周期激励下接地双稳态非线性能量阱的动力学

李双宝，周新星

（中国民航大学a.科技创新研究院；b.理学院，天津 300300）

机械系统中不必要的振动可能会损害系统或降低结构的性能。飞行器飞行过程中，机翼的颤振会影响其表面气流的流动方式，从而降低机翼的升力，进而降低飞行器的性能。同时，航空发动机的喘振会导致其核心机气流的紊乱，甚至损伤叶片。因此，有效抑制结构中的有害振动是航空工程中的一个重要问题。

最初研究的热点聚焦于线性减振器，其具有结构简单易实现的特点，但其只能在频率很窄的区域产生减振效果。因而很多学者对非线性减振器展开研究[1-5]。非线性能量阱[6]（NES，nonlinear energy sink）作为一类特殊的被动非线性减振器，因其可以靶向被动吸收主结构中振动的能量而被广泛研究[7-10]。这些研究主要考虑非接地类型NES。Jiang 等[11]研究了接地立方NES 在周期激励下，稳态运动的动力学行为，研究指出这类NES 的非线性特性具有良好的宽频特性。Mcfarland 等[12]实验验证了接地立方NES 中的靶向能量转移行为。对于接地立方NES 的研究结果表明[13]，接地立方NES 可以等效于一个轻质的非接地立方NES，因而对接地NES 的优化设计方案和参数优化设计并没有进一步研究。然而高铁轨道的振动抑制，地面落振实验台的振动抑制等工况更适合使用接地的减振器。Yao 等[14]研究了一种对旋转装置具有优良减振性能的接地NES，这说明接地NES 具有广泛的工程应用前景。实际上，对接地类型吸振器的优化设计研究较少，王孝然等[15]研究了线性接地式三要素型吸振器的参数优化设计。对于非接地NES 也可以做出类似的研究，NES 的主要缺陷在于其减振特性需要耦合系统的能量高于一定值以后才能发挥作用。借鉴非接地NES 的研究结果可知[7-10]，双稳态特性的引入能很好地解决NES 的能量阈值问题。在接地NES 中引入双稳态特性，并进一步研究其动力学行为是目前研究的一个盲点。

本文主要通过摄动分析和Melnikov 方法，研究接地双稳态NES 耦合系统在周期激励下的松弛振荡行为和外激励阈值曲线对这类接地双稳态NES 结构参数设计的指导意义，并进一步在理论上给出这类NES的优化设计准则。

1 力学模型

本文研究的力学模型是两自由度系统，如图1 所示。由线性振子（LO，linear oscillator）弱耦合一个接地双稳态NES。其中，LO 的质量、刚度、阻尼分别标记为m1，kp和c1。NES 的质量记为m2，其双稳态特性通过压缩刚度为k 的弹簧这一几何非线性的方式实现，两个子系统通过弹簧k1和阻尼c2弱耦合。

图1 力学模型Fig.1 Mechanical model

LO 和NES 的位移分别用x1（t）和x2（t）表示。NES结构的原点位置位于接地压缩弹簧接地的竖直位置，而NES 结构初始时刻位于平衡位置S，NES 结构压缩弹簧的原长为l，而在原点处的长度为l0。

由于系统中的恢复力是一个无理函数，采用多项式逼近的方法近似该无理恢复力。根据拉格朗日方程和适当的参数变换得到无量纲耦合系统动力学方程[16]。

结构的双稳态特性由式（1）的第2 项杜芬方程所体现，系统存在着两个稳定和一个不稳定的平衡位置。式中：f 表示无量纲化以后的外激励刚度；τ 和Ω 分别无量纲的时间和频率；y1和y2分别表示LO 和NES 无量纲化以后的位移。耦合系统的物理参数和式（1）中的无量纲参数如表1 所示。

表1 系统的参数取值Tab.1 Parameter value of the system

2 动力学分析

2.1 慢不变流形

在式（1）描述的两自由度耦合系统中，LO 发生的松弛振荡依赖不同时间尺度的运动。因而分析系统的动力学行为就必须综合考虑不同时间尺度下，耦合系统的动力学行为。为了刻画这种动力学行为，可以应用复化平均法。首先在系统引入复变量

