基于STEM理念，项目化实施“综合与实践”——以苏科版数学八（上）“关于勾股定理的研究”为例

■韩新正

苏科版数学教材中的“综合与实践”板块安排在每章的开始、结束和每册书的结尾处。章节开始时有“数学实验室”，即通过“做”数学，感悟、理解数学知识；每章结束后有“数学活动”，即运用本章知识解决一些简单问题；每册书的结尾处有“课题学习”，即综合运用有关知识解决实际问题。这里的“综合运用有关知识”，如果我们仅仅理解为数学知识，就显得比较狭隘了。

STEM 教育作为一种跨学科教育模式，其目的在于通过探究式、项目式等活动去解决真实问题。运用其理念进行“综合与实践”的研究，其实就是综合运用各种知识和各种技术解决实际问题的过程，也是深度学习的过程。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，初中阶段综合与实践领域可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法。下面，笔者以苏科版数学教材八（上）的课题“关于勾股定理的研究”为例，谈谈如何项目化实施“综合与实践”。

一、教材分析

对于课题“关于勾股定理的研究”，教材中提供了三个研究方向：1.阅读有关书籍和查阅有关资料，了解勾股定理的历史；2.收集、整理验证勾股定理的各种方法；3.收集生活中应用勾股定理的例子。

前两点主要引导学生进行文献检索。教师可以指导学生通过查阅书籍，登录知网、北大图书馆等专业网站来研究，而不是简单通过“百度”来泛泛了解。这是借用工具的做法，也是科学研究的起点，主要培养学生进行科学的探究。第三点是为了引导学生关注生活，解决生活中的实际问题，也是“综合与实践”的本意。对此，笔者尝试设计了一些项目化活动，旨在分阶段、分层次培养学生综合运用多种知识和技能解决实际问题的能力。

二、项目化活动

1.由勾股定理引发猜想

勾股定理的式结构a2+b2=c2具有数学美，教师可以请学生对其进行合理猜想。通过猜想，然后验证得出结论，这是推动数学发展的重要方法。

猜想1：结合“勾股数”，如3、4、5，5、12、13等，我们能得到一切勾股数吗？

猜想2：从“形”的角度看a2+b2=c2，在几何上相当于作一个矩形，使它的长、宽、对角线分别为a、b、c，且a、b、c都是整数。按照这样的思路，联想到长方体，会得到什么结论？能否作出一个长方体，使它的长、宽、高和对角线都是整数？如4、3、12、13。

猜想3：是否可以进行“指数推广”？如从a2+b2=c2，推广到a3+b3=c3，甚至an+bn=cn（n≥3）。它们是否有正整数解（费马大定理）？ 项数、指数同时推广呢（这是著名的欧拉猜想）？如a2+b2+c2=w2，a3+b3+c3=w3，甚至a4+b4+c4=w4。

2.古代数学中的勾股定理

结合文献，教师引导学生通过感受勾股定理在古代的应用，理解这类问题在古代数学中是经常出现的，其解决方法就是使用勾股定理。

（1）“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？

（2）“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？

（3）枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？题意是：如图1 所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_____尺。

图1

3.运用信息技术手段，感受数学之美

借助计算机软件，利用勾股定理设计各种精美图案，挖掘其文化价值，欣赏数学之美。如利用几何画板的动画效果制作勾股树（毕达哥拉斯树），图略。

4.做中学，解决实际问题

引导学生关注生活，通过解决生活中的问题，以及各种知识和技术的综合运用，感受勾股定理的广泛应用。

问题：已知图2—图4，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱表面到点B，求它的最短路程（π取3）。

图2

教师可以引导学生先从最简单的纸质圆柱形（图2）开始测量。有的学生直接用细绳连接A、B两点，并绷紧，然后测量细绳的长度；有的学生用剪刀剪开纸质侧面图，在平面上测量或计算。对于图3 这样的玻璃杯，是不可以剪成平面图形，通过测量来解决的；对于图4 的高楼，既不可以剪成平面图形，又无法直接用绳子测量，这时就需要用到数学知识，通过间接测量，然后计算得到结果。图3、图4 的测量要用到三角函数、相似形等知识，教师可以引导学生在九年级下学期结合数学活动“测量建筑物的高度”进行探究。

图3

图4

基于勾股定理的综合与实践活动是一个系统的研究过程，学生收集资料、小组合作、猜想验证、探究发现不是一两节课就可以解决的，而是需要若干个课时进行专题研究。当然，对于初中生来讲，不一定要研究出成果，关键是通过研究，学会研究的方法，养成爱思考的习惯，培养科学探究的精神。

三、教学反思

STEM 理念和“综合与实践”理念在本质上是相通的，其育人价值有共通性。前者是调动科学、技术、工程、数学的综合运用；“综合与实践”旨在培养学生综合运用各种知识的能力，侧重于数学知识的运用。以“综合与实践”为抓手，能够培养学生的STEM 素养；以STEM 理念为统整，引导学生在联系其他学科知识和实践经验的基础上，系统设计“综合与实践”活动课程，符合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》所强调的跨学科教学、主题学习以及“做中学”等项目化学习要求。

“综合与实践”活动设计不仅体现在“动手活动”上，也体现在“动脑活动”上。数学活动教学更关注学生的活动过程，因此,教师可以设计更加合理的抽象活动，并给予学生充分的动手操作与思考的空间与时间，让学生亲身经历数学抽象的全过程。一个好的“综合与实践”活动，一定是一个项目化工程。首先，教师要对工程进行系统思考，认真设计，从不同的角度去开发让学生动手动脑的资源，不能狭隘地理解为只是学生动手实践。其次，教师要对工程的实施做好方案，兼顾可操作性。

坚持“教学评一体化”，推动“综合与实践”教学落实到位。“综合与实践”活动是培养学生实践创新能力的重要契机。事实上，“综合与实践”的教学一直是数学教学中的薄弱点，笔者希望通过中考命题改革，在考试评价中直接或间接地体现对“综合与实践”活动所获得的素养和能力的考查。例如，通过改变传统考试题型，加强对应用题的考查，更多地涉及跨学科知识有机结合；通过增加开放性问题，考查学生基于现实情境发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力等。笔者希望通过评价来引导教学转变，将学生经历“综合与实践”活动所发展的素养在新的评价体系中反映出来。