一道联考试题的命制背景探究与推广

黄志斌

2023年3月份广东省燕博园联考的第21题解几压轴题是证明两组向量的数量积相等，笔者探究发现，该题其实是用向量形式包装的两组线段之积相等问题.对要证明的问题进一步研究发现，该题有一个圆锥曲线的性质结论为背景.

试题 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为32.点P（4，2），直线l：x+2y－1=0.

（1）证明：直线l与椭圆C相交于两点，且每一点与P的连线都是椭圆的切线；

（2）若过P的直线与椭圆相交于A、B两点，与直线相交于点Q，求证：PA·QB=PB·AQ.

筆者探究发现，该试题的背景是如下命题：

命题1 过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）外一点P（x0，y0）作椭圆的两条切线，切点分别为M、N，再作过P点的直线与椭圆相交于A、B两点，与直线MN相交于Q点，则PA，PB，AQ，QB满足恒等关系PA·QB=PB·AQ.

这一结论结构对称，是一个非常漂亮的性质，下面给出证明.

证明：先对要证明的命题进行等价变形，要证PA·QB=PB·AQ，即证PAPB=AQQB.设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），即证x1－x0x2－x0=x3－x1x2－x3，即证2x1x2－（x0+x3）（x1+x2）+2x0x3=0.

先不妨假设直线AB的斜率存在，其方程为y－y0=k（x－x0）.如图1所示，过P（x0，y0）作椭圆的两切线，则切点弦所在直线MN的方程为x0xa2+y0yb2=1.Q点即直线AB与MN的交点，联立直线AB、MN的方程解得x3=a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0.联立直线AB与椭圆的方程消去y得（a2k2+b2）x2－2a2k（kx0－y0）x+a2（kx0－y0）2－b2=0，x1+x2=2a2k（kx0－y0）a2k2+b2，x1x2=a2（kx0－y0）2－b2a2k2+b2，k满足Δ=（a2-x02）k2+2x0y0k-y02+b2>0，所以2x1x2－（x0+x3）（x1+x2）+2x0x3=2·a2（kx0－y0）2－b2a2k2+b2－x0+a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0·2a2k（kx0－y0）a2k2+b2+2x0·a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0=2a2·a2b2k（kx0－y0）－a2b2k（kx0－y0）a2ky0+b2x0a2k2+b2=0.

再验证直线AB斜率不存在时，其方程为x=x0，要证PAPB=AQQB，即证y0－y1y0－y2=y1－y3y3－y2，即证2y1y2－（y0+y3）（y1+y2）+2y0y3=0，联立x=x0与x0xa2+y0yb2=1，解得y3=a2b2-b2x02a2y0；联立x=x0与x2a2+y2b2=1得y1+y2=0，y1·y2=－a2b2－b2x20a2.所以2y1y2－（y0+y3）（y1+y2）+2y0y3=-2·a2b2-b2x02a2+0+2·y0·a2b2-b2x02a2y0=0.

命题同样成立，得证.

继续探究还发现，该命题还可以推广到双曲线和抛物线.

命题2 过双曲线x2a2－y2b2=1（a，b>0）外一点P（x0，y0）作它的两条切线（存在两条切线的条件下），切点分别为M、N，再作过P点的直线与双曲线相交于A、B两点，与直线MN相交于Q点，则PA，PB，AQ，QB满足如下关系PA·QB=PB·AQ.

命题3 过抛物线y2=2px（p>0）外一点P（x0，y0）作它的两条切线（存在两条切线的条件下），切点分别为M、N，再作过P点的直线与双曲线相交于A、B两点，与直线MN相交于Q点，则PA，PB，AQ，QB满足如下关系PA·QB=PB·AQ.

上述命题证明仿命题1，请读者完成.