四元数矩阵方程X2+BX+XB*+Q=0的Hermite正定解
2023-10-16姚祎雯黄敬频
姚祎雯, 黄敬频
(广西民族大学 数学与物理学院, 广西 南宁 530006)
0 引言
本文研究二次四元数系统
X2+BX+XB*+Q=0
(1)
的Hermite正定解,其中B∈n×n,Q>0(Hermite正定)是已知四元数矩阵,X∈n×n是未知四元数矩阵.
二次矩阵方程(1)是Lyapunov矩阵方程的推广形式,它在稳定性理论、最优控制、高速信号处理及数字采样控制等方面有广泛应用[1,2].关于Lyapunov类型方程的研究目前已取得许多成果[3-7].近年来对实数域和复数域上非线性矩阵方程的研究较为活跃.例如,文献[8,9]讨论了与M-矩阵相关的一类实二次矩阵方程X2-EX-F=0解的性质及其迭代方法; 文献[10,11]研究了实二次矩阵方程XTDX+AX+XTB+C=0和AXA=XAX的解; 2019年,文献[12]研究了实矩阵方程A0+A1X+A2X2=X的一般解, 同年,文献[13]应用保结构加倍算法讨论了非线性方程组X-A*Y-1A=In,Y-B*X-1B=In的正定解; 2021年,文献[14]讨论了复矩阵方程Xs+A*X-tA=Q的Hermite正定解存在条件及迭代方法,同年,文献[15]在一定条件下通过转化为代数方程的方法讨论了四元数二次系统XAX-BX=P的正定解.综合说明,有关四元数非线性矩阵方程的研究甚少,究其原因主要在于四元数乘法的非交换所致.本文目的是讨论二次四元数系统(1)的Hermite正定解及其扰动分析.
为A的复化算子.关于四元数矩阵A的复化算子具有下列运算性质[16]
1 正定解存在条件
定理1设B∈SCn(),Q>0,则矩阵方程(1)存在正定解的必要条件是B<0.
证明:由于B∈SCn(),Q>0,因此当方程(1)存在正定解X时,可得
BX+XB=-X2-Q<0
(2)
对矩阵B作酉对角分解:B=UΣBU*,其中ΣB=diag(λ1,λ2,…,λn),代入不等式(2)得
UΣBU*X+XUΣBU*=-X2-Q
于是有
ΣBU*XU+U*XUΣB=U*(-X2-Q)U<0
(3)
记U*XU=(xij)n×n,代入不等式(3)左边得
(4)
由X>0可知xii>0(i=1,2,…,n),所以由不等式(4)可得λ1,λ2,…,λn<0,即B<0.
证毕.
定理2设方程(1)的系数矩阵B<0, 且存在正数δ1>1使得
2δ1M-δ12I≤Q≤2M-I
(5)
其中M=-B>0, 则方程(1)存在正定解X且有I≤X≤δ1I.
证明:定义正定矩阵集合
Ψ={X:I≤X≤δ1I,δ1>1}.
令φ(X)=MX+XM,则∀X∈Ψ,MX的特征值满足
又因为MX+XM∈SCn(),且由特征值不等式有λ(MX+XM)>0, 因此φ(X)>0.易知当X1,X2∈Ψ,X1>X2时有φ(X1)>φ(X2), 因此φ(X)在Ψ上严格递增.下面把矩阵方程(1)等价地写成
X=(MX+XM-Q)1/2
(6)
并记
h(X)=(MX+XM-Q)1/2
(7)
于是∀X∈Ψ,利用φ(X)的单调性可得
所以h(Ψ)⊂Ψ.从而h(X)在凸集Ψ上必存在不动点X,即方程(1)存在正定解X且I≤X≤δ1I.
证毕.
