设而不求，巧解三类数学题

倪娜

设而不求主要是指根据题目特征，恰当地设置未知数，然后找到有关等量关系，建立相应的代数式或方程式，再将未知数消去或代换，从而达到求解的目的.简单地讲，设而不求就是只设未知数，不求其值，其本质是换元.这种解题方法能快速、准确、简捷地解答一些棘手的问题．下面举例说明“设而不求”在求解三类数学题中的应用方法.

一、设而不求，求二次根式的值

在解答二次根式求值问题时，当运用常规思路直接求值较为棘手时，可以将已知条件的某一参数作为变量，设出辅助未知数，借助虚设的参数对二次根式进行转化变形再求值.这种设而不求的方法，既可以使已知与所求目标之间的联系更加明朗，又可以避开繁杂的运算过程.

例1

分析

解

评注：本题增设了辅助未知数 t ，通过化简、变形、代换，设而不求，使问题化难为易.在这一过程中，要注意“ t >0”这一隐含条件.

二、设而不求，比较分数的大小

在比较分数大小时，尤其对于一些复杂的分数比较大小问题，运用一般解法直接求解会非常繁琐，且容易出错.此时，同学们若能结合分式特点适当引入辅助未知数，并将其带入分数中，利用分数的分子与分母间的关系与分数特征，设而不求，则可以使繁难的分数问题变得简单.

例2比较1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）与19941996（19941980）的大小.

分析：本题两个分式中的分子和分母数字都较大，若按照常规思路直接比较大小，显然十分困难.观察分式特点，不难发现19941995与19941996、19941979与19941980均相差1，若能恰当引入未知数，设而不求，则可以避免复杂运算，快速找到解题的突破口.

解：

评注：本题关键在于设19941995=a，19941979=b，然后通过 - <0，得出a（b）< a（b）1（1），进而确定1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）与1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（8）6（0）的大小.整个过程设而不求，简洁明了，达到了避繁就简的目的.

三、设而不求，解答实际应用题

对于某些较为复杂的应用题，所给已知条件不多，或者数量较多，各数量间的关系并不明显，倘若直接设元，很难提炼出复杂的数量关系式，此时可以通过引进辅助元，再依据题意提炼出含辅助元的数量关系式，列出有关方程式（组）.而辅助元在求解过程中一般可以整体求出或在写出结果时被消去，这样问题就可以轻松获解.

例3小红在网上购买甲、乙、丙三种型号的铅笔，已知买4支甲型、20支乙型、16支丙型的铅笔共需12元；买6支甲型、14支乙型、8支丙型的铅笔共需18元，试问买2支甲型、5支乙型、3支丙型的铅笔共需多少元？

分析：本题是一道典型的方程应用题，按照解方程的步骤，需要先设甲、乙、丙三种型号的铅笔单价分别为 x 元、y 元、z 元，再根据题意列出方程组.但是所列方程组中的每个方程均含有三个未知数，显然直接解出x，y，z的值难度较大.注意到本题实际上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用设而不求法予以求解.

解：

答：

评注：本题借助设而不求法，設辅助元z ，将之视为已知常数，使三元一次方程组问题转化为关于x，y的二元一次方程组问题，得出 x =3+z， y =-z 后，再整体代入求解.

总之，“设而不求”法不仅可以用于解答各类代数问题，还可以用于解答几何问题.当遇到用常规方法难以解答的问题时，同学们不妨另辟蹊径，根据题意灵活引入辅助参数，设而不求，从而简化问题，减少计算量，提高解题效率.