将式（2）代入式（1）中，保留系统的长期项得到

考虑到外激励频率和LO 固有频率之间的共振响应关系，引入失谐参数σ，并满足Ω=1+εσ，代入式（3）中。引入时间变量τs=εsτ，其中s=0，1。对式（3）进行多尺度展开，得到ε0阶和ε1阶尺度下的动力学方程如下

引入极坐标变换如下

式中：N1、N1和θ1、θ2均为实数，令∂φ2/∂τ0=0，并代入式（4）的第2 项得到慢不变流形（SIM，slow invariant manifold）描述如下

2.2 外激励阈值

分析可知，满足一定条件时耦合系统的SIM 存在两个奇异值点。对式（7）右侧变量Z2求导，令导数为0，得到临界值Z2l方程。通过Z2临界值可以得到系统外激励阈值。首先定义函数

并根据式（4）进行变量代换可得

将式（9）代入式（5）第2 项，由链式法则得到

式中f1，f2和g 可以通过式（4）和式（5）偏导关系求得。由文献[17]可知，系统存在两类不动点，一类被限制于系统SIM 上，满足条件f1=f2=0，g≠0；另一类不动点对应临界情况，满足f1=f2=g=0 这一退化条件，此时可将式（9）化为式（10）的矩阵形式

式中系统运动的幅值Ψ1和Ψ2，以及相应的相位β1和β2可通过令式（10）等于0 获得。非退化条件的满足，使式（11）的两个方程线性相关，故仅需考虑其中一个方程即可得到系统外激励阈值解析表达式。将变量Z2临界值代入就得到外激励阈值表达式

非线性系统可能会发生混沌运动，因而外激励幅值和耦合系统产生混沌运动的关系也是重要的问题，通过Melnikov 方法可以解析地获得系统的混沌阈值。

2.3 Melnikov 分析

耦合系统的混沌运动和各子系统之间的内共振响应有着密切的联系。Melnikov 函数作为度量扰动后双曲不动点的稳定和不稳定流形之间距离的工具，能给出系统发生混沌的判断条件[18]。

考虑到外激励的周期特性，经历充分长的时间之后可以假定LO 周期振动。此时可以将LO 的运动视为NES 结构的外激励。因而可以将系统的方程降维成

式中：l1=a1-β，l2=b1，h1=η2/ε。

由于LO 受到外界周期正弦激励可以将其运动近似为如下周期运动

式中A 表示线性振子运动振幅。在式（13）中，若ε=0，系统变为未扰动系统。存在一对连接式（13）中双曲不动点的同宿轨道q0（τ），其可以被解析地求解出。图2 表示不同负刚度下式（13）中的同宿轨道。

图2 同宿轨道Fig.2 Homoclinic orbits

由Melnikov 方法，式（13）对应系统的Melnikov 函数为

式中：f（u，v）=（v，l1u-l2u3）T；g（u，v）=（0，Acos（Ωτ）-h1v）T。

通过计算可得到系统Melnikov 函数，如果其有简单零点，那么扰动后的稳定流形和不稳定流形横截相交[14]。得到系统的混沌阈值曲线表达式如下

不同负刚度下系统的混沌阈值曲线如图3 所示。

图3 不同负刚度下系统的混沌阈值曲线Fig.3 Chaotic threshold curves under different negative stiffnesses

从图3 可知，随着NES 负刚度上升，系统阈值函数曲线也上升，这说明在一定范围内提升系统负刚度可抑制正弦外激励下系统的混沌运动。但是混沌运动的发生意味着耦合系统中发生了内共振，因而设计此类接地双稳态NES 时，适当降低结构的负刚度是一种提升NES 减振特性的思路。

同样，如图4 所示为不同立方刚度下系统的混沌阈值曲线。

图4 不同立方刚度下系统的混沌阈值曲线Fig.4 Chaotic threshold curves under different cubic stiffnesses

从图4 可知，随着系统立方刚度增大，结构的阈值函数曲线在下降。因而可以适当提升结构的立方刚度，使得耦合系统的各子系统在更宽的外激励幅值区域内发生内共振。适当增大接地双稳态NES 的立方刚度可以提高其减振性能。