定理3设方程(1)的系数矩阵满足P=I-(B+I)(B+I)*>0, 且存在正数δ2>0使得如下矩阵不等式成立
δ2BB*≤Q≤δ2P-δ22I
(8)
则方程(1)存在正定解X且0 证明：把矩阵方程(1)等价地写成 X=(B+I)X(B+I)*+X2-BXB*+Q (9) 记 f(X)=(B+I)X(B+I)*+X2-BXB*+Q (10) 则方程(1)等价于X=f(X).现定义正定矩阵集合 Ω={X:0≤X≤δ2I,δ2>0} ∀X∈Ω,利用条件P=I-(B+I)(B+I)*>0及不等式(8)可得 所以f(Ω)⊂Ω.从而f(X)在凸集Ω上必存在不动点X,即方程(1)存在正定解X且有 0 证毕. 定理4设方程(1)的系数矩阵满足B+B*<0,且存在正数δ3>0使得 δ32I+δ3(B+B*)+Q≤0 (11) 则方程(1)存在正定解X且0 证明:引入参数α>0, 使得αI-B非奇异,并把方程(1)等价写成 (12) 记 (13) 则方程(1)等价于X=g(X).现定义正定矩阵集合 Φ={X:0≤X≤δ3I,δ3>0} ∀X∈Φ, 注意到BXB*≥0,B+B*<0,以及条件(11)可得 0 从而f(Φ)⊂Φ,因此f(X)在凸集Φ上必存在不动点X,即方程(1)存在正定解X且0 证毕. 注下面讨论当系数矩阵B,Q给定时,如何估计出使得不等式(5)、(8)、(11)成立的参数δi(i=1,2,3)的值. (i)对不等式(5)中的参数δ1进行估值.根据矩阵不等式(5)可得 由四元数Hermite矩阵的特征值不等式[17],可得 λmax(2δ1M)≤λmax(Q+δ12I)≤λmax(Q)+λmax(δ12I) ⟹δ12-2δ1λmax(M)+λmax(Q)≥0 这里假设M≥Q,则可选取 (14) (ii)对不等式(8)中的参数δ2进行估值.根据矩阵不等式(8)可得 因此由四元数Hermite矩阵的特征值不等式,可得 这里假设P≥2Q,则可选取 (15) (iii)对不等式(11)中的参数δ3进行估值.记R=-(B+B*)>0,则由不等式(11)可得 δ32I+Q≤δ3R 因此由四元数Hermite矩阵的特征值不等式,可得 δ32-δ3λmin(R)+λmin(Q)≤0 这里假设R≥2Q,则可选取 (16) 根据定理1～4的结果,当方程(1)的系数矩阵B,Q满足所给条件时,我们可构建出方程(1)的正定解迭代格式. (i)当M=-B>0时,在定理2的条件下建立拟牛顿迭代格式如下: (17) 其等价的复表示格式为: (17c) (ii)当P=I-(B+I)(B+I)*>0时,在定理3的条件下建立迭代格式如下: (18) 其等价的复表示格式: (18c) (iii)当B+B*<0时,在定理4的条件下建立迭代格式如下 (19) 其等价的复表示格式: (19c) 其中(·)σ表示四元数矩阵(·)的复化算子.实际计算时,由于四元数乘法非交换原因,我们在Matlab软件运行时均按上述(17c),(18c),(19c)迭代格式来计算,最后把第k次近似解Xk还原回Xk=X1+X2j即为方程(1)的近似解.根据四元数矩阵与其复表示矩阵的Frobenius范数的关系,方程(1)的第k次近似解余项范数为 设X是方程(1)的Hermite正定解,对给定的系数矩阵B,Q,假设我们分别引入了扰动ΔB,ΔQ,且扰动后方程的解为X+ΔX,则方程(1)扰动后的方程为 (20) 将式(20)展开,并利用等式(1)可得 (21) 下面的定理给出了扰动误差ΔX的一个上界. 定理5设X是方程(1)的Hermite正定解,ΔB,ΔQ分别是对系数矩阵B,Q的扰动且X+ΔX是扰动后方程(1)的解.如果Υ=λn-‖B‖-‖ΔB‖>0, 则有 (22) 其中λn=λmin(X),‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖<Υ2. 证明：由式(21)及F范数的三角不等式得 ‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖= (23) 由于X是Hermite正定的,因此可作对角分解 X=U∑U* (24) 其中∑=diag(λ1,λ2,…,λn)且 λ1>λ2>…>λn>0. 记 U*ΔXU=(Δxij)n×n 根据F范数酉乘积不变性和式(24)可得 (25) 由不等式(23)和(25)可得 即 (26) 当Υ=λn-‖B‖-‖ΔB‖>0时,取F范数足够小的扰动矩阵ΔB,ΔQ使得 (27) 于是由不等式(26)可得 即不等式(22)成立. 证毕. 