工程测量平面坐标系统分析

杨文文

（阜阳市测绘院有限责任公司，安徽 阜阳 236000）

一般情况下，工程建设项目会在各种地形中施工，例如水利工程项目会在山地与丘陵等高程大、测区跨度大的区域建设，如果不进行有效处理，工程建设将不符合测量规范的要求，对后续施工放样工作带来不利影响。因此，有必要建立平面坐标系统，及时解决工程测量控制中长度变形问题。

1 平面坐标系统

工程控制测量主要包括平面与高程测量2 个部分，在工程规划设计阶段，测量的关键在于对大比例尺地形进行精准测绘。施工环节中以设计图纸为参考进行控制线的测量放样。竣工后的工程控制测量需要以关注结构变形为重点，完成测图、施工和变形控制网的有效控制。工程平面控制测量环节，地表水平距离投影到参考椭球面，或者在高斯平面中投影会出现长度变形问题。为合理控制长度变形问题且采取“分带投影”措施，以满足中小型比例尺测量图的需求，但是长度变形控制的实际效果未达到预期且工程区域为高海拔地区或远离中央子午线，此时变形问题将有可能持续扩大[1]。

以实际工程为例，某地防洪清淤疏浚工程全长15km，控制集水面积最大为27074km²，在洪水冲刷与水土流失等问题的影响下，部分河段存在淤积的情况，导致过流断面缩小。在接下来的水利工程建设环节中，有必要应用平面坐标系统解决问题。按照项目所在位置，计算平均高程，测量子午线所在位置，找出投影基准面，然后可以确立坐标系统，从而达到控制点坐标反算边长的长度控制，使边长与实际测量距离在水平上能够保持一致，进一步提高图纸测绘精度，保证测量放样工作的实效性，为接下来的水利工程施工放样提供较好的技术条件与技术参考，发挥平面坐标系统的作用。

2 坐标系的建立方法与适用性分析

按照工程测量区域内的实际地理位置，计算平均高程与长度综合变形值ΔS，工程测量中一般会使用地方坐标系、独立坐标系以及工程坐标系，应用不同方法确立坐标系，具体情况如下。

2.1 应用3°带高斯正形投影坐标系

当工程测区的高程处于158.28m 内，ym超过45.05km时，可应用3°高斯正形投影坐标系。如果该平面直角坐标系符合“长度变形值ΔS1≤25mm/km”的条件要求，那么可以继续应用该平面坐标系，发挥坐标系对测量结果可用性强的优势，达到一测多用的使用效果。结合工程具体建设环境，发现该项目主要位于山区和丘陵地带，高程已经大于158.28m，同时测区跨度很大，变形值ΔS达到分米级，面对这一条件限制，平面坐标系在工程测量中应用频率会偏低[2]。

2.2 采用抵偿投影带的高斯正形投影平面直角坐标系

以子午线为测量投影的中央子午线，通过投影改正抵偿ΔS1，从而使变形值为0。如果高程投影基准面是椭球面，这时H0=0，如公式（1）所示。

式中：Hm为工程测量区域内的平均高程值。

确定平均高程值后，计算得到ym即抵偿投影带的值，然后高斯投影子午线应用ym抵偿投影带位置的大地经度Lm。在测量工作中，可以按照上述公式对具体内容进行简化，并按照实际需求从工程控制测量区域内直接随机选择某条子午线，计算后只要能够满足“ΔS≤25mm/km”的要求即可。由此可见，通过抵偿投影带建立坐标系的方法较为方便，可用于后续坐标转换[3]。

2.3 投影于抵偿高程面

使用3°带中央子午线作为高斯投影线，调整高程投影的基准面，选择抵偿高程面时一般会选定工程控制测量区域内的比平面高程稍微低一点的高程面。按照工程实际情况，在确定投影面的过程中，针对中央子午线可以考虑测区内所有中心线的某一条子午线，或者按照工程测量的真实情况选择中心线周围的某一条子午线完成测量，实现投影于抵偿高程面。

3 建立工程测量平面坐标系统

3.1 两项投影的长度变形

在城市化发展进程中，随着科技的发展，用于工程控制测量的技术越来越先进，通过建立平面坐标系统可以掌握各种误差情况。在工程控制测量计算的过程中，有2 种投影计算会造成长度变形问题：一种情况是地面水平距离投影到椭球面，导致距离缩短；另一种情况是椭球面与高斯平面之间的投影距离边长。

3.1.1 地面水平距离投影到椭球面的长度变形

这一情况下的变形值计算如公式（2）所示。

式中：H为边长两端点之间的平均高程；R为椭球面的平均曲率半径；d0为地面水平距离。

关于R的计算如公式（3）所示。

式中：a和b分别为参考椭球的长短半轴；e为第二偏心率；B为工程控制测量区域内的平均大地纬度。

经过研究发现，在投影与球面之间，地面边长的距离缩小，此时投影变形和H之间存在正比的关系，H值增加，投影变形值增加，H=150m，平均每km 的长度变形数值接近2.5cm，此时测量的相对变形结果接近1/40000。如果投影面没有参考椭球面，而是直接选用测区某一高层H0的投影面，那么公式可以变为以下情况，如公式（4）所示。

3.1.2 椭球面距离投影到高斯平面的长度变形

这一情况的变形值计算如公式（5）所示。

式中：S为参考椭球面的边长数值；R为椭球面的曲率半径；ym是投影边两端的y坐标常数，即取了500km 常数下的平均值。经过研究发现，投影变形的数值与ym平方值成正比，当投影变形与中央子午线的距离越远，此时变形程度就会越大，大概在ym=45km的位置平均每千米产生2.5cm的变形，也就是上文提到的变形接近1/40000。

