增强变式体验 助力思维进阶——《长方形和正方形的周长》素养进阶习题展评与教学建议

文 |包蓉

一、习题展评

●习题一

1.习题内容

请你将两块长6米，宽3米的长方形草坪拼组起来。

图1

在方格图中画一画、标一标，并计算它的周长。

图2

2.能力指向

培养动手操作能力、图形想象能力以及灵活计算图形周长的能力。通过对两块长方形草坪不同拼组方式的呈现，打破惯性思维的同时促进对图形特征的掌握。多样的周长计算方法也能直观反映出不同学习能力学生的思维水平与学习态度。

3.学情分析

本题是学生在自主描画组合图形的基础上进行周长的计算。从城区45名学生的后测情况看，组合图形集中在长方形和正方形（如图3），只有两位学生出现了“L”型拼法和“T”型拼法（如图4）。

图3

图4

图5

从周长计算角度看，绝大部分学生能在方格图中进行简单作图，并感知重合的部分不是组合图形的周长。当然，因为学生的思维水平发展不同，计算周长的方法也不同。有学生利用周长的概念，将线段长度进行累加计算，如：6+6+3+3+6+6=30（米）；62.2%的学生利用数的特点进行简便计算，如：6×4+3×2=30（米）；还有的学生具有整体思维，将组合图形看成了一个大长方形来计算，如：（6+6+3）×2＝30（米）。

●习题二

1.习题内容

30米的篱笆，能围出哪些长方形（整米数）？请你计算说明。

方法长（米）宽（米）周长（米）?

2.能力指向

信息转化和逆向思考能力。通过对“周长30米”这一信息的解读，得到长和宽的长度和是15米，引导学生由整体走向部分，识别其中的隐含条件，并结合有序思考的方式找到所有可能，进一步培养学生转化信息和知识逆向迁移能力。

3.学情分析

这一题不仅考查学生对周长本质概念的理解，还需要进行有序的逆向思考。除了个别学生不懂题意，大部分学生能够准确地找出其中几种，但找不全，且没有一定顺序。有学生错误地将周长和面积混淆，出现了长30米，宽1米；长15米、宽2米；长10米、宽3米的长方形。仅有11.1%的学生能将数学学习经验进行有效迁移，有序地找全7种情况。

●习题三

1.习题内容

你会计算下面这些图形的周长吗？请你算一算，再写一写计算的秘诀。

我计算的秘诀是：_________

2.能力指向

图形转化和再组合能力。本题以一个常见的四边形的变式为素材。由于图形中缺乏每一段的长度数据，因此学生不能使用“通过求每条边的总和求周长”的方法。学生需要将“不规则图形”转化为“规则图形”，进而简化复杂图形的计算，将未知转化为已知进行求解。

3.学情分析

95.6%的学生能正确计算第一个图形的周长。因第二个图形有干扰项，学生在计算周长时遇到困难。结合访谈，学生普遍能够将其转化为长方形的周长，只是难以找到对应宽的长度。第三个图形的正确率为42.2%，学生普遍受到前两个图形的负迁移，直接计算长9厘米、宽6厘米长方形的周长，而忽略两条2厘米的线段。可见，学生对于周长概念本质的理解还需要更加深入。

二、教学建议

1.在多样化情境与素材中，拓宽思维的广度

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出，教师需要引导学生从熟悉的生活与社会情境，以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境中，经历用数学眼光发现、提出问题，用数学思维与语言分析、解决问题。因此，在进行周长计算练习时，教师可以结合生活实际，创设给花坛围篱笆、打造鸡舍等情境，并将一面靠墙、两面靠墙、已知周长求边长等问题融入其中，让学生在不同情境中学会提取有效信息和隐藏信息。

在几何图形的学习中，学生思维容易局限于常见的图形（长方形、正方形），忽略图形的多种可能性。那么就需要教师在变式练习中提供多样化素材（如图6），使学生能根据图形的特征计算周长，并通过交流发现：这四个图形的形状大小不一样，但是在周长的计算方法上有共通之处。①②③号都是用一条边的长度×边数，和正方形周长的计算方法相似；④号可以用一组相邻边的和×2，也可以用长边×2+宽边×2，和长方形周长的计算方法相似。教师利用这些变化的素材作为媒介，不失时机地展开辨析、比较，引导学生不再拘泥于计算公式本身，而是找寻关联，直击周长概念的本质。

图6

2.在多维度辨析与比较中拓展思维的深度

三年级正是理性思维萌芽时期，需要教师做一个“过程”的加强者，不断地“敲打”学生的思维，让学生在一次次迷茫、豁然、欣喜中积累、感悟、明朗，直至达到主动应用。因此，在对长、正方形周长的巩固练习中，教师可以适当地展开对比（如图7），寻找联系：图形的形状大小在变化，周长为什么不变？学生会从计算角度思考：长不断增加，宽不断减少，而增加的量与减少的量相互抵消。从而进一步深入：到底什么不变导致周长没有变化？通过不断地讨论、辨析、猜想、验证，使学生慢慢明了，不管怎么变，只要一组长和宽的和不变，周长自然也不会改变。教师还可以进行逆向变式：除了表中的四种情况，还有哪些可能，周长也会是20米？迫使学生发现长9米、宽1米的长方形，甚至可以是长8.5米，宽1.5米的长方形，进行适度的拓展提升。

图7