生活中的一元二次方程

蔡忠平

应用一元二次方程解應用题是初中数学的重点之一，是历年中考的热点. 下面就此部分考题的常见类型进行归纳，并对解题思路、方法及策略加以分析.

类型一：平均变化率问题

例1 （2022·山东·德州）某校为响应全民阅读的号召，图书馆面向社会开放，阅读人数逐月增加. 据统计，3月份进馆1000人，5月份进馆1210人. 假设每月的阅读人数增长率相同.

（1）求该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率；

（2）如果按此增长，6月份阅读人数应达到多少人？

分析：因为每月的阅读人数增长率都相同，设平均增长率为x，则4月份阅读人数为1000（1 + x），5月份阅读人数为1000（1 + x）（1 + x） = 1000（1 + x）2，6月份阅读人数 = 5月份阅读人数 × （1 + x）.

解：（1）设该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率为x，得1000（1 + x）2 = 1210，解得x1 = 0.1 = 10%，x2 =  -2.1（不合题意，舍去）. 答：该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率为10%.

（2）1210 × （1 + 10%） = 1331（人）. 答：6月份阅读人数应达到1331人.

点评：解平均增长率或降低率问题，应抓住每月的增长率或降低率相同，通常设增长率或降低率为x，用含x的式子表示增长后或降低后的量，即基础量 × （1 ± x）n，根据等量关系列出一元二次方程.

类型二：循环比赛问题

例2 （2022·黑龙江·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？

分析：单循环比赛是指每两支队伍之间进行一次比赛，共n支队伍，每支队伍参加（n - 1）场比赛，一共比赛[n（n-1）2]场.

解：设共有x支队伍参加比赛. 依据题意，得[x（x-1）2] = 45，解得x1 = 10，x2 =  - 9（不合题意，舍去）. 答：共有10支队伍参加比赛.

点评：循环比赛分为单循环比赛和双循环比赛，其中单循环比赛总场次为[n（n-1）2]，双循环比赛总场次为n（n - 1）.

类型三：面积问题

例3 （2022·广东·深圳）如图1，在一块长12 m、宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2. 求道路宽多少米.

分析：把两条道路分别平移到矩形的最下边和最右边（如图2），则剩下的部分是一个稍小的矩形. 利用矩形面积公式即可列出方程.

解：设道路宽x米. 列方程得（12 - x）（8 - x） = 77，整理得x2 - 20x + 19 = 0，解得x1 = 1，x2 = 19（不合题意，舍去）.

答：道路宽1 m.

点评：此题解法不唯一，还可以直接计算道路的面积列出方程：8x + 12x - x2 = 12 × 8 - 77.

类型四：利润问题

例4 （2022·广东·清远）商场销售某种服装，每件进货价为50元，市场调研表明：当每件服装的售价为60元时，平均每个月可销售800件，销售单价每提升1元，平均每个月的销售量就减少20件. 商场要使这种服装的销售利润平均每个月达到12 000元，则每件服装的定价应为多少元？

分析：设每件服装的定价为x元，则每件服装的销售利润为（x - 50）元，每个月的销售量为［800 - 20（x - 60）］元，据此得到总利润.

解：设每件服装的定价为x元，根据题意，可列方程（x - 50）［800 - 20（x - 60）］ = 12 000. 整理得x2 - 150x + 5600 = 0，解得x1 = 70，x2 = 80.

答：每件服装的定价为70或80元.

点评：利润问题中“每……，每……”型问题，其特点是“每下降……，就每增加……”“每增长……，就每减少……”. 解题关键是抓住利润、售价、成本、销售量之间的关系，根据“总利润 = 每件商品的利润 × 销售量”这一等量关系列方程.

（作者单位：北票市桃园初级中学 ）