三角形中位线的性质及其应用探析

卢明

三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系，又包含两线段之间的数量关系，在解答平面几何问题中有着广泛的应用．在运用三角形中位线的性质解题时，有时需要运用平行关系，有时需要运用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用.下面结合例题予以说明.

一、三角形中位线的定义和性质

三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA的中点，那么線段 DE、EF、FD 都是三角形的中位线.

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系：（1）位置关系：三角形的中位线与第三边互相平行，如在图1中，有 DF∥ BC；（2）数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，如在图1中，有 DF = BC.

二、三角形中位线的性质在解题中的应用

中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途：第一种是用于三角形的线段长度的计算；第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系；第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系.

1.利用三角形中位线的性质证明角相等

由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系，因此，在证明两个角相等的时候，就可以借助或构造三角形的中位线，利用两直线平行，同位角及内错角相等来证明.这样既快捷，又简便.

例 1  如图 2，四边形 ABCD中，AB=CD，点 E，F分别是 AD，BC的中点，GH⊥EF交于点 P . 延长 BA，FE相交于点 Q，延长 CD交 FE的延长线于点 K，求证：∠AGH=∠DHG.

分析

证明

2.利用三角形中位线的性质求线段的长度

三角形中位线的长度等于第三边长度的一半.利用好这个性质，可以为我们求解两线段的数量关系提供一个重要的依据.所以当题目中遇到三角形一边的中点，所求的问题涉及求线段的长度时，常将三角形中位线的性质和三角形其他知识结合起来.

例2

分析

解

3.利用三角形中位线的性质证明线段的倍分关系

三角形的中位线不仅体现了线段之间的位置关系，也体现了线段之间的数量关系.在证明线段的和差倍分等问题中，最重要的是找到线段之间的数量关系，而很多题目是难以直接进行数量转换的，因此需作出正确的辅助线，找出图形中形状、位置或者数量上的联系，借助中间量，将所求线段之间的间接关系转化为直接关系，最终求得答案.

例5已知，如图6，在△ABC 中 AB =AC，延长 AB 到 D，使 BD =AB，E 为 AB 的中点，求证：CD =2CE.

分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段二倍长的线段，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段相等的问题.这就是通常所说的“加倍”“折半”的方法.

方法1：找出 CD 的一半，然后证明 CD 的一半和 CE相等，

取 CD 中点 F，证 CF = CE.

证明：

方法2

证明：

由以上几例不难看出，当题目有中点这一条件时，应设法寻找另一个“中点”，以构造三角形的中位线，然后利用中位线的性质解题.这是一种常用的解题技巧.