历史启迪教学 再现知识本质 助力学生深度理解*——以“分数除法”教学为例

□郑杏桃 岳增成

“分数除法”是人教版教材六年级上册的教学内容，它是整数、小数和分数四则运算知识结构中的最后一块“拼图”。学生在学习此内容之前已熟练掌握分数加法、减法和乘法以及整数和小数的四则运算，他们已经积累了丰富的分数运算和整数、小数除法运算的经验。按理说，学生学习分数除法应该得心应手，实则不然。某学校在六年级第一学期的期末检测中有这样一道题目：“用你喜欢的方法说明200÷一定等于200×2。”测试结果不尽如人意。约65%的学生给出的答案是“因为除以一个数等于乘这个数的倒数”；约10%的学生能仿照教材例题的呈现方式，“结合现实情境以数形结合的方法”阐明理由；约10%的学生能用演绎推理的方法进行解释；还有约15%的学生表示不清楚。可见，对于分数除法，大部分学生只是依据算法进行运算，而没有理解算理。

一、分析内容，寻找原因

（一）分析当下，厘清缘由

人教版教材把本内容编排在六年级上册第3单元，分2课时进行教学。第1课时为“分数除以整数”，教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生理解分数除以整数的算理。整个学习过程中，学生根据整数除法的意义、分数乘法等知识，理解“一个分数除以整数，等于乘这个整数的倒数”。第2 课时为“一个数除以分数”，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。教材编排了“谁走得快些”这一实际问题，结合线段图，依据“路程÷时间=速度”的数量关系，把求速度的问题转化为先归一再归总的问题，帮助学生理解“一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”。

按照教材的学习路径实施教学，结合现实情境能帮助教师解释算理，最终使学生掌握算法。但也存在两处弊端：一是过于依赖情境，难以凸显分数除法算理的本质，更无法让学生真正理解算理，这也导致部分学生不能准确说明200÷一定等于200×2；二是直观模型多样化，不利于体现分数除法运算的一致性，更无法体现分数、整数和小数除法运算的一致性。教师一般会按照教材和教学用书的要求，结合不同的现实情境，根据实际的意义解释不同的分数除法的算理。然而，学生在学习过程中会存在一些疑惑，如：为什么不同的分数除法运用不同的直观模型解释算理？是不是每种分数除法的算理都不一样？

结合具体情境，利用直观图式进行“分数除法”的教学是符合小学生形象思维发展的。但弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中提到：一味地依赖具体情境会使除法问题变得更加复杂。由于教材未能很好地展示从直观的分数到算法的分数再到分数除法规则建立的过程，“分数除法”成了小学数学中的难点。

（二）回顾历史，启迪教学

从历史的角度看，国内外都很少借用现实情境解释“分数除法”的算理，大多是把计算问题进行数学化处理，用代数推理的方式演绎计算过程。如：

这些算法每一步运算的理由都显而易见，并且每种算法都体现了颠倒相乘法的算理。其中，中国古代的通分法更能体现整数、分数除法和小数除法运算的一致性。

二、重构教学，探索实践

（一）运用历史，确立目标

基于以上分析，笔者将数学史融入“分数除法”教学中，确立了以下教学目标。

（1）通过观察、分析、类比、推理，把整数除法和小数除法的计算方法迁移到分数除法中，体会分数除法算法的多样化，理解颠倒相乘法的算理，感悟计数单位在运算中的作用以及除法运算的一致性。

（2）在探究分数除法算理和算法的过程中，发展运算能力和推理意识。

（3）拓宽视野，感受数学文化的魅力，体会数学知识之谐、方法之美，增强数学学习的自信心。

（二）重构历史实施教学

1.实施前测，以学定教

教育心理学家奥苏伯尔说过：影响学习最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。因此，在教学“分数除法”之前，笔者对所教班级39名学生进行了课前测试。测试题目为：尝试计算，并说明计算的理由。测试结果显示：约85%的学生用颠倒相乘法进行计算，即，但说不出计算理由；约5%的学生把分数乘法的计算方法迁移到分数除法中，将被除数和除数的分子、分母分别相除，由于除得的结果都不是整数，因而无法算出答案；还有约10%的学生表示不会，或把分数除法当作分数乘法进行运算，得出错误答案。可见，大部分学生已经会用颠倒相乘的方法进行分数除法的运算，但不清楚这一算法背后的道理。

2.开宗明义，任务驱动

设计意图：以前测结果为依据确定教学任务，以任务驱动的方式激发学生的求知欲望，引导他们深度参与课堂学习。

3.复习旧知，启发迁移

通过对话的方式，引导学生复习整十数除法（360÷90）、小数除法（1.2÷0.6）的计算方法与计算原理。

设计意图：复习整十数除法、小数除法能促使学生将整十数除法和小数除法的计算方法迁移运用到分数除法计算中，为体现小数、整数和分数除法的一致性埋下伏笔。

4.小组合作，探究算法

设计意图：在学生原有想法基础上进行整十数除法、小数除法的回顾复习，通过教师的启发和小组讨论，使学生产生新的想法，形成新的算法，在探究过程中逐渐明晰的道理。

5.展示算法，理解算理

教师先要求每个小组汇报算法，解释运用每种计算方法的依据，然后把多种计算方法呈现在黑板上（如图1）。再组织全班学生进行讨论，比较各种计算方法的异同，引导学生发现这些计算方法之间的区别与联系。最后通过计算结果推断前测中学生做法（即）的合理性，并适时介绍颠倒相乘法。

图1

设计意图：通过小组分享、全班交流，产生多样化的计算方法，让学生经历分数除法算法从一到多的过程，感受探究之乐、成功之悦，品味知识之谐、方法之美。学生在辨析各种算法的过程中，体会到数学的严谨性，发展了推理意识。

