基于自适应改进终端滑模的船舶航向控制*

向 军 陈永冰 李文魁

（海军工程大学电气工程学院 武汉 430033）

1 引言

航向控制一直是船舶运动控制领域中的一个热点问题，其性能的好坏决定了船舶航行是否安全和节能［1］。船舶运动数学模型是设计航向控制器的基础，但其模型参数受航速、装载等影响而发生摄动，再加上风、浪、流等外部因素的干扰，要使控制器达到预期效果并不容易，传统的PID 控制已经不能满足需要。为此，许多国内外学者引入反步法［2～4］、模糊控制［5～7］、滑模控制［8～9］、神经网络［10～12］等控制算法对船舶航向控制进行了研究和实验。

Du 等［13］考虑到船舶参数的不确定性，将动态面控制和Nussbaum 增益函数结合到backstepping算法中，提出了一种新的自适应非线性航向控制策略，克服了控制器出现奇异值的问题，但其并未考虑船舶外部干扰的问题；ZHANG 等［14］结合backstepping 技术设计了船舶航向自适应神经网络鲁棒航向保持控制器，利用神经网络对船舶航向保持控制系统中的非线性项进行补偿，解决了传统backstepping设计中重复微分运算的问题；针对风浪等环境因素的影响，Islam等［15］提出了一种鲁棒积分反步控制器，仿真结果表明，该控制器具有良好的响应性能和更少的消耗，且鲁棒性较强，但参数摄动的问题并未解决；滑模控制作为一种典型的非线性系统控制方法，其由于自身的强鲁棒性和抗干扰能力被广泛应用于船舶控制系统中。李伟等［16］将分数阶微积分理论与滑模控制相结合，设计了一种基于分数阶滑模的航向保持控制器，提高了控制系统的精度和响应速度，但该控制器将外界干扰当成了已知条件；辛博鹏等［17］考虑船舶自身和外部不确定因素的干扰，在积分滑模控制的基础上，利用非线性反馈理论处理控制系统的反馈误差，通过仿真显示，其设计的航向控制器在保证控制精度的基础上减少了舵机能耗，但鲁棒性和响应速度没有得到体现。

本文从滑模控制的滑模面和趋近律两方面着手，对滑模控制器进行改进优化，提出一种自适应改进非奇异终端滑模控制。首先为提高系统响应速度，对非奇异终端滑模面进行改进，然后将自适应控制与滑模控制器相结合，对趋近律的调节增益进行在线校正，解决了外部干扰和参数摄动的问题，并利用Lyapunov稳定性理论验证了该控制器的稳定性。

2 船舶的数学模型建立

2.1 操纵运动数学模型

对于一般船舶，在低频操舵和小舵角情况下，船舶在航向保持条件下的航向动态行为可用Nomoto模型表示，其表达式为

式中，T为时间常数，K为回转性指数，ψ为航向角，δ为舵角。

考虑到在某些情况下，如船舶变航操作时涉及到大舵角的变化，此时为了更准确地描述船舶的运动状态，船舶数学模型中的非线性高阶项将不可忽视。因此本文采用非线性Norrbin 模型来设计航向控制器［18～19］。

式中，α为非线性项系数，又称Norrbin系数。

2.2 环境干扰模型

在船舶的航行过程中，一些外部环境因素如风、浪、流等会引起航向偏差，因此为了验证航向控制器的鲁棒性，建立环境干扰的数学模型是很有必要的。在本文中，主要考虑海风与海浪。风干扰由脉冲风和平均风组成，其中脉冲风用白噪声表示［20］，平均风用等效舵角表示。引入风等效舵角的目的是使仿真结果更符合船舶航向保持和跟踪的实际要求。δwind的经验计算公式如下［21］：

