T球面概率犹豫模糊集及在绿色创业企业绩效评估中的应用

岳征良 ,李北伟 ,刘洪涛

(1.吉林大学 商学与管理学院,长春 130012;2.珠海科技学院 教务处,广东 珠海 519041;3.徐州工程学院 商学院,江苏 徐州 221018)

伴随社会的高速发展,多属性决策问题也越来越复杂,借助更加契合客观实际和人们思维模式的分析方法来处理复杂多属性决策问题的需求更加紧迫。决策信息的不确定性和复杂性对决策结果往往带来很大影响,为更准确、更真实地描述决策信息,Zadeh[1]引入模糊集理论来描述决策信息形式。随后,Atanassov[2]引入直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Set,IFS)理论,Torra[3]引入犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set,HFS)概念,Yager[4-5]引入毕达哥拉斯模糊集(Pythagorean Fuzzy Set,PYFS)概念,Cuong[6]引入图模糊集(Picture Fuzzy Set,PFS)概念,Yager[7]引入广义正交模糊集(q-Rung Orthopair Fuzzy Set,q-ROFS)概念。上述模糊集在描述某些特定的模糊信息时能力存在不足。Mahmood等[8]通过增加模糊集的表达范围,提出了一种新型的球面模糊集(Spherical Fuzzy Set,SFS)概念。Smarandache[9]在球面模糊集的基础上,提出了T-球面模糊集(T-Spherical Fuzzy Set,T-SFS)理论。该理论中的隶属度、犹豫度和非隶属度(sT(x),iT(x),dT(x))满足

用以最大限度地体现出决策信息的模糊程度。显然,T-SFS是SFS、PFS、q-ROFS、HFS和IFS的拓展形式,更能详尽地描述模糊信息的特征。众多学者基于T-SFS提出了一些集成算子。Garg等[10]基于T-SFS研究了T-球面模糊加权平均(T-SFWA)算子和T-球面模糊几何幂均(T-SFGPA)算子。Zeng等[11]基于Einstein 运算法则和T-SFS 相结合,提出了T-球面Einstein 交互算术平均(TSFEIA)算子和T-球面Einstein 交互几何(TSFEIGA)算子。Chen 等[12]提出一些广义T-球面模糊加权平均(GT-SFWA)算子和广义T-球面模糊加权几何(GT-SFWG)算子。ASHRAF[13]将T-SFS和HFS相结合,提出了T-球面犹豫模糊集(T-SHFS),并研究了T-球面犹豫模糊加权平均(T-SHFWA)算子和T-球面犹豫模糊加权几何(T-SHFWG)算子。

概率犹豫模糊集(Probabilistic Hesitant Fuzzy Set,PHFS)是在IFS和HFS及一些拓展形式的基础上,为每个隶属度添加与之相对应的概率值,因此,PHFS能很好地提升决策结果的合理性和可信度[14],受到众多学者的关注。朱斌[15]基于HFS和概率信息,研究了PHFS 和概率犹豫模糊偏好关系,提出概率PHFS的相关概念和性质以及概率犹豫模糊偏好关系的定义,并初步研究了概率犹豫模糊偏好关系的一致性。Park等[16]基于Einstein运算法则和PHFS研究了PHF集成算子,Shao等[17]研究了概率中智犹豫模糊Choquet集成算子,Li等[18]研究了概率犹豫模糊优先权集成算子等。

在上述文献的启发下,本文融合T-SFS 和PHFS的优良性质,首先提出T-SPHFS的概念,其是一种更具代表性的模糊集,可以有效解决现实生活中复杂的复合场景。针对现有模型无法处理的情况,例如,5位专家在绿色创业绩效评估中对某位候选企业进行评价,3位专家给出了0.9,1位专家给出了0.8,1位专家则给出了0.7。此时,如果用犹豫模糊元素来表达这些评估值,只能得到{0.9,0.8,0.7}。显然,这个数据并不能完整地表达决策群体给出的初始信息。可以说,有两位专家给出的信息在信息表达阶段完全被忽略了。如果用概率犹豫模糊元素来刻画决策群体给出的信息,则得到{0.9(0.6),0.8(0.2),0.7(0.2)}。这样一来,5 位决策专家的意见就被完整而简洁地表达在了同一个元素之中。同时,用T-球面模糊集表示决策信息,得到。此时即考虑了5位决策专家的决策意见,决策信息以更丰富的形式给出,信息表达更加准确。

