刚性线圈所受磁场安培力规律的研究——以2022 年全国高考物理乙卷24 题为例

王伟民，牟银勇

1.安徽省太和县宫集镇中心学校，安徽 太和 236652

2.重庆市育才中学，重庆 400050

1 原题呈现

例题1（2022 年全国高考物理乙卷第24题）如图1，一不可伸长细绳的上端固定，下端系在边长为l=0.40 m 的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 时间内，磁感应强度大小随时间的变化关系为B（t）=0.3-0.1t（SI）。

图1 原题附图

（1）求t=2.0 s 时金属框所受安培力的大小；

（2）在t=0 s 到t=2.0 s 时间内金属框产生的焦耳热。

2 试题简评

本题目单题分值高达12 分，是整份试卷中除去必做题最后一题之外单题分值最高的一道题，是必做题的倒数第二题，处于试卷压轴题的重要位置——单题分值较高、难度相对较大的最后两三道题目，通常被称为压轴题。这也是人们最为关注的试卷的一个板块，因为压轴题多为拉开不同能力考生分数差距的题目。

本题内容短小精悍，仅用了200 多字就把需要展示的物理情境交代得清楚明白，体现了编者高超的原创题目的编拟水平。该题内容虽短，但却是一道综合性很强的题目，重点考查学生对法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力的计算公式、共点力合成的平行四边形法则、焦耳定律公式等内容的掌握情况，以及综合运用物理规律解决复杂物理问题的能力。对于上面的这些知识点，学生有一处未能熟练掌握，都很难正确解答。

3 试题解析

由题目条件可知，在指定的时间段内，穿过闭合线圈的磁感应强度呈线性减小。根据楞次定律可以判断，正方形线圈中的感应电流是按逆时针方向流动的，如图2 所示。根据左手定则可以判断出正方形线圈处于磁场中的两边BC 和CD受到的安培力的方向是垂直于导线向下的（图2）。

图2 线框所受安培力分析

（1）因为BC 边和CD 边长度相等，通过的电流相等，任意时刻它们所处位置的磁感应强度也相等，所以它们受到的安培力相等，F1=F2，且这两个力都与竖直方向成45°角。把这两个力平移至共点之后的情形如图3 所示，F1和F2的合力F便是金属框所受的安培力。

图3 力的合成

金属框中感应电流大小为

t=2.0 s 时金属框的BC，CD 两边所在处的磁感应强度为

B=0.3-0.1t=0.1 T

这时，BC，CD 两边所受安培力的大小为

F1=F2=IlB=1 A×0.40 m×0.1 T=0.04 N

所以，F1和F2的合力（即正方形金属框所受安培力）大小为

（2）由焦耳定律公式可得

Q=I2Rt=（1 A）2×4×0.40 m×5.0×10-3Ω/m×2.0 s=0.016 J

仔细分析能够看出，这道题的第一问——t=2.0 s 时金属框所受安培力的大小，最终算出的N 这一结果，既是BC，CD 两边所受安培力合力的大小，同时也是把对角线BD 作为导线并处于同一磁场中也通入1 A 的电流时所受安培力的大小。那么，这是一种“偶遇”的巧合，还是其间隐含着一种必然的物理规律？ 答案是后者。

4 垂直于刚性通电线圈平面的匀强磁场对线圈安培力的矢量和为零

为便于同类问题分析及证明的方便，我们提出如下引理：

引理：完全处于匀强磁场中的刚性封闭通电平面线圈，若线圈平面与磁场方向垂直，则磁场对整个线圈各微元安培力的矢量和为零。

先对一种最简单的情形进行证明——三角形线圈所受磁场安培力规律的证明。

例题2求证：完全处于匀强磁场中的刚性三角形通电线圈，若线圈平面与磁场方向垂直，则磁场对三角形线圈各边安培力的矢量和为零。

证明如图4 所示，轻质刚性封闭三角形线圈△ABC 置于纸面内，线圈平面所在的空间存在着垂直纸面向外的匀强磁场。设△ABC 的三边长分别为a，b，c，磁场的磁感应强度为B，线圈内通入逆时针方向的电流I（注：可以证明，磁场方向或电流方向任意改变时，均不影响结论的成立）。设三角形线圈三边所受磁场安培力的大小分别为Fa，Fb，Fc，则有

