借助类比思维 破解数学解题困境

叶长春

(福建省永泰县第一中学,福建 福州 350700)

类比思维是指对比两个具有相似特征的事物,从某个已知事物中提取特征,并将该特征应用到另一事物推测中的思维活动.其本质是事物规律的迁移与应用.在数学解题中应用类比思维的优势在于能降低学生思维难度,帮助学生迅速掌握某种规律与方法,突破各种题型的解题困境.

1 破解数列解题困境

数列习题的类型多变,解题方式灵活,只有找准解题方法才能迅速解题.但从实际来看,大部分学生并不具备这种能力.尤其是无法通过数列题型,联想到倒序相加、消元等比较灵活的数列求解方式.所以,教师要启发学生,引导学生探索掌握并迁移规律.

例1 已知数列{an}中,满足a1=2,an+1=an+cn(c为常数,n=1,2,3…),且a1,a2,a3是公比不为1的等比数列.

(1)求c的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

解析因为an+1=an+cn,所以得出an+1-an=cn,可以类比等差数列通项公式的推导方式.对于公差为d的等差数列,通项公式可以利用迭加法求解,即:当n≥2时,an-an-1=d,an-1-an-2=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d,通过逐个相加可以得到:an=a1+(n-1)d.

(1)因为a1=2,所以a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3是等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),求解得出c=0或c=2.当c=0时,a1,a2,a3相等,不符合题意,舍去.当c=2时,a1=2,a2=4,a3=8,符合题意,所以c=2.

2 破解圆锥曲线解题困境

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线.虽然三种曲线形式表现不同,但是三者存在一定的共同点.比如具有类似的解析方程式、参数与性质等.从学生解题现状来看,大部分学生经常混淆相似的基础知识,且不懂得如何迁移与应用知识背后的数学规律,只能做到“依葫芦画瓢”,遇到新题目时仍然无从下手.所以,教师应当在解题教学中渗透类比思维,引导学生抓住知识本质,进行数学规律的迁移,提升学生的类比思维能力.

(1)过椭圆C右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN,求MN的长度.

(2)如图1所示,若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点,MN是椭圆C的短轴.直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),求xE·xF的值.

图1 椭圆C示意图

解析(1)|MN|=1(过程略).

3 破解立体几何解题困境

立体几何是高考常见的知识点之一,其题型复杂、难度较高.部分学生会放弃立体几何综合题,导致成绩不理想;还有部分学生只能完成综合题中比较简单的问题,而放弃难度较大的问题.针对这种情况,教师应积极改进解题方法,尽可能地发散学生思维,避免学生困于某个错误解题思路、某条错误辅助线的应用中,导致解题无法完成.

图2 棱锥内切球体积示意图

图3 三角形内切圆面积示意图

图4 三角形示意图

结合解题过程,类比三角形内切圆面积、棱锥内切球体积的解题思想不难发现,两者拥有共同的解题思想即切割思想.将不易求解面积或体积切割成易求解的多个面积或体积.而且求解棱锥内切球体积所用的体积公式、面积公式均为学生熟悉的公式.可见,三角形内切圆面积求解思路为棱锥内切球体积求解指明了方向.

通过上述几道例题的持续类比、推导,学生很快形成类比思维,而且也能巩固记忆.通过上述类比推理推导出来的各种公式,再求解相似的立体几何题目时会迅速确定解题思路,找到解题方法,从而突破以往思维困境,保证解题的顺利进行[2].

总之,类比思想是一种不可忽视的数学思想,其在数学解题中应用非常广泛.为了引导学生形成类比思维,突破各种解题困境,教师应当结合学生具体学情,将类比思想融入到解题教学中,并结合具体例题呈现类比思想应用方式.只有这样才能持续强化学生的类比思维,使其不断积累类比思维解题经验,最终形成相应的解题能力.