低横动量 Υ(1S) 介子在强子气体中的分布*

丁慧强 戴婷婷 程鸾† 张卫宁 王恩科

1) (大连理工大学物理学院,大连 116024)

2) (华南师范大学量子物质研究院,广州 510631)

1 引言

在高能重离子碰撞中,利用末态强子分布来研究高能碰撞中的物理过程是高能物理研究的重要主题[1,2].而重夸克偶素由于产生的时间较早,并携带大量的物理信息,是末态强子分布研究的重要组成部分[3-6].在重夸克偶素的研究中,J/ψ粒子由于产额相对较大,且与夸克胶子等离子体(quarkgluon plasma,QGP)发生相互作用携带大量信息,是此前夸克偶素研究的焦点[7,8].而本文所研究的Υ(1S) 介子相较于J/ψ而言,重产生效应几乎可忽略,因此反映QGP 的性质更为清晰,可作为一种干净探针,其研究也具有重要意义[9,10].

Υ(1S)经历的物理过程,可分为3 个阶段—介子产生,QGP 热环境中的离解,以及强子气体中受到的影响[9,10].在此前的研究中,大量工作集中于Υ(1S) 介子的产生以及QGP 热环境中的离解过程.例如,唯象势模型[11-13]、格点规范理论[14-16]、开放量子系统[17,18]以及输运方程[19]等.而研究强子气体中Υ(1S) 所受到的影响相对较少,并且低横动量介子由于无法考虑微扰过程,所以相关研究更少.但强子气体对Υ(1S) 产生的影响直接改变其分布,这是十分重要的.目前低横动量Υ(1S) 介子在强子气体中受到的影响,经分析主要分为以下三点: 1)强子气体膨胀过程中的集体流效应影响[20,21];2)Υ(1S) 介子与相邻强子间存在量子关联影响[10,22];3)Υ(1S) 介子与相邻强子间存在强相互作用影响[23,24].近年来,有少数几种模型可以描述低横动量介子在强子气体中的分布.例如Tsallis 冲击波(Tsallis blast-wave,TBW)模型[25,26]与统计强子化模型(statistical hadronization model,SHM)[27,28]等.但他们只能描述其中的一到两种效应,却忽略了另外的效应.例如冲击波模型只考虑了上述三点效应中的第1 点—集体流效应,但忽略了第2 点和第3 点—量子关联效应与强相互作用[25,26]的影响.而强子化模型只考虑了第2 点和第3 点,忽略了第1 点[27,28]的影响.它们通过与实验进行拟合,将未考虑的效应放入到可调参数中,达到与实验可进行比较的效果[25-28].因此,如果能发展出一套直接从物理计算出发,而不是参数拟合的方法来分析Υ(1S)介子在强子气体中的分布,研究意义便十分重大.

本文尝试从新的视角利用物理计算而非参数拟合的方法来分析Υ(1S) 介子在强子气体中的分布.根据Υ(1S) 介子在临界点附近受到集体流、量子效应以及强相互作用的共同影响,且该影响随着系统温度降低效应减弱这一特点,建立了新的模型来进行描述.在临界点附近,Υ(1S) 介子与相邻的介子在以上三种效应的共同作用下形成介子-介子两体结构.从介子的整体观来看,Υ(1S) -π 介子为两介子系统;从夸克的局部观来看,Υ(1S),π 介子分别为两夸克系统.本文提出这些不同层次的两体结构具有自相似性[29],建立了两体分形(twoparticle fractal,TPF)模型进行描述.引入环境影响因子qfqs来描述强子环境中,集体流、量子以及强相互作用的影响,并引入伴随因子q2来表征Υ(1S)介子内部夸克之间的相互作用和以上三种环境因素造成的影响.通过求解概率与熵方程,求解出不同碰撞条件下qfqs与q2的数值,将qfqs的数值代入到Υ(1S) 的分布函数中,得到对应的横动量谱并与实验数据进行比较.

