声波测井响应的二维谱与共振特征

沈建国,陈志东,张 强,沈永进

(1.天津大学微电子学院,天津300072;2.中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580)

声波测井理论研究中,井筒固有频率的发现是第一个里程碑[1-2],复极点的贡献和井内、外声场分布的获得是另外两个里程碑[3-4]。固有频率的发现使人们认识到井筒对声波测井的频率具有很强的选择性;复极点的贡献使我们跳出了认识上的局限:只有响应函数的实极点才描述声波传播,波数复平面上的所有极点都对响应有贡献,复极点对应的泄漏模式波对近场影响大,不能忽略[5-6]。复极点的贡献使得声波测井理论与数字信号处理的线性系统函数(由所有复极点和零点的模和复角组成)理论建立了紧密的联系。另外,复极点还进一步补充了井内液体模式波的双曲线在低波数区域的分布[6]。

瞬态激发波形的频谱连续,在声波测井、瞬变电磁测井[7-9]响应中,频率是一个自变量,不是常数,声波测井和瞬变电磁测井响应函数在波数复平面、频率复平面上的所有极点都对响应有贡献,特别是固有频率附近的复极点,构成声波测井地层纵波响应的主要成分。瞬变电磁测井的重点研究对象也是复极点的响应[8-9]。

瞬态激发的井内、外声场分布使我们发现井内一次激发,井外地层中有多个地层纵波和横波向外传播[6],这直观地告诉我们:在井内液体中的一次激发在井壁被多次反射,每次反射在地层中都激发出纵、横波,导致多个地层纵波和横波在地层中传播,当其沿井壁传播时,通过边界条件,在井内液体中有多个对应的纵、横波耦合波,这些耦合波同相叠加(在固有频率处)产生共振响应。瞬变电磁场在井内激发以后,同样具有这种特征,每次在井壁反射都会在井内、外激发响应,所有反射响应和耦合响应的叠加构成最终的响应,即瞬变电磁响应也是在井壁被多次反射后由井内的反射响应和耦合响应叠加形成的[7-9]。

现有声波测井理论采用频率为常数时波数的单变量复变函数[1-5]进行分析,得到单频正弦波激励的响应[6,10-16]。根据Fourier变换原理,瞬态激发的所有频率的响应(正弦稳态)叠加得到瞬态响应[6,13-18]。这个结果在单变量线性系统中成立,对于平面液-固界面的声波传播也成立[13-14],因为波数(k)与频率(f)之间的关系只有纵波、横波和液体波速度(v)组成的3个简单的线性关系k=fv,三者均是连续的。在声波测井中,井壁对径向传播的声波多次反射导致径向波数只能取离散值,构成井筒固有频率。井内液体中的声波还必须满足液体波动方程,通过分离变量法得到频率和波数之间的一个双曲线关系。而井壁对径向传播声波连续的无数次反射在地层中形成无数个纵、横波,其频率与波数是线性关系。井内液体中有无数个纵、横波的耦合波,对应的双曲线和直线相交,交点处这两种关系都必须满足,导致频率和波数平面上特有的分布,同时,还产生瞬态响应。

圆柱边界条件导致自变量k和f之间有多种函数关系,在f-k平面内表现为曲线或直线。这些关系对应于波动方程和单变量复变函数中的支点,并与井外地层中的纵、横波(和套管波)的耦合波相对应。

频率作为自变量后,瞬态声波测井响应是两个变量的复变函数。多复变函数与单复变函数有显著的区别,因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义域的几何和拓扑性质(自变量之间的函数关系)所制约,其研究也由局部性质到整体性质逐步转移[19]。

井筒对径向传播声波多次反射后导致其反射系数和透射系数只在固有频率处有较大幅度,形成峰,产生共振响应,响应函数的极值沿双曲线分布。本文从此入手,讨论井筒固有频率对声波传播的影响。用声波测井响应的二维幅度谱的极值分布讨论地层纵、横波耦合波和套管井各种模式波的耦合波。沿地层纵波或套管波速度线取二维谱获得地层纵波耦合波或套管波的频谱,其在固有频率附近有单峰,峰的附近频谱是断开的,两侧是不同的地层纵波模式波或套管井模式波,该断开的频谱峰构成地层纵波或套管波的共振响应,与井和地层参数有关,决定首波波形形状,携带了井和地层的信息;用指数函数的频谱拟合断开的频谱峰,可获得纵波或套管波波形包络线随时间的衰减系数。该衰减系数综合描述了地层的物理衰减和声速,对岩性敏感,可用于固井质量和非常规油气藏评价。改变套管井几何参数,套管固体内各种模式波在f-k平面上将双曲线形状的极值分布以各种方式截断,形成不同分布形态的耦合波。在截断位置附近幅度大,形成峰,响应具有共振特征。

1 圆形井筒的反射、透射系数

裸眼井轴心激发的振动沿半径方向在井内液体中传播到井壁时,其反射和透射系数不是常数,随频率f变化,具有一系列峰。图1a是裸眼井(其参数见表1)中声波只沿径向传播时的广义反射系数R、透射系数T(直接用轴对称的径向位移求解)。图1b是平面界面和圆形界面反射、透射示意。平面波垂直入射到平面界面时只有一次反射、透射(反射系数R1D、透射系数T1D是常数),而轴心上激发的柱面波在圆柱界面上有无数次反射、透射,其反射系数和透射系数均随频率变化,在固有频率处形成峰,即广义反射和透射系数在此均达到极大值,其中反射系数R很大,除以10(R/10)以后与T绘制在一起。

图1 平面界面和圆形界面反射系数和透射系数随频率的变化(a)和反射、透射示意(b)

