利用弹性升阶变换求解一阶非线性微分方程

李顺初, 刘 盼*, 付雪倩, 邵东凤, 范 林, 桂钦民

1.西华大学 理学院, 四川 成都 610039;2.北京东润科石油技术股份有限公司, 北京 100029

众所周知,微分方程对于理解生物学、物理学、工程技术等领域有着十分重要的作用[1-3]。在实际问题中,若能求出常微分方程的解析解会对理解和解决实际工程和科学问题有着重要的意义。迄今为止,许多求解微分方程的方法已被提出[4-5]。其中,第二种Weber方程作为特殊函数中的重要一类,已有许多学者进行了通解、边值问题求解等内容的研究[6-7]。

弹性在经济学、数学等学科中具有十分重要的地位,自1920年需求弹性的概念被阿尔弗雷德·马歇尔[8]提出后,肖人俊等[9]给出了供给与需求的价格弹性公式。之后,Woods等[10]提出了弹性及弹性系数的概念,弹性在经济学中的应用逐渐广泛。在数学领域,李顺初等[11]提出弹性外边界的概念,简化了求解微分方程的弹性边值问题的计算过程。弹性、弹性系数、弹性外边界等概念在工程学、物理学、经济学[12-15]等各个学科得到了广泛应用。

弹性理论拥有着浓厚的科学背景,基于弹性的特征,本文提出一种微分变换——弹性升阶变换,并用于求解可化为第二种Weber方程的一阶非线性微分方程的解析解,是求解微分方程解析解的一个重要扩展。

1 预备知识

1.1 弹性的定义

定义1 如果函数y=f(x)可微并且f(x)≠0,则弹性函数可以定义成[10]

(1)

这种将y转化为u的变换就称为弹性升阶变换。

1.2 弹性的意义

1.3 弹性的导数

引理1 如果函数y=f(x)二阶可微并且y≠0,则

1.4 第二Weber方程

引理2 第二Weber方程[16]为

它的本征值为λ=2n+1(n=0,1,2,…),它的通解可以表示为

z=ADn(x)+BEn(x),

2 利用弹性升阶变换求解一类一阶非线性微分方程

2.1 主要定理及其证明

定理1 一类一阶非线性微分方程

(2)

式中,λ=2n+1(n=0,1,2,…),通解存在且

(3)

式中,C、F为任意常数,Dn(x)、En(x)分别为n次的第一类、第二类Weber函数。

证明设y为z的弹性函数,由弹性的定义式(1)得到当z≠0时,有

(4)

再由引理1,得

从而可由方程(2)、(4)变形为

此为参数λ的第二种Weber方程。利用引理2,可以得到解为

z=ADn(x)+BEn(x),

(5)

式中,A、B为任意常数且A2+B2≠0,Dn(x)、En(x)分别称为n次的第一类、第二类Weber函数。再根据式(4)求出式(5)的弹性,即可得出方程(2)的解为

当A2+B2≠0时,可得

式中,C、F为任意常数。因此得到式(3)。

最后,将式(3)代入式(2),经验证定理1成立。

2.2 利用弹性升阶变换求解微分方程的步骤

步骤1 利用弹性的定义及引理1,将一阶非线性微分方程转化为第二种Weber方程;

步骤2 利用引理2求得第二种Weber方程的解;

步骤3 求步骤2中得到的解的弹性,即可得此一阶微分方程的解析解。

求解流程如图1所示。

图1 求解流程

2.3 举例

研究如下一阶非线性微分方程

(6)

的通解为

(7)

式中,C、F为任意常数。

解可以看出式(6)符合式(2)形式。

步骤1 设y为z的弹性函数,由弹性的定义式(1)得到当z≠0时,有

(8)

再由引理1,得

从而可将方程(6)转化为

步骤2 根据引理2,求第二种Weber方程的解为

式中,A、B为任意常数且A2+B2≠0。D1(x)、E1(x)分别称为一次的第一类、第二类Weber函数。易得z二阶可微。

步骤3 利用式(8)求z的弹性,即可得此一阶非线性微分方程的解析解为

式中,C、F为任意常数。由此得到式(7)。最后,将式(7)代入微分方程(6),经验证为微分方程(6)的解。

3 结论与认识

弹性是任何一个函数相对于其自变量所特有的性质,由此,本文提出了弹性升阶变换这一概念并将其应用于非线性微分方程的求解中。弹性升阶变换能解出可化为第二种Weber方程的一类一阶非线性微分方程的解析解。实际上,若通过弹性升阶变换能将微分方程转化为任意可求解的微分方程,那么都可用弹性升阶变换法求其解析解。弹性升阶变换法扩大了非线性微分方程的可求解类,是求解微分方程解析解的一个重要扩展。