考虑攻击时间及空间角度约束的三维自适应滑模协同制导律设计

2023-10-07王雨辰王伟林时尧杨婧王少龙尹瞾

兵工学报 2023年9期

王雨辰, 王伟, 林时尧, 杨婧, 王少龙, 尹瞾

(1.北京理工大学宇航学院, 北京 100081; 2.北京理工大学中国-阿联酋智能无人系统“一带一路”联合实验室, 北京 100081;3.中国兵器科学研究院, 北京 100089; 4.西北工业集团有限公司, 陕西西安 710043)

0 引言

随着战场环境及作战形式的变化,重要目标配备的多层防御体系日渐完善,依靠单发导弹难以有效实现对目标的突防/拦截,而多弹协同饱和攻击则是一种有效的体系化对抗策略。多弹协同攻击可使具备不同发射初始条件的导弹同时击中目标,实现饱和攻击,形成多对一的攻击态势。作为实现协同攻击的关键,协同制导律受到了广泛关注。目前,对于制导律的研究主要包括时间一致制导、考虑空间一致制导和收敛时间的协同制导等。

时间协同制导是指多发导弹在同一时刻打击目标,以增大对目标的拦截概率和毁伤效果。早期协同制导为时间控制制导,通过预设期望终端飞行时间,独立导引多发导弹在同一时刻进行饱和打击[1-4]。Jeon等[1]基于线性化的弹目相对运动模型,首次设计了一种可以控制攻击时间的偏置比例导引,通过引入时间误差修正项,实现在指定时间攻击目标。Lee等[2]在此基础上进一步设计了一种同时考虑攻击时间和攻击角度约束的最优制导律。Cho等[3]基于比例导引给出了剩余时间的近似解析解,设计了一种新型的攻击时间控制制导律,并保证了系统的全局稳定性。李斌等[4]基于施瓦兹不等式推导了一种广义最优时间角度控制制导律。上述制导方法均需要采用小角假设,当导弹初始航迹角或攻击角度较大时制导精度将会下降。另外,对于初始发射状态不同的导弹,难以找到一个合适的期望终端攻击时刻。

得益于多智能体一致性控制理论的发展,基于不同通讯框架的协同制导律近几年得到了广泛的研究。文献[5]将剩余飞行时间设为协调变量,基于比例导引设计了一种导引系数随一致性误差自适应变化的偏置比例导引。针对静止目标,文献[6]基于1阶一致性算法设计了两种协同制导律。文献[7-8]选取弹目相对距离和速度前置角为协调变量,结合比例导引律设计了一种两阶段协同制导方法,保证了制导系统的渐进稳定性。文献[9]基于状态受限的一致性算法,设计了一种考虑视场角约束的协同制导律。以上研究均针对静止目标展开,并且没有考虑空间协同约束。

空间协同制导是指多发导弹从不同方向攻击同一个目标,称为碰撞角约束制导。空间协同制导能够避免多导弹的相互碰撞,并增强战斗部的毁伤效果[10-11]。文献[12]基于有限时间非奇异终端滑模设计了一种考虑空间约束的制导律。文献[13]进一步考虑导弹动力学滞后,设计了一种基于时变滑模控制理论的空间约束制导律。文献[14]基于2阶滑模理论设计了考虑空间约束的滑模制导律,所设计的制导律对目标机动具有一定的鲁棒性。文献[15] 基于Super-Twisting算法设计了一种鲁棒滑模制导律,并通过自适应扰动观测器对目标机动进行了在线估计。文献[16]设计了一种有限时间收敛的空间约束滑模制导律,并采用状态重构的思想,通过扩张状态观测器对制导系统的扰动进行了前馈补偿。