表1 裸眼井参数

频谱峰所在的频率为井筒的固有频率。二维圆形界面只对固有频率有比较大的反射、透射系数,井和地层内的响应只在固有频率处幅度大,构成共振响应。

在井内轴心激发的振动能量沿径向传播时同时到达井壁,同时反射,反射波(能量)在圆心聚焦后继续沿半径传播到井壁,再次反射、透射,……。每次反射、透射均有能量进入地层,这样的过程一直重复,直到井内液体的振动能量全部穿过井壁进入地层。井内液体中的这种多次反射、传播过程导致了井筒固有频率fs,用纵波势函数求解时它由Bessel函数J1(x)的零点xs确定[1,5],直接用位移求解(1)直接用位移求解:对于声波测井响应,通常用势函数求解,因为势函数分别满足纵波和横波波动方程,液体中点声源激发的势函数是球面波。实际的声源激发位移和应力,只对径向位移ur求解时,作为标量函数的ur也满足纵波波动方程,是零阶Bessel方程,出现J0的零点;将ur作为矢量函数urer时,其矢量波动方程为一阶Bessel方程,出现J1的零点。一般情况下只用J1的零点,但是,最近将纯数值解的声波测井响应波形变换到f-k平面时发现了大量的零点。怀疑声波测井响应波形中这两个零点都可能存在,都构成共振响应。(对应球形声源激发球面形状的位移到达刚性壁井壁)时,xs是零阶Bessel函数J0(x)的零点。这两种零点不在一起,均能构成井筒的固有频率,对应共振响应。

(1)

式中:vf是井内液体的声波速度;a是井半径。因为反射、透射系数只在固有频率处形成峰,幅度大,因此,其对应的井内液体响应也只在固有频率处幅度大、形成共振响应,其它频率幅度小,频谱峰的形状决定了响应波形包络线的形状。该现象由声波在井内液体中沿径向传播所导致,因此响应波形形状和幅度受井内液体的衰减系数和地层与井内液体声速的差等因素影响。

2 刚性壁井中声波响应的二维谱

井内液体是圆柱形状,声波在其轴线上激发后,除了沿半径方向传播、反射形成固有频率外,还沿z方向传播,井内液体中的波数由径向波数kr和z方向波数k组成,径向波数(因为径向边界)取一系列的离散值,z方向的波数k(没有z方向的界面)随频率f连续变化。用实轴积分方法[5]求解,井内液体的响应(势函数)是k与角频率ω的双重积分:

(2)

其中,第一项积分是点源激发的球面波,第二项积分是井壁导致的广义反射波。式中:r是柱坐标的半径;H0和J0分别是零阶Hankel函数和Bessel函数;A是广义反射系数。(2)式中方括号内的函数是变量k,ω的(双变量)复变函数,称为二维谱。

先不考虑井外固体介质中传播的声波,只研究圆柱形状的井内液体中声波的传播特征。设井壁为刚性壁(纵、横波速度为无穷大)或圆周液体外是自由边界、应力为0或薄壁管;它们都没有沿z方向传播的声波。轴心上的点声源在圆柱形井内液体中激发的声波测井响应(压强)的二维幅度谱如图2所示,图2a 对应的是5.5in的刚性壁,图2b对应的是7.0in的薄壁管(1in≈2.54cm)。f-k平面上的二维幅度谱均沿一组双曲线及其渐近线分布,渐近线是过原点的斜直线,其斜率为1/vf,是井内液体的声波时差(液体声速vf的倒数),对应液体直达波或Stoneley波在f-k平面内的分布;双曲线与横轴的交点是井筒的固有频率((1)式)。双曲线满足的方程由液体的波动方程通过分离变量法获得[6-14]:

图2 圆柱形液体中传播的模式波测井响应的二维幅度谱

(3)

式中:xs/a是离散的径向波数,由刚性壁和薄壁管的边界条件决定。其中,k和f均是自变量,构成f-k平面。当k=0(描述沿半径方向传播的声波,在径向产生多次反射)时,双曲线与频率轴相交,交点的频率为井筒固有频率fs。k>0时描述井内液体中沿倾斜方向(k,xs/2πa)传播的声波,k随频率改变,不同频率的声波传播方向不一样。井内液体响应的幅度谱只沿双曲线和渐近线分布,只在这些位置响应幅度比较大,其它区域幅度很小;f-k平面内的双曲线分布是圆柱形状的液体中能够传播的声波模式波——井内液体模式波,是圆柱边界对井内液体中的声波无数次反射后导致的自变量k,f之间的内在约束关系;双曲线形状的二维谱随频率连续变化,其渐近线是过原点斜率为1/vf的直线,是Stoneley波的频谱,也随频率连续变化。

3 自由套管的二维谱

当井外是非刚性的固体介质时,其中有声波传播,例如地层纵波、套管波等;通过井壁边界,在井内液体中存在与其耦合的声波,该耦合声波沿z方向的传播速度v与井外固体的传播速度相同(满足边界条件),其波数k=f/v,在f-k平面中,这是一条过原点的直线,其斜率为1/v。当声速v大于井内液体声速vf时,其斜率1/v小于1/vf,该直线与图2的双曲线相交,声波测井响应的二维谱极值沿该直线分布。当声速小于井内液体声速vf时,其斜率1/v大于1/vf,位于图2的双曲线渐近线即Stoneley波斜线的上方,与双曲线不相交。

图3a是自由套管(参数见表2,套管内、外均只有液体)内声波测井响应的二维幅度谱。与图2相比,图3a中多了两个模式波。一个是以1/vt为斜率、过原点的直线,位于图3a的下方,其速度vt大于液体声速vf,与双曲线相交。这是套管固体中的模式波沿z方向以套管波速度vt(接近常数)传播时,通过边界在井内液体耦合的声波——声波测井的套管波,简称套管波。另一个在低频区域,其速度v小于液体声速vf,位于Stoneley波斜线(井内液体声速vf的斜直线)之上,是一段向上翘起的曲线,称为第二Stoneley波,其相速度随频率连续变化。