企业绩效考核不仅是一定阶段市场经济发展的结果,也是一种科学方法和有效工具,成熟的市场经济提供了监管企业的作用。学习国外市场经济中成功的企业管理经验是现代企业管理的方向,同时将企业绩效评估应用于企业的监督和控制也是重要手段。作为现代企业管理的手段之一,企业绩效评估正经受着经济快速发展和企业管理模式不断更新的考验,也受到了更广泛的关注和更深入的讨论。对于我国企业绩效考核工作而言,明白如何顺应我国经济社会环境变化和国际化趋势,建立适合我国经济发展的绩效考评体系,是提升企业绩效的有效途径。同时,企业绩效考评体系在提高企业的健康水平和管理水平,增强企业竞争力,进一步提高经济发展质量等方面,都具有特别重要的经营意义[20-23]。农村内生动能开发是乡村振兴战略实施的根本动力来源,农民选择绿色创业项目开发是提升农村内生动能的根本途径[24-26]。促进农民绿色创新创业,发展新的业态,实现产业兴旺,是农民新动能培育的可靠手段。引导农民绿色创新创业,是农民创新创业的先决条件,也是乡村振兴战略背景下农民动能开发的有效机制,因此,绿色企业创新创业项目是以围绕农民工绿色创新创业为主要研究对象。首先,在T-SPHFS中,对于隶属度、犹豫度和非隶属度的每个元素的模糊性、不确定性由区间[0,1]中的多个值组成,而不是一个单一的数值。同时,T-SPHFS中的每个隶属度具有与之相对应的概率值,能很好地提升决策结果的合理性和可信度。其次,给出T-SPHFN 的运算法则和性质,提出TSPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子并研究其性质。最后,针对决策信息为T-SPHFN 的多属性决策问题,基于T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子构建多属性决策模型,通过在绿色创业绩效评估多属性决策算例证明决策方法的有效性与可行性,为绿色创业绩效评估提供了一种新型方法。

1 基础理论

1.1 T-球面模糊集(T-SFS)概念与性质

定义1[9]设X={x1,x2,…,xn}为一个有限集合,则一个T-球面模糊集T可以表示为

1.2 概率犹豫模糊集(PHFS)概念

定义2[14]设U是一个非空的论域,概率犹豫模糊集可以定义为

1.3 T-球面概率犹豫模糊集(T-SPHFS)概念

1.4 T-球面概率犹豫模糊加权平均算子(TSPHFWA)

基于T-SPHFN 的运算法则,形成T-球面概率犹豫模糊加权平均算子(T-SPHFWA),并给出TSPHFWA 的定义。

1.5 T-球面概率犹豫模糊加权几何算子(TSPHFWG)

基于T-SPHFN 的运算法则,形成T-球面概率犹豫模糊加权几何算子(T-SPHFWG),并给出TSPHFWG 的定义。

是权重向量。此时,T-SPHFWG 算子为

该定理的证明过程同定理1 类似,这里不再证明。

容易证明T-SPHFWG 算子同样具备幂等性、置换不变性、单调性和有界性等性质。

2 基于T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG算子多属性决策方法

针对决策信息以T-SPHFN 给出的多属性决策问题,本文基于T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG算子构建新型决策模型,针对某多属性决策问题,决策方案集A={A1,A2,…,At},属性集C={C1,C2,…,Cn},属性权重w=(w1,w2,…,wn),且wj∈[0,1],j=1,2,…,n,。D={d1,d2,…,dm}为决策集。本文主要解决的问题是:决策者在表达决策信息时存在信息表达不全面等情况,在现实决策中会影响决策结果。因此,如何考虑专家的决策信息的复杂度并在属性信息完整的背景下进行决策是亟须解决的问题。首先,对专家进行决策信息测度,得到决策属性矩阵;其次,对决策属性矩阵进行标准化处理,结合T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子理论提出新型决策模型;最后,结合属性权重进行信息融合得到得分函数值,采用T-SPHFN 排序方法对方案排序和择优。具体决策步骤如下:

步骤1设决策者dk给出方案Ai在属性Cj下的评价值为T-SPHFN,从而得到决策矩阵,即

步骤2在实际的决策中,决策属性类型通常分为效益型和成本型两类。使用下式对决策矩阵D(k)进行标准化处理,得到,即

式中,I1、I2分别表示效益型属性和成本型属性。

步骤3利用 T-SPHFWA 算子和 TSPHFWG 算子对决策专家给出的决策矩阵进行信息集成,综合属性权重,得到方案Ai(i=1,2,…,t)的总体评价值。

步骤3.1使用T-SPHFWA 算子理论对决策专家给出的决策矩阵进行信息集成,综合属性权重,得到方案Ai(i=1,2,…,t)的总体评价值。其评价值由下式求得,即

步骤3.2使用T-SPHFWG 算子理论对决策专家给出的决策矩阵进行信息集成,综合属性权重,得到方案Ai(i=1,2,…,t)的总体评价值,其评价值由下式求得,即

步骤4采用下式计算得到分函数值:

步骤5根据定义8中T-SPHFN 排序方法对方案进行优劣排序,进而得到最佳方案。

3 案例分析

3.1 基于T-SPHFWA 和T-SPHFWG 方法在绿色创业绩效评估中的应用

随着生产力和市场竞争的发展,股东利益最大化、资源浪费、产品质量差和员工权益保障缺失等问题日益突出,严重制约了企业长期稳定的发展。企业长期生存和发展的最佳途径就是考虑和满足所有重要利益相关者的利益和要求,他们与利益相关者有着互利的关系。从利益相关者的角度来看,企业绩效评估体系作为一种监督体系和管理体系,不仅对企业实现自我监督、自我约束和自我评估具有重要作用,也是与利益相关方有效沟通的重要手段。对协调各利益相关者的利益,最终实现企业的战略管理目标具有重要意义[19-23]。在绿色创业企业绩效评估中需要对农民企业家才能、农民企业家自身禀赋、绿色创业制度和绿色社会资本等因素进行综合评估分析。假设某投资机构计划对5 个备选绿色创业项目A1、A2、A3、A4和A5分别以企业家才能C1、自身禀赋C2、绿色创业制度C3和绿色社会资本C4等指标进行评价分析。为了更真实地体现投资专家评估信息的不确定性和完整性,采用T-SPHFN 表示属性值,如表1所示,从而得到T-SPHFN 决策属性信息矩阵。表1中数据来自教育部人文社科青年基金资助项目中调研专家团队访谈以及调研所得。专家打分要求为:每个决策专家需要对农民企业家(匿名化)按照T-SPHFN 的形式给出,决策专家需要对企业家才能因素C1、自身禀赋C2、绿色创业制度因素C3和绿色社会资本因素C4等因素按照层级进行逐层打分,打分数值为0～1之间的一位小数。

表1 投资者给出的决策矩阵Tab.1 Decision matrix provided by investors

步骤1建立T-球面犹豫模糊矩阵(见表1)。

步骤2因各决策属性均为效益型属性,无须对决策矩阵D(k)进行标准化。

步骤3采用T-SPHFWA 方法对决策矩阵进行信息融合,由式(12)计算出投资者对5个备选绿色创业项目的测评综合值,其中取n=3,进而得到每个备选绿色创业企业绩效评估的测评结果,即:

根据式(9)计算各备选绿色创业项目的得分函数值为:

采用T-SPHFWG 方法对决策矩阵进行信息融合,由式(14)计算出投资者对5个备选绿色创业项目的测评综合值,其中取n=3,权重向量ω=(0.1,0.2,0.4,0.3),进而得到每个备选绿色创业企业绩效评估的测评结果,即:

根据式(9)计算各备选绿色创业企业绩效评估的得分函数值为:

步骤4根据T-SPHFN 排序方法对各备选绿色创业项目绩效进行优劣评估排序,分别为:A2>A4>A5>A1>A3,A2>A4>A3>A5>A1,因此,最优绿色创业项目均为A2。

3.2 与其他决策方法对比分析

T-SPHFS是基于T-SFS和PHFS优良性质相融合而提出的,因此,为了更好地证明TSPHFS的有效性,分别采用T-SFS、PHFS和TSHFS等相关决策方法进行对比分析。其中,选用广义T-球面模糊加权平均(GT-SFWA)算子和广义T-球面模糊加权几何(GT-SFG)算子[12],概率犹豫模糊加权平均(PHFWA)算子和概率犹豫模糊加权几何(PHFWG)算子[14],T-SHFWA 算子和T-SHFWG 算子[13]等对绿色创业项目绩效进行评估。采用各决策方法计算得到的得分函数值及绿色创业企业绩效评估排序结果如表2所示。

表2 各决策方法的得分函数值及绿色创业企业绩效评估排序结果Tab.2 Score function values of various decision methods and ranking results of green entrepreneurship performance evaluation

通过对比分析知,文献[12]中的GT-SFWA 算子和GT-SFWG 算子得到的最优备选绿色创业项目为A2,与本文得出的最优备选绿色创业项目A2相同,但各备选绿色创业企业绩效评估的排序稍有不同,同时,GT-SFWG 算子得到的得分函数值灵敏度不高,对结果的排序存在一定影响。文献[14]中的PHFWA 算子和PHFWG 算子得到的最优备选绿色创业项目为A2,PHFWA 算子和PHFWG 算子引入概率值,有效克服了因决策专家个人倾向性对结果的干扰。文献[13]中T-SHFWA 算子和TSHFWG 算子得到的最优备选绿色创业项目为A2,T-SHFWA 算子和T-SHFWG 算子将隶属度、犹豫度和非隶属度的每个元素的模糊性、不确定性由区间[0,1]中的多个值组成,给决策者提供一个更灵活的环境以避免决策过程中的信息丢失现象。本文所提出的T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子与文献[12-14]中所提出方法得到的最优备选绿色创业项目A2相同,对比分析试验验证了所提出决策方法的有效性和合理性。同时,T-SPHFN 中的每个隶属度具有与之相对应的概率值,能够很好地提升决策结果的合理性和可信度。采用T-SPHFWA和 T-SPHFWG 方法既能保证决策信息更加丰富,符合实际情况,又能克服决策专家的主观性。因此,本文研究的T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子更加适合现实情况。

4 结语

决策属性信息的不确定性使得多属性决策问题的决策复杂度越来越高,人们遇到的实际决策问题也日益复杂,用更加符合客观实际和人类思维方式的分析方法来处理复杂定性决策问题的需求更加迫切。针对现有决策模型无法处理的情况,本文基于T-SFSs和PHFSs 的性质和优点,首先提出TSPHFSs的概念以及T-SPHFN 的运算法则和性质,同时提出T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG 算子并研究算子的幂等性、置换不变性、单调性和有界性等优良性质。针对决策信息为T-SPHFN 的多属性决策问题,基于T-SPHFWA 算子和T-SPHFWG算子构建多属性决策模型,通过在绿色创业绩效评估算例的应用结果证明决策方法的有效性与可行性。该新型决策算法能很好地提升决策结果的合理性和可信度,为解决多属性群决策问题提供了新途径。

在对专家给出决策信息(T-SPHFN 给出)进行信息融合时,计算过程相对复杂一些,后期考虑封装计算软件的方式进行决策信息的融合,形成决策辅助管理软件。管理者仅需要重点关注决策信息的获取,借助T-SPHFWA 和T-SPHFWG 方法,获得更加符合实际情况的结果。未来本文的结论可通过使用其他决策理论和方法进行进一步推广,以丰富和完善决策理论。

附录

定理1的证明过程

证明下面使用数学归纳法证明定理1成立。

当n=2时,由式(8)可以得到:

故当n=2时成立。

假设当n=k时成立,即

则当n=k+1时,

综上所述,

故定理1得证。