2 强子气体中的 Υ(1S) 分布

在高能重离子碰撞中,Υ(1S) 介子相对于J/ψ而言质量较大,重产生过程的发生概率极低[9,10].因此,Υ(1S) 介子在完成离解后,位于强子气体中的Υ(1S) 介子数目稳定.可以通过研究强子气体中的Υ(1S) 介子数目来研究Υ(1S) 的分布.而在强子气体中,介子之间的间距随着系统的膨胀而增大,相互作用逐渐减小[30],因此临界温度附近强子气体对Υ(1S) 的影响相对较大.此时,Υ(1S) 介子主要受到集体流[20,21]、量子效应[10,22]以及强相互作用[23,24]三个方面的影响.由于集体流效应,Υ(1S)介子与相邻的π 介子共同运动.由临界点附近π 介子的热波长为3.2 fm[31],大于π 介子之间的平均间距[22]可知,此时低横动量Υ(1S) 介子与邻近的π 介子均存在量子关联。由Υ(1S) 径向波函数可知,在0.6 fm 范围内b夸克有较大概率与其他夸克发生相互作用[10].因此,除了Υ(1S) 内部b夸克与反夸克发生相互作用,在0.6 fm 范围内该b夸克还有可能与介子外部其余介子内的夸克发生相互作用.根据此时π 介子的粒子数密度为 0.5/fm3[22],在0.6 fm 为半径的b夸克作用范围内,最多可容纳一个π 介子.因此,此时低横动量Υ(1S) 介子与最近邻的π 介子之间存在强相互作用.根据以上三种效应的共同影响,Υ(1S) -π 介子-介子可形成两体结构,如图1(b)所示.同时,从夸克的局部观来看,如图1(d)所示,Υ(1S) 与π 介子都是夸克-反夸克两体系统.本文提出两体分形模型(TPF model)来进行描述.模型认为在临界温度附近,Υ(1S) -π 两介子系统,Υ(1S) 介子和π 介子两夸克系统具有自相似两体结构[29].随着系统膨胀,自相似结构消失.而分形理论是一种用于描述自相似性以及自仿射特性的基本理论[29,32].本文运用分形理论来描述强子气体中Υ(1S) 的概率与熵,进而来分析强子气体中Υ(1S) 的分布.

图1 强子气体中b 夸克和 反夸克在不同层次的自相似结构 (a)真空中的自由 Υ(1S) 介子;(b)介子层次强子气体中的 Υ(1S) 介子;(c)真空中的自由b 夸克和 反夸克;(d)夸克层次强子气体中的b 夸克和 反夸克Fig.1.Self-similarity structure of b quark and anti-quark in hadron gas: (a) Free Υ(1S) in vacuum;(b)Υ(1S)in hadron gas from meson aspect;(c) free b and in vacuum;(d) Υ(1S) in hadron gas from quark aspect.

首先,从介子层次出发,研究临界温度附近的底夸克偶素,如图1(a)所示.在质心系中,假设底夸克偶素自由地处在真空环境中,底夸克偶素处于Υ(1S)态的概率为

其中E0,E1,···,E13是实验测量底夸克偶素ηb(1S),Υ(1S),ηb(2S),Υ(2S),h b(1P),χb0(1P),χb1(1P),χb2(1P),h b(2P),χb0(2P),χb1(2P),χb2(2P),Υ2(1D),Υ(3S) 对应的各能态能量[34].对于低能级底夸克偶素,将这14 个离散能级的概率进行求和.对于更高能态,由于能级间隔较小[34],为计算方便,这里直接进行积分.pmin是高能连续能级中重夸克偶素的夸克最小动量.由于高能级相邻能级之间的动量差异较小[34],我们将离散能级中能量最高粒子Υ(3S) 态对应的夸克动量取为最小动量pmin.是底夸克偶素相对周围π 介子的运动空间大小,其中r0为运动空间的半径.运动空间半径r0不是固定不变的,它随着碰撞能量和碰撞对心度的变化而变化.在不同碰撞能量和碰撞对心度情况下,通过r0=(vτ+dΥ(1S)+dπ)/2 可以计算出对应情况的运动空间半径.其中,v为周围π 介子相对Υ(1S) 的平均运动速度,可由Υ(1S) 的平均横动量以及系统的径向流速得到.τ为临界温度时Υ(1S)的寿命,τ=1/Γ ≈1/0.017 GeV-1[35],Γ为衰变宽度.dΥ(1S)和dπ是Υ(1S) 和π的直径,计算得到dΥ(1S)+dπ≈1.8 fm[10,36].