图3 套管波(直线)与井内液体模式波(双曲线)的耦合以及套管波的幅度谱

表2 套管参数

从图3a的二维幅度谱的极值分布可以看出:斜直线与双曲线组相交,在井内液体中形成套管井模式波。其二维幅度谱表现为:在交点处极值分布的双曲线和斜直线均被断开。断点两侧属于不同的套管井模式波[12,15-16],从左到右观察,从第1个双曲线下面的部分(见A点周围的分布)开始,沿双曲线向上接近交点时向右转弯到斜直线(B点周围),沿斜直线到第2个双曲线(见C点周围)时,向上转弯到第2条双曲线,构成一个连续的套管井模式波分布[12,15-16]。在交点(见C点周围)的斜直线下面,从D点周围的极值分布开始,极值分布沿第2个双曲线向上,在交点即断开位置(见C点周围)的下方向右转弯到斜直线(见E点周围),沿斜直线到第3个双曲线后向上转弯到第3个双曲线,形成第2个套管井模式波,以此类推。每个套管井模式波均由相邻的两段双曲线和一段斜直线组成,随频率连续变化,与套管井中套管模式波的频散曲线对应[12,15-16]。在交点的上、下分别有两个套管井模式波分别转弯,一个从(斜直线下面的)双曲线(见D点周围的分布)向右转向斜直线(见E点周围),另一个从斜直线(B点周围)向上转向双曲线,见C点周围的极值分布。交点两侧沿斜直线的部分其速度等于或接近于套管波速度,是声波测井的套管波;沿套管波斜直线(速度vt斜直线周围)取二维谱的极值得到套管波的频谱,其幅度在交点附近最大,离开交点后幅度快速减小,并且该频谱在交点附近断开,不连续,如图3b所示(套管井Ⅰ界面胶结差,不同水泥密度时的套管波频谱);交点两侧沿斜率为1/vt的斜直线部分的二维谱随频率和波数的变化构成套管波(一个完整)的频谱峰和波数峰。频谱峰及其形状决定了套管波的波形形状,波数峰的形状决定了阵列声波测井波形幅度随z的变化规律。

在双曲线和斜直线的交点位置二维幅度谱没有极值分布,斜线之上的双曲线(见C点周围的极值分布)与交点左侧的斜直线(见B点周围的极值分布)连在一起,并一直延伸到左边的双曲线下面(见A点周围),构成一个连续的频谱;斜线之下的双曲线(见D点周围)向右转弯到斜直线(见E点周围),并最终与右边的双曲线向上变化连接在一起,构成另一个连续的频谱。在f-k平面上的这些极值分布刻画了套管井内的声波测井响应,描述了井筒的圆柱形状液体对套管波的影响,是声波测井响应函数(即(1)式)的双变量复变函数自身的特征,或者说描述井内液体中的套管波的双变量复变函数的极值分布自身进行了改变,其目的是实现套管波的耦合,也是套管固体内传播的声波在井内液体耦合后所形成的耦合波的存在方式,即在交点处二维幅度谱没有极值分布,声波测井响应为0[6]。文献[6]指出:在交点位置存在孤立的实极点,对应正弦稳态响应。在交点左右两侧沿套管波速度的斜线周围有幅度较大的极值分布,其斜率与套管波时差接近(略有差别),随着频率的增加,相速度从大于套管波速度连续变化到小于套管波速度,在相邻两个双曲线的中间位置与套管波的斜直线相交,该交点处的相速度等于套管波速度,但是幅度很小。幅度最大的位置在斜线与双曲线的交点附近,但是其极值分布在此转弯(相速度f/k变化小,极值分布的斜率(即群速度)剧烈变化),沿斜直线的极值分布被断开。沿套管波速度斜线(周围或在一定的区域内)由二维谱幅度得到声波测井的套管波频谱,其在幅度最大位置附近断开,形成断开的频谱峰。这是声波测井套管波频谱的一个主要特点。裸眼井中地层纵波耦合波的频谱也具有该特征,其频谱峰值在断开位置的右侧。

上述套管波的斜直线与双曲线交点处二维谱的极值分布与基于单变量复变函数的声波测井理论所得到的频谱[6]有较大的区别。在套管井中套管波的速度恒定,对应于二维谱中的斜直线,裸眼井中地层的纵波速度恒定,也对应于二维谱中的斜直线。基于单变量k的声波测井理论显示,裸眼井响应中,双曲线与直线的交点是孤立的实极点[6],响应幅度较大[5-6],在双曲线与纵波斜直线的交点处达到极大值。纵波支点的垂直割线积分随频率变化,在固有频率处形成峰值[5],这些响应都在纵波斜直线上。而图3a所示的二维谱显示,交点处的二维谱是错开的,交点及周围没有极值分布,偏离纵波线或套管波线后才有极值分布,并且极值位置偏离交点,不在纵波或套管波斜线上。

对于裸眼井或胶结良好的套管井(套管波幅度小或没有),二维谱中极值沿地层纵波速度线分布(以地层纵波速度的倒数为斜率)的幅度大,其单个频谱峰形状反映地层的物理衰减和纵波速度。用阵列声波测井波形通过现代信号处理方法(Prony法)对测量波形建模,用指数函数的频谱模拟断开的单峰,将单峰的形状转换为综合衰减系数(GAL),可直接指示地层的声速和物理衰减,它对岩性变化灵敏,不同的岩性其幅度变化大。图4是不同岩性的套管井固井质量好时的声波测井波形以及用首波处理的时差和GAL。从左到右第1道是声波时差(DT)的分布,比较集中;第3道是GAL的分布,比较分散;第4道是从第1道、第3道分布中分别提取的DT和GAL曲线(GAL曲线被平滑),第5道是第1个波形的变密度图,最右边是模型井示意图。这是用“一发八收”的阵列声波测井仪器测量的结果,接收探头间距为0.5ft(1ft≈0.3048m),最近的源距为2.5ft。模型的第2层是砂岩含油、第3层是砂岩含水,两者的物理衰减系数不同,其GAL差异明显。GAL是个全新的测井曲线,综合描述了测井波形中首波的单个频谱峰形状,展现了首波波形形状所携带的地层物理衰减和纵波时差信息,该参数除了用于固井质量评价外,还可用于非常规油气藏评价和裂缝识别。

图4 套管模型井阵列声波测井首波的声波时差(DT)和综合衰减系数(GAL)

