基于自适应降阶滑模算法的受约束多机械臂力/位混合控制

2023-10-07朱志浩李蔚高直郭毓

机床与液压 2023年17期

朱志浩，李蔚，高直，郭毓

(1.盐城工学院电气工程学院，江苏盐城 224051；2.盐城工学院信息工程学院，江苏盐城 224051；3.南京理工大学自动化学院，江苏南京 210094 )

0 前言

近年来，随着我国工业的快速发展，机器人的应用得到了极大的发展，并逐步运用到了制造业、农业等领域。同时国内对于机器人的研究也逐年深入，但这些应用和研究大多集中于单机械臂领域[1-2]，对于多机械臂[3]的研究和应用仍有所缺乏。在实际应用方面，单机械臂有着效率低下、易受干扰、无法适应复杂的工作环境、面对大而重的物体力不从心等诸多局限性，因此相较于单机械臂系统，多机械臂系统有很大的优势。

虽然相比于单机械臂系统，多机械臂在实际运用中有着诸多的优势，但这也对其提出了更高的控制要求。当多机械臂控制物体在约束环境上运动时，多机械臂与物体形成一个整体，所以不仅要考虑控制物体按照期望的位置指令运动，控制物体与约束环境间约束力，还需要考虑控制机械臂对于物体的夹持内力[4]，保证机械臂稳固控制物体的同时不对物体造成损伤。因此，针对多机械臂系统的力/位混合控制问题[5-8]，国内外专家们提出了诸多的控制方法。文献[9-13]将命令滤波与反步法相结合，同时基于误差补偿系统来消除滤波误差。文献[14]设计了一种滑模控制算法，解决了协调机械臂不确定性问题。文献[15]设计了一种神经网络自适应算法，克服模型建模以及时间滞后对系统的影响。然而这些方法控制器的设计都比较复杂，并且只单独考虑位置和内力的问题，忽略了约束力的影响。本文作者提出一种基于自适应降阶滑模算法的受约束多机械臂力/位混合控制方法，首先将位置控制、约束力控制、内力控制引入同一控制器；其次设计自适应律补偿未知扰动提高控制精度，利用降阶方法提高响应速度；最终经过李雅普诺夫方法，证明系统的稳定性，并经过仿真证明控制策略的有效性。

1 问题描述

建立由k个n自由度机械臂及被控物体所组成的多机械臂系统。多机械臂系统坐标系由三部分组成，如图1所示：任务空间坐标系{O}，以物体的重心为原点的坐标系{G}，以机械臂末端执行器为原点的坐标系{Ei}(1≤i≤k)。为方便研究，满足如下几点假设[16]：

图1 多机械臂系统

假设1，每个机械臂自由度相同；

假设2，被控物体为刚性物体；

假设3，整个系统为非冗余的；

假设4，所有转换矩阵均满秩且有界。

1.1 多机械臂动力学模型

第i个机械臂动力学模型[17]为

(i=1,2,…,k)

(1)

由式(1)可得k个机械臂所组成的多机械臂动力学模型：

(2)

其中：

D(q)=blockdiag[D1(q1),D2(q2),…,Dk(qk)]∈Rkn×kn；

Je=blockdiag[Je1,Je2,…,Jek]∈Rkn×kn；

式(2)所描述的动力学模型具有如下性质：

性质1：存在正数k1、k2，满足下式：

(3)

(4)

性质3：存在参数线性化关系：

(5)

1.2 被控物体动力学模型

被控物体的动力学方程为

(6)

(7)

其中：Joi(x)∈Rn×n为从机械臂末端位置向量到x的Jacobian矩阵；Fei∈Rn为机械臂末端对物体的力。Fe可分为内力FI∈Rk×n和外力Fo∈Rk×n两部分。

由式(7)可得：

(8)

1.3 多机械臂系统动力学模型

xe=φ(q)

(9)

其中：φ(q)∈Rn×n为从q到位置向量xe的变换矩阵。

对式(9)左右同时求关于时间的导数，得：

(10)

