一阶逻辑命题符号化的研究

方冬云,曾宪芾

(1.莆田学院 数学与金融学院, 福建 莆田 351100;2.莆田学院 机电与信息工程学院, 福建 莆田 351100)

随着信息领域的不断发展,互联网、云计算、人工智能等技术不断的改变着当代人的生活,一阶谓词逻辑作为一种重要的知识表示方法,有着强大的陈述表达能力,能够将思维活动准确的表达出来,它和自然语言的表述相接近,方便计算机进行存储,也易于被计算机进行处理,因此它常常被应用于自然语言处理领域。谓词逻辑就是研究自然语言的形式结构、逻辑性质、谓词关系及从中导出的规律[1]。如:珀拉克[2]的人工推理系统所试图解决的问题:“假设有一个彩票游戏,有一百万人参加,赢家只有一个。因此,玩家能够成为赢家的概率极低”。要解决珀拉克的问题,就需要将每句话用一阶逻辑符号转化为谓词公式,从而利用推理规则来解决问题。

一阶谓词逻辑是通过将个体词、谓词、量词根据所要表达知识的语义以逻辑联结词相连接,形成谓词公式。一阶谓词逻辑的基础是一阶逻辑命题符号化,一阶逻辑命题符号化是把自然语言用离散数学的相关符号转化为谓词公式。目前对一阶逻辑命题符号化的研究通常是介绍一句自然语言中含有一个或两个谓词的一阶逻辑命题符号化,且有一定的规律,而一句自然语言中含有三个或三个以上谓词的一阶逻辑符号化研究的不多,且提供的方法比较复杂不易掌握。本文重点分析含有三个或三个以上谓词的自然语言的命题符号化。

1 预备知识

个体词:指研究对象中可以独立存在的具体(或抽象)的客体。表示具体(或特定)的客体的个体词称作个体常项,通常用小写英文字母“a,b,c,…”符号表示;表示抽象(或泛指)的个体词称作个体变项,通常用小写英文字母“x,y,z,…”符号表示,而个体变项的取值范围称作个体域(或论域),有一个特殊的个体域是由宇宙间的一切事物组成的称作“全总个体域”。

谓词:用来刻画个体词性质(或个体词之间相互关系)的词,通常用大写字母“F(个体),G(个体),H(个体),…”表示。括号内个体是个体常项,相应的谓词也是谓词常项;括号内个体是个体变项,相应的谓词也是谓词变项。

量词:表示个体常项(或变项)之间数量关系的词。日常生活中常用的“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等词称作全称量词,通常用符号“∀”表示;日常生活中常用的“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等词称作存在量词,通常用符号“∃”表示。

2 自然语言中含有两个谓词的一阶逻辑命题符号化

3 自然语言中含有三个或三个以上谓词的一阶逻辑命题符号化

同理这个公式∀x∀y(F(x)V∧G(y)→H(x,y))也可以根据上面相应的规则变为∀x(F(x)→(∀y(G(y)→H(x,y)))),所以这两个公式是等价的。

个人认为把每句自然分解成多个复合的主谓语,按“∀”量词与“→”联结词搭配,“∃”量词与“∧”联结词搭配的规则,可以将含有个体词多种关系的自然语言符号化,如“不存在跑得同样快的两只兔子”,可以这样分解,“F(x)∶x是兔子”,G(x,y)∶x≠y,L(x,y)∶x与y跑得同样快”,符号化为“∃x(F(x)∧(∃y(F(y)∧G(x,y))∧L(x,y)))”,同时可以利用等值式转化成不同的谓词公式:

下面再举自然语言中含有三个以上的谓词,如自然语言“人与同时成长的某些宠物能很好相处”。可以把这句自然语言分解成多个复合的主谓语,如“人类”为主语,“同时成长的某些宠物能很好相处”为谓语,且“同时成长的某些宠物能很好相处”里还有主谓语:“宠物同时成长”为主语,“很好相处”为谓语。那么这句自然语言“人与同时成长的某些宠物能很好相处”可以这样符号化“∀x(F(x)→(∃y(G(y)∧H(x,y)) ∧L(x,y)))”,其中F(x)∶x是人类;G(y)∶y是宠物;H(x,y):x与y同时成长,L(x;y)∶x与y很好相处。这样就有一定的规则,与前面只含两个谓词的规则一致,即“∀”量词与“→”联结词搭配;“∃”量词与“∧”联结词搭配。可以利用等值式转化为与之等值的其它公式,过程如下:

