证明圆中线段相等的几个途径

孙鸽林

圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.

一、利用“等角对等边”

等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.   它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.

例 1  如图 1，在 Rt△MNP 中，∠MPN = 90° ， 以 MP 为直径的⊙O 交 MN 于点 Q，过点Q 作⊙O 的切线RS 交NP 于点 S.求证：NS = QS.

分析

证明

评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.

二、利用“全等三角形对应边相等”

我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.

例2如图2，在⊙O 中，P、Q 分别是半径 OM、ON 上的點，且 MP =NQ，点 R 为弧 MN 的中点，连接 RP、RQ.求证：RP =RQ.

分析：

证明：

评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.

三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”

由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.

例3如图3所示，MN 是☉O 的直径， MP 为弦，过弧 MP 的中点 Q 作 QR ⊥ MN 于点 S.求证：QR =MP.

分析：根据题意和图形，很容易看出 QR、MP 是圆中的两条弦，所以要证明 QR =MP，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.

证明：

评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.