又有：

(11)

其中：Jo(x)∈Rn×n。

由式(10)(11)可推导出：

由假设4可知Je可逆，则有：

(12)

对式(12)左右同时求关于时间的导数，得：

(13)

把式(12)(13)(8)(6)代入式(2)，可得：

(14)

(15)

式(15)描述的动力学方程具备与式(2)相似的性质。

1.4 受约束多机械臂系统动力学模型

设多机械臂系统在m维约束环境运行。取xc为物体与约束面的接触点，则对于物体重心位置向量x，有xc=h(x)，因此约束环境可表示为

ψ(x)=Φ(h(x))=Φ(xc)=0

(16)

由式(16)左右两边同时关于时间t求导得：

(17)

由式(6)可得受约束物体得动力学方程为

(18)

(19)

(20)

(21)

将式(20)(21)代入式(19)，得：

τa+Fc

(22)

则受约束多机械臂系统动力学方程表示为

(23)

式(23)所描述的动力学模型具有如下性质：

性质2：具备与式(2)性质3相似的性质，即满足参数线性化关系。

将式(23)两边同左乘LT(x1)，推导可得：

(24)

2 控制器设计

设xd为期望的物体重心位置向量，定义以下变量：

(25)

其中：x1e为位置误差；x1d为x1的期望位置；x1r为系统误差向量；Λ>0。

滑模函数为

(26)

力误差：

eλ=λ-λd

(27)

其中：λd为期望接触力。

设计控制器为

(28)

由式(23)及其参数线性化关系可得：

(29)

其中：Ya为回归矩阵；Pa为系统未知定常向量。

用于控制力的项：

λr=λd-Kλeλ

(30)

则可得位置和力的控制器为

(31)

(32)

设计如下李雅普诺夫函数为

对等号两边关于时间t求导得：

(33)

式中：λmin为矩阵LTL的最小特征值。

为了使得机械臂有效控制物体，则在受约束多机械臂系统控制器中加入内力控制，与式(14)相似，将式(12)(13)(8)(18)(20)(21)代入式(2)得：

(34)

其中：

CoL

设用于控制内力的项为

CoL

FIr=FId-KIeFI

其中：KI>0；eFI=FI-FId，FId为期望内力。

(35)

则最终的受约束多机械臂系统控制器为

(36)

3 仿真分析

针对受约束双二自由度机械臂系统模型进行仿真验证，进而证明文中所设计控制方案的有效性。受约束双二自由度机械臂系统模型如图2所示。

图2 受约束双机械臂模型

其机械臂的动力学模型参数如下：

Ci(qi)=

Gi(qi)=

Jei(qi)=

物体的动力学模型参数如下：

取参数：

控制器参数如下：

li1=li2=1.0 m，mi1=mi2=1.0 kg，mo=2.0 kg，

g=9.8 m/s2，R=0.2 m，

x1d(0)=0.6，x2d(0)=1.117 2，

x1(t)=0.8+0.1cost，

FId1=FId2=7 N，FId3=FId4=-7 N，

Λ=11I2，Kd=25I2，w=2I2，

Kλ=10，KI=7I2，Γ=7I2。

仿真结果如图3—6所示。由图3可以看出：与未改进的多机械臂自适应位置控制相比，文中所使用的基于自适应降阶滑模的力/位混合控制算法能够有效提高控制器的控制精度和系统的响应速度；在位置指令跟踪上，文中所使用的方法虽然在起初有较大波动，但很快便在1.6 s时跟踪上，而反观对比方法在2.4 s才跟踪上，响应速度有了显著提升，并且对比方法在之后的跟踪过程中仍有一定的波动产生，而所设计控制方案就能够很好地贴合期望轨迹。从图4—6来看，所设计的控制方案的约束力误差、内力误差虽然起初有一定的波动，但很快趋于平稳，且将误差限定在极小的范围内，说明了所设计控制器的有效性。