图4 通电线圈受力分析

Fa∶Fb∶Fc=IaB ∶IbB ∶IcB=a ∶b ∶c

将图4 中表示△ABC 线圈三边所受安培力的三条有向线段Fa，Fb，Fc进行平移组合成△A'B'C'，如图5，由几何知识易证，△A'B'C'∽△ABC。显然，由相似三角形对应边成比例的性质可知，当B'C'=Fa时，A'B'=Fc，A'C'=Fb，因此，△A'B'C' 即为Fa，Fb，Fc组成的矢量三角形，所以，问题得证。

图5 通电线圈受力分析

根据例题2 的结论，我们很容易推理出下面的结论。

如图6 所示，若纸面内存在垂直于纸面的匀强磁场（图中没有标出），纸面内的两段金属丝AB，BC 连接于点B，当通入如图6 甲所示的电流时，这两段金属丝所受安培力的矢量和等效于同一磁场中直线金属丝AC 通入由A 至C 的等大电流时所受的安培力。

图6 通电导线所受安培力分析

我们以此为推理依据，并以图7 所示的凹七边形为例，来推证如下结论：方向垂直于刚性封闭多边形（包括凸多边形和凹多边形）通电线圈平面的匀强磁场，对完全处于磁场内的多边形线圈各边安培力的矢量和为零。

图7 多边形通电导线

图7 中，假设七边形刚性线圈通入了逆时针方向的电流I，线圈所在处的磁场方向垂直于线圈平面，则AB，BC 两边所受磁场安培力的矢量和，等效于直线金属丝AC 通入由A 至C 的电流I 时AC 所受的安培力（注：图中的AC 没有画出）。这样，七边形线圈ABCDEFG 各边所受磁场安培力的矢量和等效于六边形线圈ACDEFG 各边所受磁场安培力的矢量和。按此方法递推，六边形线圈ACDEFG 各边所受磁场安培力的矢量和等效于五边形线圈ADEFG 各边所受磁场安培力的矢量和……按这样的规律等效下去，最终的结论是，七边形线圈ABCDEFG 各边所受磁场安培力的矢量和等效于三角形线圈AFG 各边所受磁场安培力的矢量和。问题得证。

因为任意封闭平面刚性线圈都可以视为很多折线的组合（即可视为多边形），所以我们可以得出结论——磁场方向垂直于刚性封闭通电线圈平面的匀强磁场，对完全处于磁场内的通电线圈的安培力的矢量和为零。

应该说，这一规律跟底面水平、侧壁竖直的容器中盛有液体时，液体对容器侧壁的压力规律类似——液体对各侧壁压力的矢量和为零，我们也可以用同样的方法对这一规律的正确性进行证明。盛有液体的容器不会因为液体对其侧壁存在压力而向某个方向运动，就是因为液体对容器侧壁压力的矢量和为零。

据此，可以推出下面的推论。

推论：匀强磁场中垂直于磁场方向的某平面内有刚性弯曲金属丝AB，通入由A 至B 的电流时金属丝所受磁场的安培力，与以A，B 为端点的直金属丝通入由A 至B 的等大电流时所受的安培力大小相等，方向相同。

