等腰三角形中新定义题选析

满高珍

新定义题型是各地中考热点题型，是指在问题中定义了初中数学未涉及的一些新概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. 下面选取两道关于等腰三角形的新定义题，供同学们赏析.

一、倍长三角形

例1 （2022·江苏·苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”. 若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_________.

解析：由等腰三角形ABC是“倍长三角形”，可知AB = 2BC或BC = 2AB. 若AB = 2BC = 6，可得AB的长为6；若BC = 3 = 2AB，则三边分别是1.5，1.5，3. 因为1.5 + 1.5 = 3，不能构成三角形，所以这种情况不存在. 故应填6.

二、倍角三角形

例2 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有_________（只填写序号）. ①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形.

（2）如图1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC ≥ 90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE. ①若BC = BE，求证：△ABE是“倍角三角形”. ②点P在线段AE上，连接BP. 若∠C = 30°，BP将△ABE分成的两个三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数.

解析：（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断，易得答案：②③.

（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE = 2∠D，由等腰三角形的性质可得∠D = ∠E，易证∠BAE = 2∠E，则△ABE是“倍角三角形”.

②分两种情况讨论.

由①可得∠BAE = 2∠D = 2∠C = 60°，如图2.

若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，

∴△ABP是等边三角形，∴∠APB = 60°，∴∠BPE = 120°.

∵△BPE是“倍角三角形”，

∴∠E = 2∠EBP或∠PBE = 2∠E，∴∠E = 20°或40°.

若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，

∴∠ABP = ½∠BAP = 30°或∠APB = ½∠BAE = 30°或∠ABP = 2∠APB或∠APB = 2∠ABP，

∴∠APB = 90°或30°或40°或80°，∴∠BPE = 90°或150°或140°或100°.

∵△BPE是等腰三角形，∴∠E = 45°或15°或20°或40°.

綜上所述，∠E为45°或15°或20°或40°.

反思：解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决，即：（1）深刻理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视举例，利用举例检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳举例提供的解题方法，归纳举例提供的分类情况. （3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

【概念学习】规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

【理解概念】（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，请写出图3中两对“等角三角形”.

【概念应用】（2）如图4，在△ABC中，CD为角平分线，∠A = 40°，∠B = 60°. 求证：CD为△ABC的等角分割线.

【动手操作】（3）在△ABC中，若∠A = 50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数. （答案见第39页）

（作者单位：山东省枣庄市台儿庄区马兰屯镇插花学校）