初中数学教学中渗透数形结合思想的策略

甘肃省张掖市民乐县教育局 王丽娟

数学是研究数量关系和空间形式的学科，研究对象是客观世界中的各类事物的量。事物的量有两种表现形式，分别是“数”和“形”。数形结合思想是“数”与“形”关系的彰显，是数学思想的重要构成，是学生学习数学的有力支撑。因此，教师要立足数学学科特点，结合“数”与“形”，引导学生进行数学研究。

所谓数形结合思想，是以“数”“形”关系为基础，以“数”“形”之间的相互转化为重点，化难为易，解决问题的数学思想。渗透数形结合思想于数学教学中，可以使学生充分发挥形象和抽象思维作用，借助数量关系与几何性质的相互转化，扎实掌握数学知识，培养相关能力，增强数学学习效果。学生可以因此获得数学学习“工具”并灵活应用，学会自主学习，提高数学学习水平。

众所周知，数学的基本课型有三种，即新授课、习题课、复习课。这三种课型是渗透数形结合思想的落脚点。在新授课上渗透数形结合思想，可以使学生经历知识形成过程，做到知其然知其所以然，扎实掌握数学知识，同时获取数形结合法，积累新知探究经验，有利于自主应用数形结合法探究数学新知，提高数学学习效果。对此，在教学时，教师可以以三种课型为立足点，结合教学内容，渗透数形结合思想，助力学生进行数学探究，实现学有所获。

一、在新授课中渗透数形结合思想

数学概念、数学定理等是新授课的基础内容。在新授课上，学生不仅要掌握知识结论，还要了解其实质及体现的数学思想。数学基础内容具有抽象性，是数学家借助图形直观总结出的内容。对此，在新授课上，教师可以以数学概念、数学定理等基础内容为立足点，引导学生借助直观图形分析、讨论，经历知识的形成过程，由此发现数学规律、建构数学认知，同时积累数形结合经验，提升学习效果。

例如，在“探索勾股定理”教学时，学生需要探究勾股定理及其逆定理，需要将直角三角形的“形”与斜边、直角边的数量关系中的“数”进行转化。此探究过程恰好体现了数形结合思想。因此，教师需紧扣勾股定理及逆定理的探究过程，渗透数形结合思想。具体而言，在引导学生探究勾股定理时，教师可以用生动的语言讲述数学故事——毕达哥拉斯去朋友家做客发现了地砖图案规律，并借此创设数学情境，吸引学生的注意力。结合故事内容，教师在交互式电子白板上呈现图像，如图（一）所示：

并向学生提出问题：“一个小格子为一个单位，我们用‘1’代表，现在我们准备边长分别为a、b、c 三个正方形，并按图一这样摆放好。大家有没有发现，将三个正方形的边的交点连起来，正好是一个直角三角形。大家想一想，这个直角三角形的三条边和正方形的边有什么关系？和正方形面积之间有什么关系？”在问题的驱动下，学生们产生了浓厚的探究兴趣，积极发挥形象思维，细心观察图像，并认真数格子。学生有所发现：“边长为a 的正方形面积为a2（9 个单位），同理，其他两个正方形的面积分别为b2（16 个单位）和c2（25 个单位）”。说完之后，该名学生恍然大悟，两个小正方的面积加起来正好等于大正方的面积。这时，另一名学生补充：“直角三角形的三条边分别为a、b、c，正如刚才那名同学说的a2+b2=c2，也就是说，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。”

图一

在此观察、发现、探究的过程中，学生们积极地与图像“互动”，将直角三角形的三边关系问题转化为了正方形的面积数量关系问题。如此转化，学生不仅能够直观地得出和验证数学结论，还感受到了数形结合的魅力，同时也为探究其他直角三角形的性质奠定了坚实的基础。

在学生结合图案发挥想象，得出直角三角形的三边关系之后，教师应依据学生的探究情况，立足图像，详细介绍勾股定理。学生在倾听之际，认真观察，再次经历转化过程，总结出勾股定理：“假设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c 时，则a2+b2=c2。”之后，教师还应带领学生一起探讨等腰直角三角形的三边关系。

