例谈一道平面几何题的解法

王艳

平面几何问题是初中数学的一个重点和难点，其知识点覆盖方面广，题型多样，常以几何图形如三角形、平行四边形、圆等为载体来研究角度大小、边的长度等.很多同学在解答平面几何题时，因为找不到已知条件与待求结论之间的关联，而感觉无从下手.本文以一道以三角形为载体的平面几何题为例，从构造辅助线、进行旋转等不同角度，探寻多种解题思路.

例题：

解法一：構造辅助线

构造辅助线是解答平面几何问题最常用的方法.对于条件较为复杂的题目，我们往往不能直接通过已知图形和条件得到答案.这就需要通过观察几何图形的特征，构造一些特殊的辅助线来帮助求解.在通过添加辅助线构成的新图形中，可以找到许多几何中间量进行转化，也可以构造如等边三角形、直角三角形等特殊图形来为解题创造可用的条件.

解：

说明：构造辅助线要求同学们对几何图形的性质有着很好的把握.因此，在平时的练习中要注意总结有关的辅助线模型，如全等三角形之三垂直模型、鸡爪模型、中位线模型等.

解法二：进行旋转

在有些几何问题中，我们可以通过进行旋转变换，在保持原有图形相关性质不变的前提下，改变原图形中的相关线段、角的位置，从而将已知的等量关系转化为有利于我们解题的新条件.根据旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，由此，利用全等三角形的性质便可顺利求得角的度数.

解

说明：在使用旋转法解题时需要注意的关键点是旋转什么，旋转多少角度.合适的旋转才能简化后续的运算.

解法三：运用角元塞瓦定理

角元塞瓦定理是三角形中的一个常用定理，蕴含着丰富的几何性质.其有两种形式，分别是以边长为中心的定理形式和在边长基础上推导得出的角元形式推论.下面简单介绍定理内容及推论，并进行相关证明.

定理：

证明

推论

证明

解

说明：此定理的适用范围较广，本题直接利用角元的塞瓦定理代入，即可求出对应的相关角. 同学们在运用角元的塞瓦定理时，不仅要牢记公式，还要掌握公式的证明过程。

以上三种方法从不同的角度解答了这道平面几何问题，前两种方法是同学们在解题中常用的方法，主要考查对于图形的敏感性，同学们在平时做题时应多加分析、比较和总结；对于角元塞瓦定理，在运用时要先进行推导证明，再根据公式反推代入即可.