套管厚度不同,声波沿径向在套管固体内无数次反射形成的模式波特征不一样,沿井轴方向传播的速度特征发生改变,自变量f,k之间的函数关系随之改变,耦合到井内液体中的套管井模式波的分布也不一样,在对应的f-k平面上声波测井响应的二维幅度谱的极值分布发生明显改变,即双变量复变函数通过幅度和极值分布的变化展现了不同厚度套管内的套管模式波的速度和幅度特征。表3是套管内、外介质的参数(h是套管厚度)。图5给出了套管井声波测井响应的二维幅度谱分布。由图5可以看出:当套管厚度为0.5mm时,二维谱中位于上面的Stoneley波和第二Stoneley波幅度小,套管波的斜直线将双曲线截断(图5a);当厚度增加到4.0mm时,双曲线的形状发生了比较大的改变,在0～35kHz的频率范围内双曲线由3个增加到4个,位于Stoneley波斜线上面的第二Stoneley波幅度增加(图5b);当套管厚度为10.0mm时,二维谱中第二Stoneley波幅度明显,低频段相速度接近液体声速(图5c);当套管厚度为30.0mm时,二维谱中上部的双曲线被截断,Stoneley波幅度大,第二Stoneley波消失,在10kHz附近的两个双曲线之间的间距减小(图5d);当套管厚度为100.0mm时,二维谱中上部截断双曲线的位置下移到横波线vs之上,7kHz处的双曲线逐渐消失,在28kHz处出现新的模式波分布(图5e);当套管厚度为300.0mm时,二维谱中低波数段出现多个模式波,其在f-k平面的分布各异,将幅度大的黄色双曲线截断成很多段(图5f);当套管厚度为500.0mm时,二维谱中截断双曲线的最上面的斜线位置下移到横波线vs之下,横波线vs以下出现更多的模式波分布,将3个双曲线截断成多个线段(图5g);当套管厚度趋于无穷大时,变成图5h所示的裸眼井的二维谱,双曲线只被地层纵波线vc和地层横波线vs截断,其它位置均是连续的,其中沿横波线vs截断双曲线的特征明显,沿纵波线vc截断双曲线的位置在图5h中显示不明显,需要放大后才能显示该截断的特征。

图5 套管厚度不同时套管内液体响应的二维谱

表3 套管内外介质参数

4 自由套管内、外的声场分布

为了对比图5所示的自由套管内、外的声波分布和传播过程,图6给出了2种套管厚度的自由套管井内、外液体和套管固体内的声场分布。图6a是套管厚度为300.0mm时的声场分布,可以看到井内液体的反射波多次到达井壁产生的反射波和透射波,套管内的纵、横波到达外边界产生的透射波和反射波,以及套管外液体的透射波。随着时间的增加,套管和井内外液体的声波模式增多,叠加在一起形成复杂的声场分布。图6b是套管厚度为30.0mm时不同时刻的声场分布。随着套管厚度的减小,套管内传播的声波发生了巨大变化,以套管模式波为主,其在井内液体对应的耦合波(测井的套管波)的波阵面分布也随之发生巨大变化。

5 套管井Ⅰ界面胶结差的二维谱

用套管井模型,将水泥环和地层的半径增大,见表4中所示参数,改变套管厚度h计算井内液体的二维谱,结果如图7所示。因为水泥环和地层半径增大,其界面反射使得二维谱中有很多双曲线形状的模式波分布,它们的间距较小。随着套管厚度的增加,套管的反射和套管内模式波的影响逐渐显著,逐步与图5的二维谱形状接近。

表4 套管井Ⅰ界面胶结模型计算参数(一)

从图7可以看出:当套管很薄,其厚度只有0.5mm时,套管井的响应主要是水泥环界面反射所引起的响应,因为半径比较大,双曲线分布的间距很近,双曲线很多(图7a);当套管厚度增加到4.0mm时,套管的作用明显,在二维谱中低频区域出现第二Stoneley波,高频区出现幅度比较大、集中的双曲线黄色带(图7b);当套管厚度增加到9.0mm时,二维谱中低频处仍然能够看到很多类似双曲线形状的模式波分布,而高频段集中在两个双曲线周围,双曲线被套管波截断(图7c);当套管厚度为30.0mm时,低频区域的模式波幅度减小,右上角出现黄色双曲线分布被截断的情况,截断位置呈现锯齿状,水泥环界面的反射作用仍然有所体现(图7d);进一步增加套管厚度到70.0mm时,套管井的模式波分布特征显著,由水泥环和地层产生的密集双曲线分布只在双曲线被截断的位置出现(图7e);当套管厚度为100.0mm时,出现了新的模式波分布,截断处仍然能够看到密集分布的双曲线痕迹(图7f);当套管厚度为400.0mm时,水泥环的反射特征引起的锯齿形状的分布完全消失,在横波线vs以上模式波分布是连续的,以液体速度线vf为渐近线,横波线以下各种模式波将井内液体的双曲线截断成各种各样的形状,所有模式波幅度均在截断位置(固有频率)附近达到最大,形成频谱峰,该频谱峰的响应具有共振特征(图7g);图7h是同一尺寸和参数的裸眼井的二维谱,图7g中被截断的双曲线分布形状与裸眼井一致。

改变水泥环尺寸,见表5中所示参数,套管井内响应的二维谱如图8所示。当套管很薄(厚度为

图8 不同套管厚度时套管井响应的二维谱(二)

表5 套管井Ⅰ界面胶结模型计算参数(二)

0.5mm)时,二维谱仍然以双曲线形式的模式波集中分布(图8a),与图7相比,模式波之间的间距加大了。薄套管的影响只表现在几个模式波的幅度上(比较大)。当厚度增加到4.0mm时,套管引起的模式波分布集中在一起,形成黄色条带(图8b)。厚度进一步增加后,套管井的模式波越来越集中,双曲线被模式波截断的位置出现锯齿状的断面(图8c、图8d)。随着套管厚度的进一步增加,锯齿状的分布越来越少(图8e、图8f)。

在图8f中,当套管厚度为100.0mm时,在25～30kHz的频率范围内,二维谱右下角出现一个明显的弯曲形状(镰刀型)模式波,图5e中也有。改变套管厚度(80.0～150.0mm),套管井内的二维谱变化如图9所示,可以看出,在声波测井的频率区间内,二维谱分布有明显的变化,截断双曲线的方式也有了新的变化(见图9b右下角),图9e、图9f中出现双曲线被竖直截断的情况。