由此可见，在新授课上渗透数形结合思想，不仅可以使学生们经历数学知识的形成过程，自主转化“数”与“形”，借助直观的“形”，得出数学结论，建构良好的数学认知，还可以使学生们顺其自然地积累数形结合经验，增强数形结合认知，有利于学生自主应用数形结合思想探究其他数学知识，提高学习效果，更有利于培养学生的数学思维、数学推理能力，提升学生的数学核心素养。

二、在习题课中渗透数形结合思想

习题课是学生应用数学思想和数学知识解决数学问题的途径。数形结合思想表现为“以形助数”和“以数解形”。在习题课上，教师需要依据教学内容设计相关题目，并以此为基础，组织“以形助数”和“以数解形”活动，引导学生进行“数”“形”互转。

（一）以形助数

以形助数是借助“形”的直观性，探索、说明抽象的“数”或“数”之间的关系。初中生的形象思维较为发达。在习题课上，教师可以组织“以数助形”活动，使学生获得运用形象思维机会。在体验活动中，学生发挥形象思维绘制数轴、线段图等，直观地展现“数”，由此发现“数”之间的关系，获得问题答案，顺利地解决问题。

例如，在“数轴”教学时，在学生了解了“实数与数轴上的点一一对应”这一内容后，教师呈现相关习题，如下所示：

实数a 和b 的位置如图（二）所示。根据图示，可以确定下面哪一个结论是正确的？（ ）

在呈现习题后，教师给予学生足够的思考时间。在思考的过程中，大部分学生通过观察数轴迁移课堂所学，确定a、b 在具体位置，并尝试绘制数轴，确定-a、-b 的具体位置。此时，学生观察数轴、细心比较，得出结论：a ＞-b。

由此可见，通过体验“以形助数”活动，学生不仅可以将抽象的“数”转化为直观的“形”，借此了解“数”之间的关系，轻松地解决数学问题，还可以强化数形结合思想，深刻理解所学知识点，有利于增强课堂学习效果。

（二）以数解形

以数解形指借助数式的精确化特征刻画图像的某些属性。在体验“以数解形”活动的过程中，学生会站在“数”的角度审视直观的图像，将几何问题代数化，由此利用“数”解决问题。对此，在习题课堂上，教师可以依据学生学情，紧扣“数”“形”关系设计相关问题，如形数规律问题、函数图像与几何图形问题等，使学生获得“以数解形”机会。

例如，“形数”问题是几何学与算术之间的“桥梁”。基于此，在课堂上，教师可以为学生呈现了如下问题：

用棋子摆出图案，如图（三）所示。请观察图案，发现棋子的摆放规律，并试着用此规律，继续摆放棋子。请问，第n 个图形所使用的棋子个数是多少？

图三

面对此问题，学生认真观察图案。在观察之际，不少学生试着从不同角度进行数数，由此了解每个图案中的棋子个数。如：“第一个图案中使用棋子个数为：3+3=6；第二个图案中使用的棋子个数为：3×2+3=9；第三个图案中使用的棋子个数为：3×3+3。”学生对此进行对比，发现规律，得出结论：“第n 个图案所使用的棋子数为：3n+3”。

由此可见，通过体验“以数解形”活动，学生灵活地应用了“数”与“形”关系，利用“数”表示“形”实现了几何问题代数化。尤其，在“数”的作用下，学生轻松地发现规律，得到问题结果。如此，学生不仅轻松地解决了数学问题，扎实掌握数形结合思想，还自然而然地提升了自身的数形互换能力、数学思维能力，有利于提升数学学习水平。