此外,由于末制导的时间较短,需要在拦截到目标前使时间和角度误差收敛。特别是对于机动目标,更要求误差快速收敛以满足制导的精度要求。对于有限时间稳定的系统,其收敛时间依赖于初始条件,当初始收敛误差较大时,收敛时间可能趋于无穷,对系统初始状态的依赖限制了有限时间制导律的应用。固定时间稳定理论作为有限时间稳定理论的拓展,具有更强的鲁棒性及更高的控制精度,且收敛时间只与设计参数有关[17-18]。文献[19]基于固定时间收敛扰动观测器提出了一种全局固定时间收敛协同制导律,实现了对机动目标的协同打击,然而观测器的引入增加了制导律设计的难度。文献[20]基于滑模控制理论设计了一种固定时间收敛的鲁棒协同制导律,所设计的视线法向制导律由于选用固定增益,在制导过程中执行机构可能出现抖振现象。文献[21]基于分段自适应滑模设计了无向通讯拓扑下的协同制导律,实现了三维空间内的多弹协同,但是其自适应参数存在漂移现象,降低了终端制导精度。

受上述分析启发,本文提出一种考虑时间和空间攻击角度约束的协同制导律。在视线方向上基于固定时间收敛的1阶多智能体一致性理论设计时间协同制导律,保证各发导弹在期望的终端时刻协同攻击目标。在视线法向基于固定时间非奇异终端滑模设计带终端角度约束的法向制导律。采用具有修正能力的自适应滑模在线估计扰动上界,避免了因参数漂移而引起的抖振现象。通过Lyapunov稳定性理论证明了所设计制导系统的稳定性。最后建立多组仿真场景,验证了所设计方法的优越性及有效性。值得一提的是,本文所设计的自适应时间角度控制制导律(AITACGL)采用无领弹的分布式通讯结构,避免了单点失效问题,降低了对弹间通讯距离的要求,提高了弹群的鲁棒性及作战效能。

1 问题描述

1.1 三维协同拦截几何模型

本文考虑三维空间下N发导弹组成的集群攻击同一机动目标的场景,其相对关系如图1所示。图1中,OXEYEZE表示惯性坐标系,T表示机动目标,Mi(i=1,…,N)表示弹群中的导弹。

图1 三维多弹协同攻击

为简化分析,本文作如下三维协同攻击制导律设计中的常用假设[6,22]:1)导弹和目标均为质点模型;2)导弹的驾驶仪为理想系统,没有响应延迟;3)导弹和目标均有改变其径向速度的能力。

导弹和目标的质心运动方程可表示为

(1)

(2)

式中:aMy和aMz分别表示导弹加速度矢量在惯性坐标系下的分量;aTy和aTz分别表示目标加速度矢量在惯性坐标系下的分量。

导弹拦截机动目标的三维模型[19-21]可表示为

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 通讯拓扑

对于多弹协同集群网络,可采用有向图G(A)=〈N,ε,A〉表示其通讯拓扑,N=〈v1,v2,…,vN〉为网络中的节点,即弹群中的每发导弹,N为节点个数,ε={(i,j)∈N×N}为网络中的边集,其表征相邻2发导弹间的通讯关系。如果2发导弹i和j邻接,即这2发导弹可以相互通讯,则{vi,vj}∈ε并且{vj,vi}∈ε。矩阵A=[aij]∈RN×N表示权系数矩阵,矩阵元素[24]表示为

(7)

定义图G(A)对应的拉普拉斯矩阵为L=[lij]∈RN×N,其中矩阵的元素可表示为

(8)

1.3 协同制导问题描述

为了实现饱和攻击,需要令具有不同发射初始条件的导弹在期望的时刻同时击中目标。本文引入剩余飞行时间tgo作为协调变量,并采用式(9)对tgo进行估计:

(9)

在工程应用中,式(9)常用于剩余飞行时间的计算,在飞行初始阶段,该式对剩余飞行时间的估计存在一定误差,但随着导弹逐渐接近目标,估计误差会逐渐收敛到0。对式(9)求导,可得

(10)

第i发导弹在时刻预测的成功拦截目标的时刻表达式为

tf,i=t+tgo,i

(11)

(12)

因此,可以通过控制多发导弹剩余飞行时间一致等价于控制多发导弹预测的拦截时刻一致。联立式(10)和式(11),可得

(13)

2 多弹分布式协同制导律设计

为了方便理论推导和分析,给出相关定义和引理,进一步分别对视线方向和视线法向进行制导律设计。

2.1 相关定义和引理

定义1[17]对于如下非线性系统:

(14)

