一道解三角形质检试题的探究

蔡海涛

一、试题呈现

（武汉市23届高三二调·题19）在△ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2.（1）若BC=2，求AC的长；（2）若∠BAC=2∠BCD，求AC的长.

本题以三角形问题为载体，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．

本题属解答题中的中档题，但学生答题情况不理想，大部分学生“卡壳”在第（2）问，主要原因是无法合理分析多个三角形中边角关系，或是想快速答题而导致“欲速而不达”.

二、解法探究

先求解第（1）问.

解法1：（构造直角三角形）取BD中点M，则CM⊥BD，因为BM=MD=12，所以CM=BC2－BM2=72，则Rt△ACM中，AC=CM2+AM2=74+94=2.

评注：利用BC=CD，在等腰△BCD中，作BD边上高，从而在Rt△ACM中求得AC的长.一般地，在解三角形的求边问题中，若能把要求的边归结在一个直角三角形中求解，会使得运算简化.

解法2：（在△BCA中利用余弦定理）在△BCD中由余弦定理得cosB=BC2+BD2－CD22BC·BD=24，则在△BCA中由余弦定理得cosB=BC2+BA2－AC22BC·BA=22+22－AC22×2×2=24，解得AC=2.

评注：分析图形，在△BCA中求AC的长.由于△BCA中已知AB及BC的长，故只需求cosB即可，进而在△BCD中求得cosB的值，问题得解.

解法3：（在△ACD中利用余弦定理）在△BCD中由余弦定理得cos∠BDC=BD2+CD2－BC22BD·CD=24，则cos∠ADC=－cos∠BDC=－24，在△ACD中，AC2=AD2+CD2－2AD·CD·cos∠ADC=4，所以AC=2.

评注：在△ACD中求AC的长.由于△ACD中已知AD及DC的长，故只需求cos∠ADC即可，进而在△BCD中求得cos∠BDC的值，又cos∠ADC=－cos∠BDC，问题得解.本法与解法2类似，解题思路是寻找欲求的边所在的已有三角形，分析已知的边角条件，进而利用正、余弦定理求解，这是解三角形问题求边（角）问题的常用方法.

下面分析第（2）问.

解法1：（在△BCD中及△ACD中寻找边的关系）在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，即1sinA2=asin∠BDC①.在△ACD中，由正弦定理得CDsinA=ACsin∠ADC，即2sinA=bsin∠ADC②.因为sin∠BDC=sin∠ADC，由①除以②得cosA2=a2b③.在△BCD中得cosA2=BC2+CD2－BD22BC·CD=a2+122a④.由③④得a2=b2－b（※）.因为BC2+AC2=2CD2+AD2=6，即a2+b2=6，代入（※）式得b3－2b2－7b+12=0，即b－3b2+b－4=0，又2－1

解法2：（在△BCD中及△ACD中寻找边的关系）在△ADC中，由正弦定理得sin∠BACCD=sin∠ADCAC，即sin∠BAC2=sin∠ADCb.在△BDC中，由正弦定理得sin∠BCDBD=sin∠BDCBC，即sin∠BCD1=sin∠BDCa.又sin∠ADC=sin∠BDC，得sin∠BACsin∠BCD=2ab.由余弦定理，在△BDC中有cos∠BCD=a2+2－122a.

由∠BAC=2∠BCD，有sin∠BAC=2sin∠BCD·cos∠BCD，所以2ab=2·a2+2－122a，整理得2a2=ba2+1①.又由cos∠ADC=－cos∠BDC，得1+2－b222=－1+2－a222，所以a2+b2=6②.联立①②得b3－2b2－7b+12=0，下同解法1得b=17－12.

评注：根据∠BAC=2∠BCD，故对这两个角所在两个三角形△BCD及△ACD进行研究，得到a，b间的关系，结合中线长的性质，求得AC的长.

解法3：（利用平面几何寻找边的关系）延长BA到E，使得AC=AE，则∠BAC=∠E+∠ACE=2∠E，所以∠BCD=∠E.易知△EBC～△CBD，故EBCB=BCBD，即2+ba=a1，所以a2=2+b，与a2+b2=2CD2+AD2=6，联立得b2+b－4=0，解得b=17－12.

评注：根据∠BAC=2∠BCD，构造∠BAC的半角∠E，利用三角形相似得a，b间的关系，结合中线长的性质，求得AC的长.利用几何关系，运用平面几何知识达到简化运算的目的.

由以上解答不难看出，本题解题的切入点较多，很好地考查了解三角形的有关知识及思想方法，是一道质量较高的试题，教师可从不同角度剖析引导学生思考，掌握解三角形的基本方法；另一方面，解较为复杂的三角形问题，其解决问题的数学本质还是不变的，即在三角形中，利用正余弦定理寻找三角形基本元素（边、角）的关系，或是结合图形特征，力求简化运算.

三、链接高考

（2021年新高考Ⅰ卷19题）记△ABC的内角A，B，C的對边分别为a，b，c．已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC．

（本文系福建省基础教育课程教学研究课题《挖掘高中数学育人价值的实践研究》（课题编号：MJYKT2021-135）阶段性成果.）