定理5是在B为一般四元数矩阵时讨论方程(1)Hermite正定解的扰动误差界.当B是自共轭矩阵时,我们再分析其正定解的扰动情况.根据不等式(23)的推导过程可知 (28) 由此可得 定理6设X是方程(1)的Hermite正定解,ΔB,ΔQ分别是对系数矩阵B,Q的扰动,且X+ΔX是扰动后方程(1)的解.如果B+X>0且β=μn-‖ΔB‖>0, 则有 (29) 其中 证明:当B+X>0时,类似于定理5的证明过程可得 ‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)‖≥2μn‖ΔX‖ (30) 其中μn=λmin(B+X).由不等式(28)和不等式(30)可得 ‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖≥ 即 (31) 当β=μn-‖ΔB‖>0时,取F范数足够小的扰动矩阵ΔB,ΔQ使得‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖<β2这时由不等式(31)得 即不等式(29)成立. 证毕. 注：在定理5和定理6的条件下,由扰动误差不等式(22)和(29)可知,当扰动因子(ΔB,ΔQ)→0时,均有ΔX→0. 下面举例说明方程(1)的正定解求解方法.这里主要针对方程系数矩阵的特点,根据定理2、定理3、定理4的结果,利用适当的迭代进行计算. 例1给定2个n阶四元数矩阵 试建立适当迭代格式,求方程(1)的正定解. 由分解式 M=M1+M2j,Q=Q1+Q2j, 可得 直接计算可知 根据估计式(14)选取 这时条件(5)成立.因此根据定理2可知,方程(1)在区间I≤X≤1.162 5I存在正定解.我们采用拟牛顿迭代(17)进行求解.取X0=I时,当n=5,计算可得 当n=100,500,1000时,迭代结果如表1所示. 例2给定2个n阶四元数矩阵 试建立适当的迭代格式,求方程(1)的正定解. 由分解式 B=B1+B2j,Q=Q1+Q2j 可得 直接计算可知 根据估计式(15)选取 这时条件(8)成立.因此根据定理3可知,方程(1)在区间0 当n=100,500,1000时迭代结果如表2所示. 表2 迭代计算结果 例3给定2个n阶四元数矩阵 试建立适当的迭代格式,求方程(1)的正定解. 由B=B1+B2j,Q=Q1+Q2j,可得 直接计算可得 根据估计式(16)选取 这时条件(11)成立.因此根据定理4可知,方程(1)在区间0 当n=100,500,1000时迭代结果如表3所示。 表3 迭代计算结果 给出了四元数体上二次矩阵方程(1)存在Hermite正定解的一些必要和充分条件,以及迭代求解方法.在矩阵Q为正定的条件下,针对系数矩阵B的不同情况,通过引入适当的参数δi>0(i=1,2,3)建立矩阵不等式(5)、(8)和(11),从而应用闭凸集上的不动点理论获得方程(1)存在Hermite正定解的必要和充分条件,并给出3个矩阵不等式中相应参数δi>0(i=1,2,3)的选取方法.同时针对四元数矩阵B为负定,矩阵P=I-(B+I)(B+I)*为正定,B+B*为负定三种情况,分别构建出收敛的迭代公式(17),(18)和(19). 此外,对方程(1)的解进行了扰动分析,给出了扰动误差ΔX的两个上界.3个数值算例表明,当方程的正定解存在时,采用拟牛顿迭代具有较高的收敛速度.本文有关参数矩阵不等式的构建与方程的求解方法,可推广到其它类型非线性四元数矩阵方程正定解的求解上.
[(αI-B)-1]*=(αI-B)-1[δ3(αI-B)
(αI-B)*+δ32αI+δ3αB+δ3αB*+αQ]
[(αI-B)-1]*=δ3I+α(αI-B)-1
[δ32I+δ3(B+B*)+Q][(αI-B)-1]*≤δ3I2 迭代格式的构建
3 正定解的扰动分析
‖(B+X+ΔB)ΔX+ΔX(B+X+ΔB)*+(ΔX)2‖≥
‖(B+X+ΔB)ΔX+ΔX(B+X+ΔB)*‖-
‖(ΔX)2‖≥‖(B+X+ΔB)ΔX+
ΔX(B+X+ΔB)*‖-‖ΔX‖2≥
‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)*‖-
‖ΔBΔX+ΔXΔB*‖-‖ΔX‖2≥
‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)*‖-
2‖ΔB‖‖ΔX‖-‖ΔX‖2≥‖XΔX+ΔXX‖-
2‖B‖‖ΔX‖-2‖ΔB‖‖ΔX‖-‖ΔX‖2
2(μn-‖ΔB‖)‖ΔX‖-‖ΔX‖24 数值算例
5 结论