图9 套管厚度为80.0～150.0mm之间的二维谱

当套管厚度改变时,套管固体内的模式波发生改变,耦合到井内液体的耦合波也随之改变(图6)。用套管厚度改变调整井内液体耦合波f,k之间的函数关系,研究了井内液体响应的双变量复变函数随该函数关系的变化(图7、图8、图9)。函数幅度、极值及其分布随套管内声波传播特征的改变而明显变化。双变量复变函数为了适应套管内传播的各种模式波在井内液体的耦合(满足边界条件)做出了相应变化,这是声波通过圆柱边界条件耦合的结果,也是多变量复变函数的主要特点。声波测井响应的二维谱具体刻画了井内液体耦合波的特征。

6 声波测井响应的二维谱与耦合波

6.1 声波测井瞬态响应波形与固有频率

声波测井是在井内液体中进行的,测量的是瞬态声源激发的瞬态响应波形,采用阵列方式接收,能够获得沿z方向不同源距的瞬态响应波形。

在井内液体轴心激发的瞬态声波沿径向传播到井壁后发生反射和透射,反射波向轴心汇聚后继续沿径向传播,再次到达井壁发生反射和透射[6],无数次的反射和透射形成驻波解(用Bessel函数J0(x)描述[6]),井内的响应有别于无限大液-固平界面的响应;圆柱形井筒对径向传播声波的每次反射都有能量透射到地层,井内液体的振动能量以无数次透射的形式进入地层,不同于平界面的一次反射、透射(反射、透射系数为常数)。圆柱形界面的无数次反射对瞬态振动能量重新进行了分配:只有井筒固有频率才产生较大的反射和透射系数,其它频率的反射和透射系数很小,即轴对称的声波振动能量只能以固有频率共振的形式穿过圆柱界面进入地层(套管、水泥环和地层)。声源激发的其它频率的能量在井内液体中被无数次反射后转变为井筒固有频率的能量,然后再透射到地层中,使得井内液体和地层中只有固有频率的振动能量较大。井和地层中所有频率的响应叠加构成瞬态响应,其中,固有频率的响应大,其它频率的响应小。井筒具有频率选择和频率重新采样的功能,也有振动能量重新分配的功能。就像冲击有限长杆,声波在其内无数次反射后只能以其固有频率振荡或传播振动能量一样,冲击激励中的所有激发频率最后都只能以固有频率的振动方式来表现,这是声波(和电磁波)传播的基本规律,是波动方程解的基本特性。井内液体只能有固有频率的振动能量和声波传播。在井内液体中用固有频率为主频的声源激发产生共振响应,共振波的幅度大,用其它频率为主频的声源激发也只能在固有频率处产生共振响应,共振波的幅度小。

声波沿径向的无数次反射过程以及由此产生的频率选择性在基于几何声学(滑行波理论)的声波测井理论中没有得到充分的认识和讨论,声波测井传统理论长期忽视这个基本规律。虽然用纵波支点的垂直割线积分也获得了频谱的共振峰,承认首波具有共振特征,但是,所获得的共振峰是连续的。声波测井响应函数中沿地层纵波线的极值分布对应以地层纵波速度传播的声波,其频谱是断开的,如图3所示,而且在单峰附近断开,峰两侧是连续的极值,合在一起构成首波频谱的共振峰,但是峰两侧的分布并不属于同一个井内模式波。因此,沿纵波支点的垂直割线积分并没有完全描述裸眼井纵波的响应,多年来人们无法对首波波形形状及其所携带的地层物理衰减、时差等信息进行有效开发利用。

井筒对沿z方向传播的声波同样具有频率选择和过滤效应:位于井筒固有频率附近的响应幅度大,偏离井筒固有频率响应幅度小,所有的响应均围绕着固有频率。地层或套管中传播的各种模式波其传播速度恒定时,在f-k平面是直线,耦合到井内液体后,在f-k平面上直线和井内液体模式波的双曲线相交,形成的极值分布是:井内液体模式波的双曲线和直线均被截断,沿直线的响应频谱在其断点附近形成峰,单个频谱峰的响应具有共振特征,响应波形形状完全由频谱峰形状决定。

当激发探头的频带较宽,在其频率区间内包含多个固有频率时,频谱仍然只在固有频率附近幅度大,形成峰;离散的频谱峰合在一起类似于频率采样。多个频谱峰响应叠加后形成一个整体,此时频谱中单个峰的响应特征不变,整体频谱的响应是这些单个频谱峰响应的叠加,所形成的波阵面是连续的。激发频带越宽,频谱峰越多,波阵面形状越接近平面液-固界面的形状,几何声学的条件逐步被满足。当激发的主频较高,频带内包含很多频谱峰时,响应满足几何声学条件,得到图6所示的井内液体耦合波波阵面(见图6 中的斜直线),与井壁两侧界面相交形成X形,沿z方向以套管波速度传播,波阵面形状在传播过程中保持不变。被井内接收探头接收时,其波阵面在套管或地层中已经超过了接收探头所在源距,响应波形所测量的地层位置不是滑行波所描述的地层位置,比接收探头所在的源距稍远。实际仪器所测量的波形还受探头半径与井半径的影响,因此,这些测量位置不同所引起的深度误差很小,在实际应用的1∶200的曲线图中误差不到1mm,通过简单的校深或初始值设定就能将其掩盖。

6.2 井内液体中的耦合波

井外地层纵、横波(面波)和套管的模式波沿界面在z方向传播时,通过边界会耦合到井内液体,各种耦合波和井内液体中传播的各次反射波叠加形成测井响应。井壁边界条件使得各个耦合波沿z方向以地层纵波、横波或以套管模式波的速度传播,在f-k平面是直线分布。同时,圆柱形液体中的各个耦合波还满足井内液体的波动方程以及边界对径向传播声波无数次反射导致的径向离散波数,波动方程和径向离散波数也构成了自变量k,f的内在关系:在f-k平面是双曲线。井内液体中的声波测井响应受这些关系影响,最终表现为:描述响应的双变量复变函数的极值沿双曲线和直线分布,在双曲线和直线的交点附近极值分布发生改变,出现新的二维幅度谱极值分布。这些改变后的极值分布与现有声波测井理论(单变量k的复变函数)相比:①支点处的积分为0得到体现,即在双曲线与地层纵波支点对应的纵波线k=f/vc的交点处二维幅度谱没有极值分布;②沿纵波支点的垂直割线积分(以地层纵波速度vc传播)对应二维谱中的地层纵波斜直线f=kvc,井内液体中的地层纵波耦合波或套管波耦合波的二维谱极值分布稍微偏离该纵波线f=kvc和套管波线f=kvt,沿地层纵波和套管波线得到的二维谱随频率变化不连续。