三、在复习课中渗透数形结合思想

复习课的目的之一是引导学生回顾、总结所学。引导学生回顾、总结所学的方式有很多，如解决数学问题，建立图表等，这些方式正是数形结合思想的承载。例如，在解决数学问题的过程中，教师可以展现图像，引导学生回顾所学知识。因此，在复习课教学时，教师可以联系教学内容，选用适宜的方式组织复习活动，顺其自然地渗透数形结合思想。

（一）在解决问题中渗透数形结合思想

解决问题是学生复习所学的方式之一。在复习课上，教师可以立足复习内容，呈现“形”或“数”，对此提出相关问题。在问题的作用下，学生会自觉地与“数”或“形”互动，开动思维，回顾所学，解决问题，借此巩固所学，同时培养数形结合思想，增强复习效果。

以“一次函数”教学为例，在学生学习了一次函数的图像及其性质后，教师可以组织复习活动。在活动中，教师向学生呈现一次函数图像，提出问题：“请大家回顾一次函数的有关性质，试着结合函数图像，回答问题。问题一：在这个一次函数图像中，k1和b1的取值范围各是多少？K2和b2的取值范围是多少？问题二：假设，A 的坐标为（-2，0），B 的坐标为（-4，0），C 的坐标为（1，0）。则，关于x 的不等式k1x+b1＞0 的解集是多少？关于x 的不等式k2+b2＞0 的解集是多少？”

在问题的作用下，学生进行头脑风暴，联想一次函数的相关性质，并对此观察一次函数图像，尝试用一次函数的性质解决问题。在学生解决问题后，教师随机选择学生代表，鼓励其展示问题答案，介绍一次函数的性质。教师则把握时机，补充一次函数的性质。

这种方式的复习，不但使学生解决了问题，巩固了课堂所学，还使学生结合“数”与“形”内化数形结合思想，提升问题解决能力。

（二）在制作图表中渗透数形结合思想

制作图表是学生进行数学复习的重要方式。实际上，制作图表的过程正是学生结合“数”“形”的过程。在此过程中，学生可以借助“数”“形”梳理课堂学习内容，建构完善的认知识知，同时强化数形结合思想，增强复习效果。对此，在复习课上，教师可以提出制作图表任务，驱动学生结合“数”“形”。

以“直线和圆的位置关系”教学为例，学生在课堂上体验操作活动，借助圆形模型、直尺等工具，总结出了直线和圆的位置关系。事实上，操作活动即蕴含了数形结合思想。基于学生的学习所得，教师设置如下任务：“请大家回顾课堂学习过程，将操作活动转化为图像，直观展现直线和圆的位置关系，归纳结论。”在任务的驱动下，学生积极思考，在脑海中描绘具体画面，并将脑海中的画面转化为具体图像，如图（四）所示，继而进行测量、获得数据、归纳结论。

图四

在学生建立图表后，教师需鼓励他们毛遂自荐，展示自己的图表内容。与此同时，教师应鼓励学生代表结合图表，操作交互式电子白板，动态、直观地展现直线与圆的位置关系，详细讲述，帮助其他学生完善认知，做到知其然知其所以然，扎实掌握课堂所学。比如，有学生说：“当直线和圆相交时，有且仅有一个交点。”在讲述之际，其操作交互式电子白板，用直观现象进行验证。

由此可见，通过制作图表，学生可以经历数形结合过程，切实巩固课堂所学，内化数形结合思想，提高数学课堂学习质量。

四、结语

总而言之，有效渗透数形结合思想于数学教学中，可以使学生获得学习助力，走进新授课、习题课、复习课，发挥自主性，灵活地转化“数”与“形”，借此掌握数学知识，培养数形结合思想，增强学习效果。鉴于此，在初中数学教学时，教师要立足数学学习特点，把握“数”与“形”关系，将数形结合思想作为“工具”，应用多样策略，渗透于新授课、习题课、复习课，为学生提供“数”“形”互换机会，使他们借此探究数学规律，自主探究数学结论，并灵活应用解决实际数学问题，梳理、总结所学，扎实掌握数学知识、数形结合思想，实现学有所得，进而提升数学教学质量。