考虑NES 结构的两类特殊情况：一种是系统的负刚度为0，此时接地双稳态NES 变为接地立方NES；另一种是对应着立方刚度的消失，此时减振装置变为一个线性结构。通过对比这两类特殊情况，进一步说明接地双稳态NES 的减振特性。

3 动力学特性

3.1 与接地立方NES 对比

当系统中的负刚度趋于0 时，接地双稳态NES 变为接地立方NES。为了更好地说明吸振装置在外激励作用下的减振特性，引入度量NES 阻尼力做功占比的指标，NES 系统的能量耗散率可表示为

NES 系统的能量耗散率越高，相对而言，其减振性能也会较好。接地双稳态NES 和接地立方NES 结构在不同外激励下的能量耗散率对比如图5 所示。

图5 接地双稳态NES 和接地立方NES 能量耗散率对比（τ0=100）Fig.5 Energy dissipation rates of the grounded bistable NES and the cubic NES（τ0=100）

从图5（a）可知，当激励振幅较低时，随着振幅逐渐增大，接地双稳态NES 的能量耗散率逐渐下降，但是其一直高于84%。当外激励振幅到达SIM 的第1 个阈值后，系统的能量耗散率开始上升，达到最大值约90%；当外激励振幅接近SIM 的第2 个阈值后，系统能量耗散率又开始下降；直到外激励幅值接近SIM 的第3 个阈值，接地双稳态NES 的能量耗散率恢复上升。应该指出，随着外激励幅值的变化，接地双稳态NES的能量耗散率总是高于82%。从耦合系统能量耗散率分析，接地双稳态NES 在外激励变化过程中一直维持着较高的减振性能。

从图5（b）可知，由于接地立方NES 中不存在同宿轨道，因而混沌阈值并未给出。接地立方NES 的能量耗散率变化趋势和SIM 上计算出的两个阈值相关。在外激励较低时，接地立方NES 的能量耗散率随着外激励振幅的增大而增加。直到外激励振幅到达SIM 的第1 个阈值，此时NES 的能量耗散率达到局部最大约为82%，然后开始下降；在外激励振幅到达SIM 的第2个阈值又恢复上升。

通过对比图5（a）和5（b）可以发现，接地双稳态NES 和接地立方NES 的能量耗散率在外激励幅值较高时区别并不明显，可是当外激励幅值较低时，接地双稳态NES 的能量耗散率明显要优于接地立方NES。

进一步，不同外激励下LO 的振幅响应曲线如图6所示。实线表示系统在τ∈[100，500]区间内LO的平均振幅Ae，而虚线代表这一区间内LO 的最大振幅Am。

图6 耦合接地双稳态NES 和接地立方NES 的主结构振幅响应Fig.6 Amplitude response of the main structure for coupled grounded bistable NES and cubic NES

耦合接地双稳态NES 的LO 在不同外激励振幅下的响应曲线如图6（a）所示。随着外激励的增加，主系统的振幅也随之增加，不过增加的速度和外激励阈值相关。当外激励振幅较低时，LO 的振幅和外激励振幅类似线性增长。当外激励幅值达到混沌阈值，随着外激励振幅增大，振幅增速突然提升，LO 最大振幅和平均振幅之差增大，此时系统发生暂态强调谐响应。继续增加外激励振幅，LO 最大振幅和平均振幅的差值逐渐降低。

耦合接地立方NES 的振幅响应曲线如图6（b）所示，耦合接地立方NES 的LO 在外激励作用下振幅的响应方式近似于线性。

对比图6（a）和6（b）的振幅响应曲线可以发现，在外激励较低时，耦合接地双稳态NES 系统的振动幅值明显低于耦合接地立方NES 系统；在外激励幅值较高时，两者区别不大。这和非接地的情况类似[19]。

3.2 不同外激励下的响应方式

3.1节通过对比接地双稳态NES 和接地立方NES的能量耗散率和LO 振幅以突出接地双稳态NES 的减振优势。本节具体讨论耦合接地双稳态NES 的系统在不同外激励下的响应方式以研究其动力学特性。不同外激励幅值下NES 的时间历程图如图7 所示。