利用上面的引理和推论，我们可以方便快捷地对相关问题进行求解。

5 该高考试题的多个变式及解析

可以发现，例题1 给出的这道高考题设置的正方形金属线圈在磁场中的位置很“特殊”，因为悬吊金属线圈的细线系在正方形线圈的一个顶点处，所以，悬吊起来的金属线圈静止时，它的两条对角线一条水平，一条竖直（金属线圈质量分布均匀的条件下），其水平对角线恰好与有界磁场的上边界重合。我们不禁要问，如果题目设置的其他条件不变，而是将悬吊金属线圈的悬吊点在线圈的边上任意移动一下，正方形金属线圈所受磁场安培力会发生怎样的变化？

对于质量分布均匀的正方形金属线圈，若悬吊点刚好在正方形一边的中点位置，则线圈稳定之后的情形如图8 所示，它的两组对边，一组是水平的，一组是竖直的。当然，如果悬吊点既不在正方形的顶点位置，也不在一边的中点，则线圈稳定后的情形如图9 所示，它的四边都是倾斜的。当线圈重心位于磁场边界时，无论是图8 所示情形还是图9 所示情形，正方形线圈都是有一半的面积处于磁场之中。图8 所示情形可视为图9 所示情形的一个特例。

图8 线圈一半位于磁场中

图9 变式1 附图

变式1如图9 所示，一不可伸长细绳的上端固定，下端系在边长为l=0.40 m 的正方形金属框的一条边上，拴绳点O 到正方形顶点A 的距离为a=0.05 m，金属框质量分布均匀。已知空间内存在有界水平匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，稳定后金属框的重心刚好位于磁场的水平上界面位置。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 时间内，磁感应强度大小随时间的变化关系为B（t）=0.3-0.1t（SI）。求t=2.0 s 时金属框所受安培力的大小。

分析正方形线框ABCD 处于磁场中的部分有三段，分别是EC，CD，DH。由上面的推论可知，这三段金属丝所受磁场安培力的矢量和等于连接于E，H 两点的金属丝并通入由E 至H 的等大的电流时金属丝EH 所受的安培力，如图10 所示。

图10 变式1 分析图示

解析图10 中，过D 作DG∥EH，交BC 于G点，则DH=EG，因为正方形线框质量分布均匀，由几何知识可以证明，AO=CM=BE=DH，因此，CG=CB-2BE=0.30 m，所以

依题意可知，金属框中感应电流大小为

t=2.0 s 时金属框的EC，CD，DH 三段金属丝所在处的磁感应强度为

B=0.3-0.1t=0.1 T

因此，通电导线EH 所受安培力的大小为：F=ILB=1 A×0.50 m×0.1 T=0.05 N，方向竖直向下。所以，当t=2.0 s 时金属框所受安培力的大小为0.05 N。

变式2如图11 所示，一不可伸长细绳的一端固定，下端系在一边长为l=0.40 m 的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值λ=5.0×10-3Ω/m；单边金属导线质量为10 g，磁感应强度大小随时间的变化关系是B（t）=0.3+0.1t（SI）。问：在什么时间，细绳中的张力为零？

图11 变式2 附图

分析载流线框受重力、拉力和磁力作用。平衡时合力为零。

解析 由受力分析可知（图12），平衡时有

图12 受力分析图

即安培力和重力大小相等，方向相反。

FB-FG=FB-0.04×9.8=FB-0.392=0

其中

而

因此有

解得

t=3.93 s

6 结语

处于匀强磁场中的某刚性弯曲线圈，如果它所在的平面垂直于磁场方向，在线圈中通入电流I 时线圈所受磁场安培力为F，那么，以相同端点的直导线通入电流I 时所受磁场安培力也为F，利用这一规律，可以方便地对同类问题进行求解。应该说，2022 年全国高考物理乙卷的这道压轴题，内容虽短，但却考查了学生对电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、电阻定律公式、焦耳定律公式等物理知识点的综合运用能力，以及灵活运用物理公式解决复杂物理问题的能力。变换相关的已知条件，可以将原来的高考题改编为题目背景材料相仿、考查知识点类似的不同变式，通过对这些不同变式的训练，可以拓展学生的视野，在解决类似问题时能够举一反三、触类旁通。