表1 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞对心度下,中心快度区 |y|＜2.4 内的 Υ(1S) 介子运动空间半径 r0 的值Table 1.In mid-rapidity region |y|＜2.4,radius r0 of Υ(1S)motion space under different collision energies and 0-100%centrality for Pb-Pb.

在上面的分析中,假设底夸克偶素处于真空中,不受环境影响.但实际上底夸克偶素是处于强子气体中的,受到强子气体的集体流效应,与相邻π 介子的量子关联以及强相互作用的影响.在这些影响下底夸克偶素和相邻π 介子形成自相似的两体结构,如图1(b)所示.所以在强子气体中,底夸克偶素受到以上三种效应的影响后,具有自相似性.根据分形理论,处于Υ(1S) 态的伴随概率[39]为P11的幂次形式[40,41].我们引入环境影响因子qfqs来表示三种效应对底夸克偶素的影响.底夸克偶素处于Υ(1S) 态的概率为

在qfqs=1 时,(4)式与(1)式相同,说明此时底夸克偶素没有受到强子气体的影响.qfqs偏离1 越远,强子气体对底夸克偶素的影响越强.

本文考虑的b,之间的吸引相互作用以及Υ(1S)与环境中粒子的相互作用均为强相互作用力.强相互作用势能正比于r-α(弱耦合区域α=1,强耦合区域α=-1)[33].对于d维空间(本文考虑的是三维空间,d=3)中具有V(r)≈r-α形式的两体相互作用势.根据长程相互作用定义,如果满足α/d≤1,则该相互作用为长程相互作用[42].因此,无论是强耦合还是弱耦合情况,此处考虑的强相互作用是一种长程相互作用.Tsallis 熵可以有效描述长程相互作用系统[42,43].所以本文用Tsallis熵来描述底夸克偶素,其形式为

前面从介子层次研究了强子气体对底夸克偶素的影响.现在从夸克层次再来研究强子气体对底夸克偶素的影响.在质心系中,假设夸克和反夸克是自由的,如图1(c)所示,该两夸克系统处于能量为Υ(1S) 内夸克动能的概率为

其中ϕi为两自由夸克系统的波函数,ϕ1对应能量为Υ(1S) 内夸克动能的波函数.哈密顿量为.配分函数是对两夸克系统所有可能微观态概率的求和.与介子层次类似,本文对低能态进行求和,高能态进行连续积分.配分函数可以写为

其中E k0,E k1,···,E k13为离散低能态b,的动能.是连续高能级的动量下限,取为Υ(3S) 介子内重夸克的动量.离散低能态粒子的动能可通过非相对论薛定谔方程得到:

在上面的分析中,假设了夸克和反夸克处于自由状态.但是,强子气体中的b夸克和反夸克并不是自由的,它们受到吸引相互作用从而形成束缚态,并且受到强子气体的集体流效应,量子关联以及强相互作用的影响.在这些影响的作用下,b夸克和反夸克形成了强子环境下的底夸克偶素,与相邻π 介子形成两介子结构,如图1(d)所示.因此,这里引入伴随参数q2表征b夸克和反夸克之间的相互作用、集体流、量子关联效应以及强相互作用的影响.基于分形理论[42],(b,) 夸克反夸克对处于Υ(1S) 态的伴随概率为[39-41]

当q2=1 时,(9)式与(6)式相同,说明重夸克未受到束缚势与强子气体的影响.q2偏离1 越远,夸克反夸克对受到的影响越强.

与介子层次中的熵(5)式类似,由于夸克之间的强相互作用为长程力,夸克反夸克对的熵可以写为[42,43]

本文分别从介子层次以及夸克层次出发,分析了 (b,) 夸克反夸克对的概率和熵.由系统等价性可知,从两个不同层次所描述的同一个系统的性质相同,可得

将(4)式、(5)式、(9)式和(10)式代入(11)式和(12)式求解,即可得到环境影响因子qfqs以及伴随因子q2.表2 列出了Pb-Pb 在5.02 TeV碰撞能量,且0—100%对心度的碰撞条件下解出的qfqs和q2.从表中可以看到,在同样碰撞能量下,影响因子q2大于环境影响因子qfqs.这是由于与qfqs相比,因子q2还包含了b,之间的束缚能对b,的影响,因此q2偏离1 更远.