6.古今对比，优化算法

教师用课件呈现古代多位数学家不同的方法论证（如图2）。

图2

师：中国是世界数学史上第一个形成分数理论的国家，意大利数学家斐波那契在接触了由中国、印度传至阿拉伯国家的数学后，也思考出了几种解决分数除法的方法。大家能看懂这些古人的方法吗？

生：中国的通分法实际上就是先通分，然后分子相除。

师：图1中哪些计算方法用到了通分法？

生：第②⑥⑧种计算方法。

生：斐波那契的化一法实际上是利用商不变性质进行运算，即被除数和除数同时乘。

生：就是把除数化为1。

师：图1中哪些计算方法用到了斐波那契的化一法？

生：第④种计算方法。

生：斐波那契的同乘法也是利用商不变性质进行运算，即被除数和除数同时乘ac。

师：ac是什么？为什么要乘ac？

生：ac是被除数和除数分母的公倍数，同时乘ac可以去分母，把分数除法转化为整数除法。

师：图1中哪些计算方法用到了斐波那契的同乘法？

生：第⑤种计算方法。

师：斐波那契的单位法，实际上跟中国和印度的通分法差不多，都是先通分，再计算。我们用多种方法验证了颠倒相乘法，都是颠倒相乘法的算理，所以以后颠倒相乘法可以直接用，即。

师：你觉得哪种算法最简便？

生：颠倒相乘法。

师：对的。其实数学的发展也是一个优胜劣汰的过程，颠倒相乘法简便，所以从古代一直沿用至今，还被编写进我们的教材里面。而其他的算法由于麻烦，逐渐被历史淘汰。但这些被淘汰的算法也有它们的价值，它们都是颠倒相乘法的算理。

设计意图：通过介绍中国古代在分数理论上取得的成就，增强学生的民族自信和文化自信；通过对比古今算法，让学生发现自己的想法与古代数学家的想法不谋而合，从而增强学生学习数学的自信心。学生在古今算法的辨析过程中，进一步理解颠倒相乘法的算理，优化分数除法的计算方法，提升了推理意识。

7.学以致用，巩固内化

让学生独立计算三道分数除法题目。

设计意图：选取三道具有代表性的题目，分别是同分母分数相除、异分母分数相除以及除数是整数的除法，让学生灵活运用所学知识，提升推理意识和应用意识。

8.对比归纳，领悟本质

教师引导学生比较整十数除法、小数除法和分数除法的计算方法，使学生发现整十数除法、小数除法和分数除法在计算时都会用商不变性质进行转化，且最终都转化为相同计数单位后相除。

设计意图：教师引导学生建立整数除法、小数除法和分数除法计算之间的关系，帮助学生感悟计数单位在运算中的作用以及除法运算的一致性。

三、效果后测，教后思考

（一）教学后测

本内容教学结束2天后，对班级39名学生进行后测。测试题目为：请用你喜欢的方法说明一定等于200×2。

测试结果如表1所示。

表1

测试结果显示，约56.41%的学生能用代数推理的方式说明“200÷一定等于200×2”的理由，与日常教学效果相比有明显提升。

（二）教学反思

本内容教学以学生的已有认知为起点，引导学生从数学史中获得教学启示，打破日常教学方式，运用代数推理的方式进行教学，让学生经历从算法多样化到算法优化的过程，突破分数除法算理理解的认知难点。

1.研读历史，直白引入，突破难点

“如何计算”并不是分数除法的教学难点，“为什么可以这样计算”才是理解分数除法算理的教学难点，前测的结果也充分说明了这一点。前面的分析说明了利用具体情境结合直观图示教学并不能有效突破难点。历史是教学的指南，在教学中引入数学史，并不是为了让学生学习数学史，而是帮助教师在数学知识发展的历史进程中获得教育启示，并进行课堂教学设计。笔者通过查阅史料，发现历史中分数除法都是通过代数推理的方式阐明算理的。因此，本内容的教学重点应放在帮助学生利用代数推理理解分数除法的算理、破解教学的难点上。基于此，教学时直接以无背景的分数除以分数计算为切入点，“逼迫”学生运用代数推理的方式解决问题。通过知识的联结与迁移，学生利用代数推理探究出了多种解决问题的方法。

2.巧设教学，凸显过程，方法多元

历史发展的进程表明，代数推理在分数除法的计算中至关重要。如何唤起学生代数推理的思维，探究出分数除法的多种计算方法是教学的关键。本内容的教学通过复习整十数除法、小数除法的计算方法与计算原理，唤起学生对商不变规律及计数单位在运算中的本质作用的再认识，为分数除法运算做好了铺垫；通过小组活动探究分数除法的多种计算方法，从而帮助学生理解分数除法的算理。

3.古今对照，理解算理，优化算法

让学生穿越时空，与古人隔空进行思想交流与思维碰撞，不仅能激发他们学习数学的兴趣，还能促使他们在古今方法的对比中自主优化算法。学生通过自主探究，得出8 种不同的分数除法计算方法，与古人的算法大致相同。通过与历史上算法的横向比较，学生更好地理解了古今算法，并对探究出的方法进行了归类，在归类中深刻地理解了分数除法的算理；通过与历史上算法的纵向对比，学生发现颠倒相乘法是多种算法中最简便的一种，这也是人们最终选择颠倒相乘法计算分数除法的原因。在对比中，学生从多到少、由繁入简，不仅理解了算理、优化了算法，还在思考中感受到数学探究的乐趣，发现了人类思维的趋同性，增强了学习数学的自信心。