声波测井的瞬态响应是连续频谱的响应,频率是自变量、不是常数,是双变量复变函数的整体特征。现有的声波测井理论假设频率为常数,用单变量k的复变函数描述,对k积分所得到的解是井筒内的正弦激励响应,只包含单频的稳态响应,即能够在井内长期存在的所有响应,不包含那些在井内不能长期存在的瞬态响应,因此,它还不是完整的瞬态响应,需要向双变量复变函数在f-k平面的整体响应过渡[14]。双变量复变函数的积分本身还有瞬态响应,不在单频的稳态响应中,因此,只用连续的单频稳态响应叠加得到的瞬态响应不包括积分本身的瞬态响应。

双变量复变函数整体响应特征受双变量之间的函数关系(约束、定义域、f-k平面的曲线)影响,在约束所对应的曲线取极值,这些曲线刻画了地层中传播的声波通过边界与井内液体中传播声波的耦合。耦合的结果使得井筒固有频率发生偏移,固有频率附近模式波相互转换,幅度较大,在f-k平面的分布变化明显。而(井内液体模式波的)双曲线与(井外声波的)斜直线的交点处无法存在模式波,双变量复变函数没有极值分布。

井内液体中的声波沿径向多次反射后形成的离散径向波数在声波测井响应的二维谱中对应双曲线形状的极值分布。它从横轴的各个固有频率开始,随着z方向波数k(或频率)的增加,极值分布沿双曲线变化,响应的能量均集中在双曲线上。而地层纵、横波耦合波和套管模式波耦合波的频谱需要一定的频率范围才能形成瞬态波形,需要二维谱极值从交点两侧分别沿地层纵波斜直线或套管波的斜直线延伸,使耦合波频谱沿直线延伸,对应频率以地层纵波或套管模式波速度传播,形成连续的频谱(需要有响应能量从双曲线分散到斜直线),这个矛盾是声波测井瞬态响应所特有的。双变量复变函数在此以交点处极值分布转弯(见图3a的C点周围的极值分布),交点处直线和双曲线均断开、断开位置的双曲线幅度沿斜直线分布,将其能量分散到了地层纵波耦合波或套管波耦合波,即以这种极值分布改变的方式有效地解决了这个矛盾并实现了井内声波的耦合。结果导致沿斜直线的地层纵波和套管波耦合波的频谱断开,断点两边为不同的模式波、其频谱连续,在断点附近沿斜直线周围的二维幅度谱形成极值,并沿斜线向两侧延伸(图3a的B点、E点)形成地层纵波耦合波和套管波的频谱,沿纵波线或套管波线得到的频谱是断开的。声波测井首波(地层纵波或套管波)的幅度和相位(到时)主要由频谱断开处的频谱峰形状(图3b)决定,而频谱峰处的极值分布转弯(见图3双曲线断开位置C点周围的分布),其斜率随频率快速变化,群速度急剧减小,不等于地层纵波速度或套管波速度,响应出现在后续波形中;离开峰值后沿直线的分布与地层纵波、套管波速度接近甚至相等(见图3a的B点、E点),响应出现在首波位置,但是频谱的幅度小,响应波形的幅度也较小。

频谱幅度随频率减小越快,频谱峰越尖锐,响应的共振特征越明显,首波响应的振荡周期越长。这些地层纵波耦合波和套管波的频谱特征刻画了其响应波形的形状,导致声波测井首波波形形状随地层变化,使得测井过程中首波幅度和形状千变万化,包含了丰富的地层信息。

现有声波测井滑行波理论对这些结果并没有完整的描述,井内液体中传播的地层纵波耦合波和套管波不能用滑行波解释。

6.3 与现有声波测井理论的区别

上述特征从双变量复变函数的角度来分析是正常的,即井内外传播的声波分别构成双变量之间的函数关系,在f-k平面构成曲线和直线,通过边界耦合,曲线和直线相交,双变量复变函数的极值在交点位置改变分布,满足相应的边界条件。但是从单变量复变函数的角度分析,频率视为常数,只有波数k一个变量,纵波支点处的垂直割线积分对应于声波测井响应中以地层纵波速度传播的声波。垂直割线积分在井筒固有频率处取得极值[5],该极值是严格按照地层纵波速度传播的首波的幅度[5]。对应的二维谱应该在f-k平面的固有频率(直线与双曲线的交点)处取得极值。实际上,在该频率位置二维谱没有极值分布[5-6],幅度也很小(与围绕该支点的积分为0的结论一致)。

垂直割线积分所描述的地层纵波响应实际上是二维谱中的纵波线两侧响应函数的差异产生的。地层纵波经过井壁耦合后在二维谱中已经分裂为沿纵波线的模式波,表现为响应函数的极值。因此,垂直割线积分给出的单频激励解只能描述纵波线两侧响应函数的差,并不能完整地描述声波测井首波的瞬态响应,它只是首波响应一部分,纵波线周围的极值才构成首波的主要响应。

声波测井瞬态响应的频率是连续的,有一个区间。但是沿地层纵波速度和套管波速度线从二维谱中取出的频谱是断开的,断点周围是频谱峰,频谱峰两侧还属于不同的模式波。即沿地层纵波线或套管波线取出的频谱幅度是一段一段的,分别属于不同的模式波、只在特定的频率位置幅度大,离开该位置幅度快速减小。这些一段段的二维谱组成地层纵波耦合波、套管波的频谱,合在一起做Fourier逆变换得到响应波形和连续的地层纵波耦合波或套管波波阵面(图6井内与井壁相交的X形的斜直线),它们是这些断开频谱共同作用的结果。

多个断开的频谱峰构成连续的耦合波波阵面,这是井内液体中纵、横波和套管波耦合波的主要特征。对于高频(85kHz)激发源,频带很宽时,包含多个固有频率的频谱峰,构成图6所示的井内液体X形的波阵面。而声波测井的频率范围(1～25kHz)只能包含一个或两个固有频率的响应,响应波形完全由单个断开的频谱峰形状所决定(图3b),是典型的共振响应。并且在频谱幅度最大位置二维谱分布转弯,群速度突变,因此,其瞬态响应具有特殊的形状,沿z的幅度分布具有特殊的包络线,这些均表现在声波测井首波的波形形状中,构成首波丰富的形状变化。