图7 NES 在不同外激励下的响应Fig.7 Response of the NES under different external force

从图7 可知，双稳态系统中的响应过程和耦合系统的两个势阱相关。由图7（a）可知，当外激励较低时，NES 只能在初始平衡位置的势阱附近来回振荡。接地双稳态NES 的负刚度特性使得其能够吸收LO 的大部分能量，进而将其能量耗散率维持在较高的水平。随着外激励的增大，如图7（b）和7（c）所示，系统的运动形式转变为暂态强调谐响应，这时LO 振动的最大振幅和平均振幅之差增大。耦合系统稳定周期运动时，NES 可能跨阱运动，也可能单阱运动。由于非线性系统的混沌特性，当外激励幅值处于特定范围内时，NES 运动的方式具有较大的随机性。继续增大外激励振幅后，如图7（d）所示，耦合系统处于稳定的周期运动状态时，NES 做跨阱周期运动。

不同外激励阈值下，系统在SIM 上的投影如图8所示。从图8（a）可知，外激励阈值较低时，耦合系统的SIM 投影在系统的SIM 附近小范围振荡，不跨越SIM的稳定分支和不稳定分支。一旦外激励超过混沌阈值时，如图8（c）和8（d）所示，系统会在SIM 的稳定分支和不稳定分支振荡，以松弛振荡的形式转移耦合系统中LO 的能量。当外激励幅值较大时，如图8（d）所示，系统周期运动的投影在SIM 稳定分支上振荡。

图8 耦合系统在慢不变流形上的投影Fig.8 Projection on the SIM of the coupled system

当耦合系统能量水平较低时，NES 系统的负刚度使得耦合系统各子结构之间发生明显的能量转移，和非接地情况类似[15]，这是双稳态NES 相对于立方NES的优势。另一方面，因为其能够在较宽的频带内和LO发生内共振关系，这类接地双稳态NES 可以在较宽的频率范围内吸收LO 的能量以达到振动抑制的效果。

3.3 宽频特性

通过之前动力学分析可以发现，接地双稳态NES可以在频率较宽的范围内吸收LO 的能量实现其真的抑制的特点。不同频率下NES 的能量耗散率如图9 所示。

图9 NES 在不同频率下的能量耗散率Fig.9 Energy dissipation rates of NES under different frequencies

从图9 可知，在较宽的频带内接地双稳态NES 的能量耗散率一直都高于82%，因而其减振性能在较宽的频带内较好。进一步分析发现，在固有频率附近NES的能量耗散率达到最低值。这说明NES 可在较宽的频带内，被动吸收LO 的能量并在自身将能量耗散。

与相同质量与阻尼的调谐质量阻尼器（TMD,turned mass damper）对比，如图10 所示，解释说明接地双稳态NES 的宽频特性。

图10 主结构的幅频响应曲线Fig.10 Amplitude frequency response of the main structure

当外激励频率f 和LO 固有频率相差较远时（小于0.9 或大于1.1），NES 和TMD 的响应曲线类似。当外激励频率接近LO 共振带时，TMD 的减振性能明显不如接地双稳态NES。进一步观察发现，当外激励频率和LO 固有频率一致时，TMD 并没有很好的减振效果。耦合TMD 时LO 的振幅大于0.8，而耦合NES 时LO 的振幅不超过0.2。说明在这种条件下NES 的减振特性要优于TMD。

通过对比发现，在较宽的频率范围内NES 都可以保障LO 的振幅低于0.1，这说明NES 具有良好的宽频特性。

4 结语

本文主要研究一类接地双稳态非线性能量阱在周期激励下的动力学特性。研究结果表明，该接地双稳态NES 在外激励较低时，其负刚度特性使得其减振性能明显优于接地立方NES。进一步讨论不同外激励频率下，接地双稳态NES 的动力学特性，以及与相同质量和阻尼的TMD 的幅频响应曲线对比说明，这类接地双稳态NES 具有良好的宽频特性。