针对上述2 种变形情况，投影长度的变形计算如公式（6）所示。

简化后的公式如公式（7）所示。

3.2 工程测量平面直角坐标系统方案

发挥工程控制网在工程测量中的作用，以工程建设放样为参考依据，使放样工作能够顺利进行。通过控制点坐标可测量得出边长与实地测量边长，二者在数值方面应相等。根据以上2 种情况投影改正得到的长度变形即ΔS=ΔS1+ΔS2应被控制在一定范围内，按照地理位置情况，建立几种不同坐标系统：首先，当长度变形值﹤2.5cm/km时，使用3°坐标系。其次，变形值﹥2.5cm/km 时，投影于抵偿高程面处的任意带坐标系统。最后，当工程测区面积﹤25km²时，可以不经过投影使用坐标系统进行计算[4]。

按照上文提到的水利工程测量，以清除淤泥为目标，提高河道行洪能力，保持行洪断面衔接效果，改善当地通航条件。根据平面直角坐标系统进行河道疏挖断面的优化设计。纵断面设计环节，其疏挖深度需要在不改变河道走势的情况下进行且治理段的断面底部高程需要与河道相连接，并与主河槽最低点位置持平。如果部分地区底部高程无法达到通航水深段的要求，建议采用适当下切的方式，同时避免整个河段整体比降改变。横断面设计环节，应确保底部宽度合理，顺势扩挖即可，保留边滩草地，维护河线的顺直，根据河段区域水质情况与土质条件，要求疏挖边坡坡度不能超过1∶10[5]。

3.3 变换投影基准面与中央子午线的地方坐标系

控制控制网变形，尽可能地降低变形值，如公式（8）所示。

对于该计算公式选用不同的处理方式，所导出的平面坐标系统方案也会有3 种情况，如下所述。

3.3.1 投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统

该方案是将观测值同时归算于椭球面的位置，但子午线不是3°带的子午线，而是按照工程需求选择的，可实现高斯投影与边长高程投影的变形值相互抵消。选择椭球，所以H0=0，此时，计算公式可以变化为以下形式，如公式（9）所示。

3.3.2 投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系统

不改变3°带中央子午线，同时也不再投影于椭球面，而是选择在抵偿高程面上进行投影，由此获得地面边长高斯投影长度改正值，同时归算处基准面处高斯投影的改正值，最终实现2 个部分改正值的相互抵偿。

为保证中央子午线不发生改变，也就是ym不发生变化，进行计算，如公式（10）所示。

如果将地面上的边长投影到高程为上述公式的高程面处，而不是在椭球面上进行投影，高程投影与高斯投影之间形成的变形值可以成功抵消。

实际上工程控制测区只是一个大致的范围，并不是明确的一个点，式中ym应当如何取值，如公式（11）所示。

应用该坐标系统时，需要先计算基准面为椭球面的3°标准控制网的坐标，然后使控制网被有效缩放于抵偿高程面，形成2 套坐标，一套为国家提出的标准平面系统坐标，另一套是抵偿高程面坐标。具体案例如下。

某个测区的椭球面高程H=1000m，3°带跨越y坐标范围是-80km～-50km，在不改变子午线的情况下，得到的可相互抵偿投影变化的高程抵偿面如公式（12）～公式（14）所示。

在高程为650m 的高程面进行投影可以达到最佳效果，此时，最小变形为-66.7km 位置，ΔS≈0。最大变形在-50km 和-80km 的位置，分别为-0.024m 与+0.024m。由此可见，如果选择不变换中央子午线，而是选择抵偿高程面，那么最终得到的抵偿范围是有限制的，在该案例中的有效抵偿带宽只能达到30km 的数值[8]。

3.3.3 投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统

结合上述2 种方案的特征，将中央子午线移到工程控制测量区域的中间位置，随后再变换高程投影面，测区东西向跨度如果比较大，即需要抵偿的带宽比较大，此时应达到以下条件，如公式（15）和公式（16）所示。

此时的H0可以为投影基准面位置的高程且H=H0，边长高程投影的变形结果是0，如果H0选择平均高程面即Hm，或者H0稍微低于平均高程面，那么此时各个边长的高程投影也能接近为0，此时ym=0，这就说明工程测量区域处于中央子午线的周围。

经过对比不同坐标系方法，该坐标系主要是将中央子午线确定为测量区域内或者周围的一条子午线，高程投影面被看作平均高程面，所以坐标系变形很小。在实际应用过程中，可以选择在合适的位置中央子午线L0，必须选择1 条5'或10'子午线，例如某个城市地方坐标系的子午线为112°30'，县城的城市地方坐标系的子午线为115°25'。计算已知点换带情况，将基于国家控制网的已知点坐标采用高斯投影的计算方式，使其换算为L0的坐标系坐标。计算控制网中第一套地方坐标，将边长在内的观测值投影到椭球面和高斯平面处，随后计算平差结果，得到的坐标就是第一套地方坐标，这种计算方法可以将国家与地方控制网紧密结合起来，并将二者看作是一个比较完整的测量控制系统。

4 结语

该文针对工程控制测量的实际情况提出3 种坐标系统方案，经过研究发现，针对城市坐标系统和范围偏大的测量坐标系统，建议先以中央子午线确定为测区中部，所得到的测量误差最小。再将控制网进行缩放处理，使其更接近平均高程面。该文提出的几种平面坐标系统确立方法需要根据实际情况灵活选择，以提高地形图测绘精度。