6.4 声波测井响应函数与耦合方式

声波测井响应函数是双变量复变函数,其极值分布于双变量约束关系对应的曲线上,这些极值刻画了声波测井的响应特征,即井内各种声波沿z方向的相速度和群速度以及幅度。这是井壁边界和井内、外的声波相互耦合后产生的频率f和波数k之间的约束关系、定义域分布的具体表现,极值在f-k平面的分布还受制于各声波之间的耦合特征。

刚性壁的井内液体中其二维谱呈双曲线形状,描述井内液体中圆柱界面对径向传播的声波无数次反射后引起的共振特征,称为井内液体的模式波。地层或套管中存在沿z方向快速传播的地层纵波或套管波,其二维谱极值沿斜直线分布。它们都通过井边界与井内液体中的共振声波耦合,双曲线和斜直线在f-k平面相交,在交点处,响应函数的极值与分布均被改变,对应的相速度、群速度均发生变化,形成连续的模式波分布,该模式波在交点处转弯,极值分别从交点的上、下(变化的)双曲线转弯到左右(变化)的斜直线(见图5、图6、图7中的黄色双曲线断开位置和图3a的C点周围的分布),或从斜直线转弯到双曲线,转弯过程是连续的。交点位置没有极值分布,因为交点既属于双曲线又属于斜直线,交点处的相速度相同,但沿斜直线和双曲线的斜率即群速度差异大,沿双曲线和沿斜直线的两种声波能量的传播方向和传播速度完全不同。所以该交点所代表的频谱能量不能属于任何一种声波,即既不能属于斜直线沿z方向快速传播,也不能属于双曲线沿倾斜方向以液体共振波的慢群速度传播。因此,交点处没有极值。响应函数必须做出改变以适应井内、外声波耦合的需要。或者说,井外地层的纵波或套管波在井内液体的耦合波在双曲线与斜直线的交点处(固有频率处)不能够存在极值分布。

双变量复变函数通过幅度和极值分布的这些变化,适应了声波耦合和边界条件对f和k取值的限制,完成了声波之间的耦合,实现耦合波与边界条件的统一。双变量复变函数在稍稍偏离纵波线的位置取得极值,极值分布偏离纵波线后其对应的群速度和相速度均与地层纵波速度有小的差异(见图3a从A点位于纵向线以下,经过B点与纵波线相交再到C点位于纵向线之上)。

从图3a中还可以看到:单频的响应是正弦波激励的响应,其频率固定。当正弦波的频率与井筒固有频率接近时,响应幅度逐渐增大达到峰值。实际上井内液体中单个频率的激励有多个模式波响应(对应图3a 二维谱的竖线遇到的极值),它们都是同一频率的正弦波,幅度和相位不同,叠加后形成一个幅度和相位差,构成单频正弦波的稳态响应。它们不像瞬态响应那样,不同类型的模式波因为相位不同形成到达时间的差异以及波形形状的差异,即使叠加在一起也能通过不同源距的波形和频散曲线进行区分。

另外,从能量的角度分析,单频的激励是无限能量信号,有持续的后续能量提供,随着时间的增加,能量一直提供,保障其响应所需要的能量,共振时幅度可以趋于很大。瞬态响应的激励只有一个瞬态冲击(连续的频带,频带内每个频率的幅度都是有限的),其总能量是有限的,没有正弦稳态持续提供的再激发能量。单频的地层纵波耦合波响应的频谱在二维谱中只是一个点(频率竖线与纵波线的交点),而瞬态响应在二维谱中是一段频率区间。

通常情况下,连续的单频响应叠加(积分)得到瞬态响应。注意,这里的单频响应是二维谱所描述的响应,并不是单变量k的复变函数积分,因为,k积分时,频率f也随着极值分布改变,并不是常数。单变量复变函数沿纵波支点的垂直割线的积分在二维谱中表现为:在给定的频率和波数位置跨越纵波线,因纵波线两侧响应函数不同,在跨越时产生响应。该响应以地层纵波速度传播。

裸眼井中,通过单变量k的复变函数发现:单频激励的响应函数在固有频率处存在独立的实极点,实极点周围没有沿纵波线的连续分布[6],构不成瞬态响应的频谱。单频的正弦波激励在波数复平面上有复极点,对应泄露模式,沿双曲线分布于低波数区域(在图3a中是A、D周围的分布位置,横波线下方的双曲线),这些分布只影响近源距的响应波形,是井壁对径向传播的声波沿径向反射所造成的,并不构成地层纵波耦合波瞬态波形所需要的频谱。

实际测量的首波波形是瞬态的,有一个连续的频率段,其频谱也是连续的。这就要求响应函数即二维谱沿纵波线周围有连续的极值分布,图3a中交点两侧的二维谱极值沿套管波(纵波线)周围的连续分布提供了这样的瞬态响应频谱,而现有的声波测井理论——单变量复变函数沿垂直割线的积分提供了纵波耦合波的连续频谱,其幅度较小;没有提供沿纵波线连续分布的极值,实际上,这些极值构成了地层纵波耦合波瞬态响应连续频谱的主要成分。井中瞬变电磁场的响应也具有双变量复变函数的这些特征。

6.5 井的影响

对声波测井来讲,井的影响主要表现为井筒固有频率。地层纵波耦合波、套管波均是瞬态响应,频谱是连续的,在固有频率附近有峰值,离开固有频率,响应幅度快速减小。图1所示裸眼井中的反射系数和透射系数同时达到峰值,瞬态激发的连续频谱在井中转化为离散的固有频率后穿过井壁进入套管和地层。考虑沿z方向传播(井壁为刚性壁)时,在f-k平面中,k>0,从固有频率开始井内液体模式波对应的响应函数极值沿双曲线分布,离开双曲线,响应幅度快速减小。

井壁是非刚性壁时,井外地层中有纵、横波或套管波传播,通过边界在井内液体中产生耦合波,在f-k平面中沿斜直线分布,与双曲线相交,地层纵波耦合波或套管波极值越靠近双曲线其幅度越大,离开双曲线幅度快速减小。

