空间基函数，获得表征系统时间动态的时间序列。利用T-S模糊模型在非线性建模方面的优势，对系统的时序数据进行建模。最终，将二者结合起来，实现了对芯片成型过程中温度的空间分布和非线性时间动态的有效建模。

图2 基于PCA与模糊的低维时空建模方法

2.1 芯片固化过程的空间降维方法

通常，在对非线性分布参数系统进行建模的时候，传统基于主成分分析或流形学习等方法的降维过程是线性的，在处理强空间非线性时，空间基函数的提取不能准确反映空间动态，导致低维时间序列数据无法准确获取，从而产生建模误差。这里，利用PCA中核技术，将低维空间中的非线性样本数据在高维空间中做线性映射，从而在变换过程中保留空间非线性动力学。

为表示方便，将y(xi,tk)，i=1,2,...,N在tk时刻的输出简化为：

引入空间映射函数φ(·)反映数据从原始数据空间到高维空间的映射。由于在实际生产系统中，φ(·)通常很难获取，一个有效的方法是引入核技术，通过映射函数的内积形式，将其显示化为空间核函数。在本文中，以下的高斯核径向基函数用于反映这种低维到高维的非线性映射关系：

其中，δ表示高斯核函数的宽度参数。传统的PCA降维方法是直接对样本数据χk进行处理。这里考虑到空间的非线性分布，引入了核技巧以实现对空间非线性的有效表征。假设样本χk在新坐标系中的映射为，则原始数据投影前后的误差为：

其中，E满足

其中，W=(w1,w2,...,wN)表示投影变换后的新坐标系中的一组正交基。这里的核心问题是要找到符合条件的一组基函数满足||W||2=1，由上述过程可构建如下的二次优化问题：

利用拉格朗日乘子法，并对上述目标函数求导后，可以得到满足条件的一组基函数：

通过时空数据的非线性映射和高维特征空间的降维，空间基函数ψ(x)={ψ(x1),ψ(x2),L,ψ(xd)}即可获得：

2.2 模糊时间模型

基于上述有限维空间基函数，通过将系统输入与输出数据在该高维空间进行映射，得到系统的非线性时间序列。根据时间序列数据的特征，建立相应的模糊规则，提出了一种基于模糊算法的非线性模型，对系统的非线性时间动态进行重构。

根据时空分离的思想，将系统的输入和输出数据在核函数上投影，可以得到表征系统时间动态的时间乘子。其中，αi(tk)用于表征系统在xi位置的时间动态。可见，对该时间乘子建立有效的模型，即可实现对系统的非线性时间动态的准确表达。这里，考虑到模糊模型对一切非线性过程的精确逼近能力，采用模糊模型来构建晶圆固化过程中时间维度上的非线性动态。假设Gsi(i=1,2,L,p)表示先验规则变量的模糊集，令，对于空间位置点j建立模糊规则如下：

其中，s=1,2,L,r表示规则编号；α(tk)表示系统在tk时刻的非线性时间动态；u(tk)表示系统在tk时刻的输入；As和Bs分别表示上一时刻的输出与该时刻输入的系数。通常，利用优化算法可进一步求解得到参数As和Bs。由此，可以构建系统的时间乘子模型如下：

σl表示第l个模糊集的高斯参数。最后，结合无冗余空间基函数和模糊时间模型，可得用于表征系统非线性空间分布和时间动态的时空模型：

综上所述，本文所建立的基于核化主成分分析和模糊算法的低维时空建模方法的主要过程如下：

1）利用传感器测量系统中的输入和输出数据，对数据采用核化主成分分析方法，通过式(13)和阈值（95%）确定降维后的最优维数，将无限维的空间分布转化为有限维的传感器的空间特征。