式中，K0为风压差系数，VR为相对风速，γR为风舷角。由文献［21］可知，6级风下和风舷角达到30°时，δwind=3°。

为了表示对海浪扰动的模拟，可以使用式（4）中的简化传递函数模型来模拟6 级风下的波浪扰动，这是一个由有限频带内的白噪声驱动的二阶振荡系统，其传递函数为［22］

3 航向控制器设计

3.1 非奇异终端滑模控制器

令x1=ψ，x2=r，u=δ，系统输出y为船舶航向角ψ，则船舶航向控制系统的状态空间方程为

式中，β＞0，p、q为正奇数且满足1 ＜p/q＜2。选用等速趋近律作为该滑模趋近律：

其中，ε＞0，则联立式（5）、式（6）和式（7）可得NTMSC控制律为

从式（6）中可知，1-p/q＜0，故当e2=0 时，上式存在奇异问题且w未知。参照文献［23］将控制律改为

定理1：考虑总干扰d未知，假设其存在上界D（D＞0 且为常数）即 |d|≤D，则当ε≥D时，在滑模控制律（9）的作用下，控制系统稳定。

证明：选取Lyapunov 函数V1=s2/2，可知V1＞0，对V1求导可得：

通过上述推导可知，只有当ε≥D时，，此时由Lyapunov判据可知，该控制系统稳定。

3.2 自适应改进非奇异终端滑模控制器设计

为了提高系统到达平衡状态的收敛速度，保持控制律的非奇异性，本文提出一种改进的终端滑模超曲面：

其中，λ为设计常数，取λ≥1，1 ＜p/q＜2。

则

与式（9）类似，航向控制律可设计为

定理2：系统状态的跟踪误差e1在控制律式（13）的作用下，可在有限时间ts内从滑模面任意初始位置e1(0)≠0 收敛到平衡点e1(ts)=0，其中：

证明：根据式（11），令s=0，得：

对式（15）进行变换，则有：

即：

则有：

其中，e1(0)为系统状态的跟踪误差在滑模面上的初始值，ts为滑模面上的系统状态跟踪误差收敛到平衡点时经历的时间。

由定理1 可知，式（13）中的趋近律增益ε的取值与系统干扰项的上界有关，然而在实际控制中上界D大部分是未知的。ε取值过大，会加剧系统输出的抖振问题，使得系统的航向控制精度降低、增加能耗；ε取值过小，无法保证系统的稳定性。因此，为合理调节ε的大小，在保证系统抗干扰能力和稳态性能的同时改善系统输出的抖振问题，设计了自适应律如下：

式中，γ、χ均为自适应律的调节增益，γ＞0，χ＞0。|s|和两项根据 |s|的大小分别占据主导地位，当远离滑模面时，|s|较大，自适应律近似为γ|s|，调节速度较快；当靠近滑模面甚至在滑模面上运动时，即 |s|趋于0，较大且有上限χ，不会出现过度调节的问题，从而有效防止剧烈抖振。则依据式（13），AINTMSC控制律可表示为

其中，Θ(s)为光滑连续函数，用其取代符号函数sgn(s)可有效减弱系统输出的抖振现象，其公式为

其中，Δ 为很小的正常数。

定理3：假设总干扰d满足条件：|d|≤D（D＞0 且为常数），则当εm≥D（εm为ε的上界）时，在控制律式（21）和自适应律式（20）的作用下，控制系统稳定。

证明：令，故。

构造Lyapunov函数：

对V2求导，将式（20）、式（21）代入式（22），整理得：

故当εm≥D时，，根据Lyapunov 稳定性定理可知，该控制系统稳定，系统的航向跟踪误差收敛到零。

4 仿真验证与结果分析

为验证本文设计的AINTMSC 控制算法的有效性和控制器的控制性能，应用Matlab/Simulink 进行船舶航向控制的仿真实验，分别使用该算法与常规的NTMSC 控制算法设计控制器。设置两种控制器的共同参数β=0.00125、p/q=5/3。本文以文献［24］中的“育龙”号船舶为研究对象，其参数如表1所示，当船速为7.7m/s 时，K=0.478，T=216，α=30。