耦合波传播时,振动最先在井壁的液体中出现,沿井壁和半径反方向传播。振动能量以地层纵波速度沿井壁快速传播,在f-k平面的二维谱中这个能量表现为:双曲线与斜直线交点处的响应函数极值被移动,沿纵波、套管波斜线有极值分布,将双曲线截断,截断处双曲线上原有的能量被地层纵波或套管波沿井壁传播带走,分散到纵波线或套管波斜线上,构成沿纵波线和套管波线(周围)分布的耦合波的瞬态响应所需要的连续频谱。

7 分析与讨论

声波测井波形中的地层纵波和套管波均是瞬态波形,波形形状在测井过程中变化明显,均具有共振特征。该波形形状主要由断开的频谱峰决定,与激发波形的形状差异很大,受井内液体和地层参数影响。这是井壁对径向传播的声波无数次反射后形成的固有频率的响应。无论是井内还是井外,其响应只在固有频率附近幅度大,离开固有频率,幅度快速减小。声波测井响应的二维谱中沿地层纵波和套管波的速度线均有极值分布,极值的幅度变化取决于地层纵波或套管波速度与井内液体速度的差和井内液体、地层或套管的物理衰减系数,该极值分布构成瞬态首波响应的频谱。

Stoneley波的频谱连续,是井内液体模式波的双曲线的渐近线,没有共振特征,与Stoneley波分布越接近,共振特征越弱,例如横波线附近的响应;相反,远离Stoneley波速度的地层纵波和套管波响应共振特征明显。

在横波线附近,井内液体中的横波和伪瑞利波耦合波的极值幅度大,其斜率和分布与Stoneley波接近,横波线与双曲线相交位置的二维谱没有极值,横波线之上是实极点产生的极值分布,极值幅度大,横波线之下是复极点产生的极值分布,极值幅度小,交点位置上、下的两个模式波分布相距比较远,均是连续的。沿横波线(在一定的速度范围内)取出的频谱同样是断开的,或者说横波的频谱也是由一段段断开的频谱所构成。断点之间的距离较大,断开的双曲线分布区域大。因为其频谱分布连续,离渐近线Stoneley波较近,通常人们将其作为不同的模式波看待,并用截止频率描述。横波频谱的断点两侧也是连续的模式波分布,横波线以上部分的实极点极值幅度大,构成横波响应的主要成分(频散曲线),横波线以下部分的复极点的极值幅度小,对响应贡献小,两段共同作用形成模式波的频谱,共振特征不明显。

地层纵波和套管波速度远离Stoneley波速度,只在双曲线周围(固有频率)有幅度较大的响应频谱,形成频谱峰,响应波形主要由频谱峰决定,具有共振特征。随着套管厚度的增加,出现很多模式波将双曲线分布以不同斜率和形状截断,形成多种极值分布,它们是套管内多种不同速度分布的模式波在井内液体的耦合波。

声波测井响应中,不论是哪种模式波的耦合波,其速度是多少,随频率怎么变,在f-k平面上只要分布靠近双曲线,其幅度就较大,离开双曲线则幅度快速减小。每个模式波的耦合波响应均将双曲线截断,沿截断的斜率取该模式波的耦合波的二维谱得到其频谱,在截断(固有频率附近)位置两侧极值幅度均快速减小,形成断开的频谱峰,所有模式波的波形形状均由断开的频谱峰决定。频谱峰断开是声波测井响应波形的主要特征之一。其速度一定,频谱峰附近不连续。

声波测井的首波(纵波或套管波)通常由一个或两个固有频率附近断开的频谱峰响应组成,单个固有频率的瞬态响应是共振响应,其波形特点是:以峰值所在的频率振荡,单峰的频谱形状决定响应波形形态,即包络线形状由单个频谱峰的形状决定。高频宽带激发时,在激发探头的频带范围内有多个这样的频谱峰,它们彼此分开,形成离散的频率,共同构成连续的耦合波响应和波阵面,此时,共振特征不明显,单个频谱峰的响应不突出,其整体响应满足几何声学的规律。

声波测井测量瞬态波形,通过不同源距瞬态波形的时间延迟(相位)确定地层的纵波速度。从基于几何声学的滑行波理论到基于单变量复变函数的解析解理论以及实轴积分方法,人们在对声波测井响应认识深入的同时带动了声波测井技术的快速发展。

上述声波测井理论上的认识突破和改变对声波测井波形的应用表现在:对于声波时差测井,从频率域入手,用多个频率的相速度分布,特别是频谱较低的相速度分布构成的相速度频散曲线获得的声波时差精度比较高。还可以利用断开的频谱峰形状生成首波综合衰减系数曲线,显示地层时差与物理衰减系数,评价非常规油气藏以及裂缝油藏。对于套管井测井,根据套管波的共振特征可以构造固井质量评价曲线GAL。

8 结论

实轴积分方法计算的响应一直作为其它数值算法的标准解使用,因为它给出了双变量复变函数的解,是对声波测井瞬态响应完整的描述。其中套管波和地层纵波耦合波的频谱峰揭示了井筒固有频率对响应的影响。井外固体中沿井壁传播的声波通过边界耦合到井内液体,其耦合波沿z方向的传播速度与固体中的传播速度相同。它与井壁的无数次反射波耦合,构成了双变量f和k之间的函数关系,影响或改变双变量复变函数的极值分布,形成了f-k平面的二维谱。沿地层纵波和套管波速度斜线获取二维谱的极值得到地层纵波耦合波和套管波的频谱,其在峰值附近是断开的,单个断开的频谱峰构成共振响应。套管井中每个速度比液体速度快的模式波与井内液体耦合后均将双曲线截断,沿其速度线取出频谱,均是断开的频谱峰,响应具有共振特征。沿z方向传播的速度越快,频谱峰越尖锐,共振响应特征越明显。一般的声波测井仅仅涉及到一个或两个固有频率,只有一个或两个频谱峰,其响应具有共振特征,利用该特征可获得综合衰减系数,描述声波测井首波形状所包含的丰富地质信息,用于固井质量评价、岩性识别和地层裂缝评价。