2）基于上述的空间基函数，根据式(5)将系统输入与输出数据在该高维空间进行映射，得到式(16)中的非线性时间序列。

3）根据时间序列数据的特征，建立相应的模糊规则，提出基于模糊算法的非线性模型(18)，对系统的非线性时间动态进行重构，表征晶圆固化过程中的非线性时间动态；

4）根据空间基函数与时间模糊模型，得到最终的低维非线性时空模型(20)，实现对系统非线性空间动态和时间动态的准确重构。

3 算例分析

为了进一步验证，本文所建立的基于KPCA和模糊算法的时空非线性建模策略，本章设计了晶圆固化过程中的算例，对模型的准确性和有效性进行验证。

对于方程(1)～(2)描述的晶圆固化系统，方程(1)中的bj(z)表示外部输入能量从区域j传输到晶圆位置z上的辐射系数，其具体形式可表示为[17]：

上式，dl表示灯到晶圆的距离，rin,j和rout,j是电源灯在区域j的内径和外径。

该系统中，噪声为满足dn(z,t)～N(0,0.042)的高斯白噪声；灯光源到晶圆的距离dl=1.15cm。其他加热过程中的参数设计和取值如表1和表2所示[18]。

表1 加热区域划分及相关参数设置

表2 晶圆固化过程中的参数取值

通过与几种常用方法的比较，对晶圆的固化过程进行了仿真研究，评估所提出的建模方法的有效性。采用相对误差（RE）和均方根误差（RMSE）两个指标来验证建模性能。

在仿真过程中，以晶圆的圆心为重点，沿半径方向平均布局了13个传感器，用于监测和收集固化过程中晶圆的温度，每个传感器之间的距离是1cm，如图3所示。

图3 晶圆表面传感器的空间分布

对系统的每个区域施加激励信号[17]，以0.01s为采样时间，经时长为3s的收集，总共采集了300组输入及相应的输出数据。加热过程中五个区域的激励信号及晶圆表面温度的最终分布如图4、图5所示。

图4 加热过程中的激励信号

图5 晶圆表面的温度分布

在这些数据中，取前200组数据作为训练数据，其余100组数据用于测试模型。根据所提出的方法，利用最佳切图策略后，所建模型的阶数从13减少到8。根据降阶后的8个传感器，基于空间核函数与模糊算法进行时空非线性动态的建模，该模型的实际输出和训练输出，以及相对误差如图6、图7所示。

图6 训练数据上的模型输出

图7 训练相对误差

从图6和图7可以看出，在训练过程中，所提出的模型可以有效地模拟系统的时空动态，相对误差在很小的范围内有界。此外，所建立模型的预测性能如图8、图9所示。

图8 测试模型输出

图9 测试相对误差

从图中可以看出，利用实际的实验输入和输出数据，该降阶模型能够有效地重建该热过程的时空动态，且测试点的预测误差较小。为进一步展示该算法对于删减点的重建性能，在原始特征值的基础上，利用插值的方法对删减后的传感器点进行还原，模型的还原结果与原始数据对比结果如图10所示。由图可知，插值恢复后的传感器数据与原始数据吻合度较高，总体丢失信息较少。

图10 晶圆位置s3处的模型预测输出

然后，通过比较验证了该方法的有效性。表3显示了相同顺序下不同方法的性能比较。为了在同一维度上真实反映所有比较结果，与其他降维方法相比，本文设计的模型通过插值恢复冗余传感器的数据。从RMSE可以看出，与文献[14]中提出的基于PCA与神经网络的建模方法相比，该方法具有更好的建模性能，因为该方法在降阶过程中充分考虑了非线性空间分布，并且通过在线时空建模策略重构了时间非线性动力学。

表3 算法对比结果

4 结语

本文针对芯片成型过程中温度场在空间和时间上的非线性动态分布特性，在传统时空分离结构的基础上，采用KPCA和模糊算法相结合的方法，提出了一种低维时空建模方法来重构DPS的非线性时空动力学。利用这些机制，该方法可以有效地实现时变非线性DPSs模型。在此低维时空模型的基础上，结合晶圆的快速热过程进行了算例分析，并选取了几种常用的方法进行了进一步的比较。最终的实验结果和数据分析表明，由于充分考虑了空间和时间非线性动力学，与其他方法相比，该方法具有更好的建模性能。在后面的工作中，会进一步基于实际的晶圆固化过程进行硬件实验，并对芯片固化成型过程中温度的准确与均匀控制展开深入研究。