表1 “育龙”船舶有关参数

实验1：船舶直航，设置初始航向为0°，期望航向为30°，无外部干扰和参数摄动，仿真时间500s，则航向角与舵角变化如图所示。由图1 可知，当无外界干扰和参数摄动时，在NTMSC 和AINTMSC 的控制下，系统均能收敛至期望航向且无超调现象，收敛时间分别为82s、181s，后者收敛更快，此外，AINTMSC 控制下的舵角变化范围为-5°～19°，比NTMSC更小。

图1 无干扰时AINTMSC和NTMSC控制下航向角与舵角对比曲线

实验2：船舶直航，初始条件不变，外部干扰为六级风干扰和其作用下的海浪干扰，仿真时间500s，则航向角与舵角变化如图2所示。当存在风浪干扰时，在AINTMSC 控制下，船舶仍能跟踪期望航向且航向稳定，抗干扰性强；而在NTMSC 控制下，系统受外部干扰影响较大，航向波动范围在28.1°和31.4°之间。

图2 存在风浪干扰时AINTMSC和NTMSC控制下航向角与舵角对比曲线

实验3：船舶直航，初始条件和外部干扰不变，为模拟参数摄动，对船舶模型参数进行处理，T和α在原值的基础上乘以2，K在原值的基础上除以2，仿真时间500s，此时航向角与舵角变化如图3所示。当存在风浪干扰和参数摄动时，NTMSC 控制下的航向变化曲线出现超调现象，航向上下波动；而AINTMSC 控制下的航向变化曲线受影响较小，航向稳定且收敛较快，前期舵角变化幅值比NTMSC小。

图3 存在风浪干扰和参数摄动时AINTMSC和NTMSC控制下航向角与舵角对比曲线

实验4：前三个仿真实验均为航向保持实验，为了验证设计控制器的适用性，本文还进行变航向的航向跟踪实验。以正弦波为输入信号，模拟航向变化，设置其幅值为30°，周期为250s，则航向角与舵角变化如图所示。从图4 可以看出，存在风浪干扰和参数摄动的情况下，即使航向连续变化，AINTMSC控制下的船舶同样能准确稳定跟踪期望航向，舵角变化合理。

图4 变航向下存在风浪干扰和参数摄动时AINTMSC和NTMSC控制下航向角与舵角对比曲线

为了进一步量化控制效果，本文选取两种性能指标来评估控制器的性能，分别为航向误差的绝对平均值（Mean Absolute Course Error，MACE）和输入舵角的绝对平均值（Mean Absolute Rudder Input，MARI），具体公式如下［25］：

其中，MACE 反映了系统输出的响应性能和误差，MACE 越小，说明响应越快，误差越小；MARI反映了控制输入舵角的能耗，MARI越小，说明能耗越低。

如表2所示，控制仿真结果的定量比较验证了本文所提算法的优越性。AINTMSC 的响应性能指标MACE 和能耗性能指标MARI 在四个实验中均低于NTMSC，说明在AINTMSC 控制下，无论是否存在风浪干扰和参数摄动，船舶航向均能更快地跟踪期望值且精度更高，舵机的总能耗更低。

表2 三种仿真下NTMSC与AINTMSC的性能指标对比

5 结语

本文充分考虑船舶本身参数不确定性因素和外界未知干扰，在常规的非奇异终端滑模控制基础上，设计了一个新的终端滑模超曲面，在保证系统非奇异的基础上提高了收敛速度，然后将该滑模控制与自适应相结合，实现趋近律调节增益的自适应校正，从而增强了控制器的抗干扰能力。仿真结果表明，AINTMSC 使航向的收敛速度和精度明显提高，航向跟踪曲线平稳且无超调现象，船舶对外界风浪干扰和参数摄动的鲁棒性很强，且能耗也有一定程度的降低，是一种控制性能很好的航向控制器。