如何解答与二次函数有关的几何图形证明题

杨扬

与二次函数有关的几何图形证明题通常较为复杂，需灵活运用数形结合思想，才能顺利解题.这类问题主要考查同学们综合运用二次函数和平面几何图形知识的能力.下面结合几个例题，探讨一下如何求解与二次函数有关的几何图形证明题.

一、证明直线平行

在解答与二次函数有关的几何图形证明题时，经常会遇到证明两条线段或直线平行的题目，要先根据二次函数的解析式和图象来确定直线上点的坐标，以确定两条直线的位置；然后结合两直线平行的判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两条直线平行，来证明两条直线平行.

例1

解：

二、证明三角形全等

解答与二次函数有关的全等三角形证明题，大多需要先设出未知数，如二次函数的解析式、点的坐标、角的度数等，并根据二次函数的解析式建立这些未知数之间的关系式，求得两个三角形的边长、内角的大小；再利用勾股定理以及全等三角形的判定定理进行解题.

例2如图3所示，在直角坐标系中，正方形 CBAO 的边长为2，O 为坐标原点，A 点落在 x 轴的正半轴上，C 点落在 y 轴的正半轴上.一条抛物线以 D 点为顶点并且经过 A 点，其中 D 点为 OC 的中点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）正方形 CBAO 的对角线BO 和抛物線相交于 E 点，并且 FG 经过 E 点且和 x 轴垂直，并且交 x 轴于 F 点，交 BC 于 G 点.请证明 EG 和 OB 的长度关系；

（3）点 H 为抛物线上在正方形 CBAO 中的任意一点，线段 IJ 过点 H 和 x 轴垂直，并且交 x 轴于点 I ，交 BC 于点 J，点 K 在 y 轴的正半轴上，并且 OH = OK，求证△IHO ≌△CKJ.

解：

三、证明特殊四边形

解答与二次函数有关的特殊四边形证明题，需先根据二次函数的解析式求得四边形各个点的坐标，根据两点间的距离公式求得四边形的边长，并结合二次函数的图象确定各个点的位置；然后根据两直线平行的判定定理判定四边形的对边是否平行，若四边形的对边平行且相等，则该四边形为平行四边形；若该四边形的四条边相等，邻边互相垂直，且对角线互相垂直，则该四边形为正方形；若该四边形的四条边相等，对角线互相垂直，则该四边形为菱形.

例3

解

总之，解答与二次函数有关的几何图形证明题，需能够将所学的函数知识、平面几何知识等融会贯通起来，通过数形结合，将问题转化为几何图形的长度、角度问题，以及直线和图形的位置关系问题.