式中:F∶U0×R→Rn在U0×R上连续,U0为一个包含原点的开邻域;x0为初始状态。如果稳定时间上界与初始状态x0无关,则称原点x=0是固定时间稳定的。

引理1[25]对于强连通的无向图G(A)及其拉普拉斯矩阵LA具有如下定义:

1)LA是对称且半正定的,其具有单个对应于特征向量IN的零特征值,并且其他特征向量都大于0;

引理2[18]令x1,x2,…,xn≥0,且0

(15)

(16)

引理3[24]如果存在连续的Lyapunov函数V(x),满足

(17)

式中:a、b、p、q和k满足pk<1、qk>1,k∈R并且Θ有界,则V(x)轨线是固定时间稳定的,其中Θ为一个有界常数。非线性系统式(14)收敛到如下领域:

(18)

式中:Ξ∈[0,1],稳定时间上界可表示为

(19)

2.2 视线方向的协同制导律设计

(20)

为同时击中目标,设计式(20)所示改进型鲁棒自适应协同制导律,以规避传统固定时间一致性算法选用高增益带来的控制抖振问题[18]:

(21)

定理1针对系统式(13),在通讯拓扑无向连通时,多弹间的剩余飞行时间误差以及终端攻击时间误差在制导律式(21)的作用下,在固定时间内收敛到0。

证明构建如下正定Lyapunov候选函数:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

此时式(25)满足:

(27)

进一步将证明协调变量在固定时间内实现协调一致。由拉普拉斯矩阵LA的半正定特性可知,存在半正定矩阵Q∈RN×N满足:

LA=QTQ

(28)

当时V1(ff,i)≠0,有

(29)

(30)

为书写方便,后续用λ2表示λ2(LA)。将式(30)代入式(27),可得

(31)

联立式(22)和式(27),可得

(32)

经过代数变换,可得

(33)

类似可得

(34)

经过代数变换,可得

(35)

将式(33)和式(35)代入式(31),可得

(36)

(37)

式中:Θ1为任意常数,Θ1∈(0,1)。

2.3 视线法向上的制导律设计

考虑制导系统式(6)中的视线倾角方向动力学方程:

(38)

(39)

其对时间的1阶导数为

(40)

针对系统式(38)和滑模变量式(39),设计如下固定时间收敛自适应滑模制导律:

(41)

式中:βθ>0,其余参数的定义与式(21)类似。

证明证明分为两部分,分别证明闭环系统在收敛过程中一致有界,以及滑模控制的趋近段和滑动段固定时间收敛。首先考虑如下Lyapunov备选函数:

(42)

沿系统式(38)轨线求V2导数,并代入制导律及自适应律式(41),可得

(43)

同理,式(43)可放缩为

(44)

(45)

1) 当|sθ|>εθ时,为保证ξθ>0,只需要满足

(46)

(47)

重新考虑式(42)有

(48)

经过代数变换,可得

(49)

同理可得

(50)

将式(49)、式(50)代入式(47),可得

(51)

(52)

进一步证明当系统进入滑动模态后,x3,i和x4,i将在固定时间内收敛至平衡点附近的邻域内,以此保证视线角误差和视线角速度收敛。当sθ,i=0时有

(53)

解微分方程,可得

(54)

(55)

(56)

因此本文设计的控制律不会趋于无穷大,避免了奇异现象。

考虑视线偏角方向的子系统

(57)

(58)

其对时间的1阶导数为

(59)

针对系统式(57)和滑模变量式(58),设计如下固定时间收敛自适应滑模制导律:

(60)

证明制导律式(60)的形式与式(41)相同,证明过程与定理2类似,故省略。

3 仿真验证

以4发导弹集群分别协同攻击同一机动目标为例验证本文AITACGL。弹群通讯拓扑如图3所示。

图3 通讯拓扑

该通讯拓扑图G(A)的邻接矩阵可表示为

(61)

表1 初始条件

表2 目标初始条件

3.1 针对机动目标的时间约束协同打击

(62)