表2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞对心度下,中心快度区 |y|＜2.4 内影响因子 qfqs 和q2的数值Table 2.In mid-rapidity region|y|＜2.4,values of qfqs and q2 for Pb-Pb in 0-100%centrality at different collision energies.

将强子气体影响因子qfqs代入粒子横动量分布函数,可以得到Υ(1S) 的横动量谱.在中心快度区,Υ(1S)介子的横动量分布为[44]

其中,Υ(1S) 介子的分布函数[45]为

图2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞对心度下,低横动量 Υ(1S) 介子在中心快度区间 |y|＜2.4 的横动量谱.实验数据来源于LHC[46,47]Fig.2.Transverse momentum spectrum of low-pTΥ(1S)in Pb-Pb at different collision energies for 0-100%centrality,in mid-rapidity region |y|＜2.4.The experimental data are taken from LHC[46,47].

进一步分析强子气体影响因子qfqs随温度的演化关系.不同固定温度下,qfqs的值随温度的变化关系如图3 所示.其中运动空间半径r0选取为2.92,3.20 fm,分别对应表2 中Pb-Pb 在2.76,5.02 TeV碰撞能量,0—100% 碰撞对心度下的值.从图3 可以看到,qfqs的值都大于1.这是由于底夸克偶素在强子气体的影响下与最相邻的π 介子形成两体结构,导致系统的微观状态数减小,此时熵也会同时减小.而由Tsallis 熵S(q) 的性质可 知,当q ＞1 时,S(q)＜SB-G.因 此qfqs大 于1.另外,当Υ(1S) 介子的运动空间大小固定时,qfqs随温度的降低而减小.这与临界温度附近,强子气体中的Υ(1S) 介子随着系统膨胀和温度降低,受到的环境影响减弱的物理现象是一致的.从图3 同样可以看到,温度一定时,qfqs随着运动空间半径r0的升高而增加.这是由于运动空间越大,Υ(1S) 受周围粒子影响的概率也越高,形成两体结构的可能性就越大,从而qfqs越大.

图3 不同固定温度T 下的强子气体影响因子qfqsFig.3.Hadron gas influencing factor qfqs at different fixed temperature T.

3 结论

本文通过物理计算而非数据拟合的方法研究了低横动量Υ(1S) 介子的横动量分布.Υ(1S) 介子在QGP 中较高温度下产生部分离解且重产生概率很低,因此,Υ(1S) 在上述物理过程结束后,在强子环境中粒子数分布趋于稳定.而在强子环境中,Υ(1S)受到强子气体的集体流、量子关联和强相互作用的影响.在这些影响的共同作用下,Υ(1S) 介子和最近邻π 介子形成介子-介子两体结构.随着系统的演化,两介子系统解体.本文构建两体分形模型研究该两介子系统.从介子整体观来看,Υ(1S)介子和π 介子形成两介子系统.从夸克的局部观来看,Υ(1S) 介子和π 介子分别为两夸克系统.本文提出在强子气体的影响下,Υ(1S) -π 分子态,Υ(1S) 介子和π 介子形成了自相似结构.本文引入影响因子qfqs描述集体流、量子关联和强相互作用的影响,引入伴随因子q2表征Υ(1S) 内部夸克之间束缚势和强子气体的影响.通过求解概率与熵方程,得到不同碰撞能量下qfqs和q2的值.本文将qfqs代入分布函数,得到低横动量区Υ(1S) 的横动量分布,并与实验结果进行比较.结果表明理论与实验符合良好.最后,本文分析了qfqs随系统温度的演化关系.计算结果表明qfqs大于1,这是由于在集体流、量子以及强相互作用的影响下,Υ(1S)和π形成两体结构,使得系统的微观状态数减少,从而使得qfqs＞1.计算结果同样表明,qfqs随着温度的降低而减小.这与强子气体中的Υ(1S) 介子随着系统膨胀和温度降低,受到的环境影响减弱这一物理现象是一致的.本文提出的两体分形模型未来也可以用于研究其他介子或者共振态系统.