4 基于命题符号化的一阶逻辑推理

在生活中往往需要根据一段自然语言来判断结果,首先要把每句自然语言进行命题符号化,再利用相关的推理规则进行推理得出相应的结论。下面举两个例子进行分析:“每个有理数都是实数,有的有理数是整数。因此,有的实数是整数”[3]。相关谓词“Q(x)∶x是有理数,R(x)∶x是实数,z(x)∶x是整数”,前提有“∀x(Q(x)→R(x))”,“∃x(Q(x)∧Z(x))”,结论“∃x(R(x)∧Z(x))”,写成下面的推理结构形式:

前提:∀x(Q(x)→R(x)),∃x(Q(x)∧Z(x))

结论:∃x(R(x)∧Z(x))

证明:利用前提引入规则得①∃x(Q(x)∧Z(x)),利用存在量词消去规则得②Q(c)∧Z(c),利用前提引入规则得③∀x(Q(x)∧R(x)),利用全称量词消去规则得④Q(c)→R(c),利用化间规则得⑤Q(c),利用假言推理规则得⑥R(c),利用化间规则得⑦R(c),利用合取引入规则得⑧R(c)∧Z(c),利用存在量词引入规则得结论∃x(R(x)∧Z(x))。

包含三个谓词自然语言的推理,“火车都比汽车快,汽车都比轮船快,a是火车,b是汽车,c是轮船。所以a比b快,b比c快”[4]。相关谓词“F(x)∶x是火车,G(y)∶y是汽车,H(z)∶z是轮船,L(x,y)∶x比y快”,前提有“∀x(F(x))→∀y(G(y))→L(x,y)))”,“∀y(G(y)→∀z(H(z)→L(y,z)))”,“F(a)”,“G(b)”,“H(c)”,结论“L(a,b)∧L(b,c)”,写成下面的推理结构形式:

前提:∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y))),∀y(G(y)→∀z(H(z)→L(y,z))),F(a),G(b),H(c)

证明:利用前提引入规则得①∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y))),利用置换规则得②∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)),利用全称量词消去规则得③∀x(F(x)∧G(b)→L(x,b)),利用全称量词消去规则得④F(a)∧G(b)→L(a,b),利用前提引入规则得⑤F(a),利用前提引入规则得⑥G(b),利用合取引入规则得⑦F(a)∧G(b),利用假言推理规则得⑧L(a,b),利用前提引入规则得⑨∀y(G(y)→∀y(H(z)→L(y,z))),利用置换规则得∀y∀z(G(y)H(z)→L(y,z)),利用全称量词消去规则得∀y(G(y)∧H(c)→L(y,c)),利用全称量词消去规则得G(b)∧H(c)→L(b,c),利用前提引入规则得H(c),利用合取引入规则得G(b)∧H(C),利用假言推理规则得L(b,c),利用合取引入规则得结论L(a,b)∧L(b,c)。

所以要判断一段话的正确性,把相关的前提与结论构造出来,再利用一阶逻辑命题符号化把每个前提和结论转化为谓词公式,最后利用推理规则进行判断,就能得出结论的正确性。在这个过程中准确地将自然语言命题符号化是关键环节,而含有三个或三个以上谓词的较复杂的自然语言命题符号化是其中的难点。

5 结束语

采用谓词逻辑转译规范看似简单,实则涉及哲学、数学、数理逻辑、计算机科学、自然语言处理、语义学、结构设计等领域,是一个多学科交叉融合且比较复杂的问题,谓词逻辑在软件工程、数据结构、编译原理、计算机网络、计算机图形学、数据库原理、人工智能等诸多领域中都有应用[5],所以研究一阶逻辑命题符号化具有一定的意义。