仿真结果如图4所示,终端脱靶量、攻击时间以及角度控制误差如表3所示。图4(a)给出了4发导弹在本文设计AITACGL作用下的飞行轨迹。由图4(a)可以看出,采用本文AITACGL能够精确击中目标,由于初始时刻4发导弹的剩余飞行时间不同,为实现剩余飞行时间协调一致,导弹需要调整其弹道以达到调整剩余飞行时间的目的。因此在初始阶段,弹道弯曲程度会先呈增大过程。图4(b)给出了4发导弹的剩余飞行时间变化曲线,从中可以看出,4发导弹的剩余飞行时间在0.7 s内达成一致,并且在终端时刻,4发导弹在期望的时刻tf=40 s同时击中机动目标。图4(c)、图4(d)分别给出了视线法向的角度和角速率的变化曲线,即使初始的角度、角速率误差不同,在本文AITACGL的作用下都将收敛到期望值,实现对机动目标的平行接近打击。图4(e)和图4(f)分别给出了4发导弹3个方向上的过载曲线,由仿真结果可以看出,本文AITACGL平滑无明显抖振。在制导初始阶段,3个方向均出现了饱和现象,这是因为为实现趋近段的固定时间收敛,在设计中引入了分数次幂,前期的过载饱和充分利用了导弹的过载能力。当滑动模态建立后,制导律中的自适应变结构项用于对总扰动估计并进行前馈补偿,有利于增大抵消外部扰动的控制裕度。

表3 拦截时间,脱靶量及视线角度误差

图4 工况1条件下的仿真结果

引入如下能量指标函数,对比本文AITACGL与固定增益协同制导律(FCGL)在能量消耗上的优越性。能量指标函数可表示为

(63)

仿真初始条件不变,能量消耗及其差值如图5所示。由图5(a)可知,采用本文AITACGL相较于FCGL,4发导弹的能量损耗大幅降低。这是因为本文AITACGL相较于FCGL可根据扰动的变化调节变结构项增益,在保证制导系统稳定的同时降低了高增益带来的能量损耗。通过图5(b)的结果可知,平均每发导弹降低了50.08 kJ,为后续执行突防及拦截任务提供基础。

图5 AITACGL和FCGL能量消耗与差值

3.2 仿真对比

为进一步说明本文AITACGL的优势,与文献[14]设计的有限时间收敛协同制导律(FTCGL)进行对比。仿真初始条件与3.1节相同,仿真结果如图6所示。

图6 FTCGL仿真结果

由图6(a)和图6(b)可知,虽然FTCGL在27.71 s实现了对目标的拦截,但是该制导律没有时间控制能力,无法在预设时刻击中目标。4发导弹的飞行时间大约在4.7 s实现一致,而本文AITACGL能够控制飞行时间更快达到一致。由图6(c)中视线角度变化曲线可以看出,对于不同的初始角度误差,视线角度收敛的速率不同,这是因为有限时间稳定理论的特性决定的,其收敛时间受系统初始状态影响,而本文AITACGL不受系统初始状态影响。从图6(c)中可以看出,在制导末端,制导系统扰动剧烈变化,弹目视线角发散,降低了弹目视线角的控制精度。由图6(d)中的过载曲线可以看出,FTCGL在视线方向的末端将引起剧烈抖振,而在视线法向该制导律也出现了明显抖振。与图4(e)、图4(f)相比,本文AITACGL平滑,更利于实际应用。表3给出了制导律拦截时间、脱靶量、视线角误差的精确数据。由表3可以看出,本文AITACGL具有更小的脱靶量和角度控制误差,再次证明了尽管目标具有一定机动性,采用本文所设计的制导律能够完成较高精度的拦截。

3.3 通讯拓扑变换条件下的协同打击

图7 弹群的切换拓扑

图8 视线方向上的仿真结果

由图8(a)中的弹目相对关系可以看出,在存在通讯拓扑切换的情况下,本文AITACGL仍然能够同时实现对目标的精确拦截,完成饱和打击任务。如图8(b)中剩余飞行时间变化曲线所示,4发导弹在预设时刻同时击中目标,验证了本文AITACGL对切换拓扑具有鲁棒性。图8(c)中的过载曲线平滑连续且具有良好的瞬态过程,证明了本文AITACGL的在拓扑切换条件下的实用性。