“信号与系统”中系统稳定性分析

巩亚楠 魏德旺 刘俊良 李淑晴 吕海燕

(临沂大学 山东临沂 276000)

1 “信号与系统”课程地位

“信号与系统”作为信息、电子、自控、通信等专业的专业基础课，是为后续数字信号处理、数字图像处理、通信原理、自动控制等课程的学习打下基础，“信号与系统分析”被认为是一门理解困难、计算繁杂、偏理论模型的课程。课程知识本身的复杂性、抽象性等特点，使学生在学习过程遇到很多的困难，主要表现在以下两个方面：（1）课程体系庞大、分支众多、知识抽象，在学习过程中往往难以找到各个知识相互间的联系，难以把握重点，使对基础知识理解不透彻导致核心知识理解困难；（2）课程主要在“时间域”及“频率域”下研究时间函数x(t)及离散序列x(n)，其中涉及了极其复杂、繁琐的数学推导。本科阶段，该课程涵盖了连续系统在时域内的分析方法、在频域内的分析方法、在s域内的分析方法，以及离散系统在时域内的分析方法、在z域内的分析方法。在通信和控制领域，系统描述方法具有多样化的特点，而稳定性是系统正常工作的前提条件[1]，随着科学的发展，对不同形式的系统稳定的判断方法也历经很多人的完善，形成了丰富的理论。本文就分析各种系统稳定方法的研究，从深层次上理解各方法之间的内在联系和区别。

从教育心理学的角度而言，图形、画面是人脑海中第一呈现的东西，而不是文字，形象记忆和形象思维，不仅在基础教育，而且在高等教育阶段，也是一种更轻松、更容易被学生接受的。思维导图（The Mind Map）作为一种典型的图片，是由图像、文字、分类等构成的，是一种高效、简单、直观地表达思维的工具。目前，思维导图多在中小学教学中应用，将其应用在知识容量和结构体系复杂的大学教学中，尤其是抽象的工科教学中对这方面的探讨的报道相对较少，总结起来主要集中在教师的“教”和学生的“学”两方面。在教师的“教”方面，引入思维导图创新教学模式，提出了在基于问题的学习（PBL）教学模式中引入思维导图[2]，在智慧学习环境下，讲授结合思维导图的教学模式的引入[3]，混合式教学中引入思维导图[4]，思维导图与空间课堂的联合教学法的尝试[2]，在柯氏模型中引入思维导图等[5]。利用思维导图更新教学理念，由完全的讲授法，引入图形的直观观察法，引申到问题提出和解决上。将思维导图纳入整个的教学过程中，课前引导预习、课堂教学实施、课后知识巩固复习。在学生的“学”方面，复合学习的三维学习层面，在知识目标维度上，引入思维导图，做到以点概面，便于掌握知识的重难点和知识结构的要点，达到记忆理解内容，构建学生的知识体系，优化知识架构。在能力目标维度上，绘制思维导图的过程中，增强团队协作能力，培养创新思维能力、归纳总结能力和发散思维能力，促进高级思维发展。在情感目标维度上，增强学生自主学习积极性、锻炼独立思考能力，及时地进行课堂反思，达到降低知识学习的难度。因此，本研究采用此教学的有效辅助工具思维导图的分析方法，来呈现对各种系统稳定性分析方法的总结，并讨论各方法之间的关系，最后归纳出系统稳定性的判据。

2 系统稳定性分析主要方法与关系

对系统稳定性的研究借助图1的思维导图从连续性系统和离散系统两方面分析，并单独梳理了系统稳定性的判断方法[6]。

图1 “信号与系统”中系统稳定性及其判据思维导图

2.1 连续时间系统稳定性分析

连续时间系统：某系统的输入信号和输出信号都是连续的，且其内部也未变换为离散时间信号，一般用微分方程描述。如果任意有界的激励信号，经系统处理后都可以得到任意有界的零状态响应，则称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对于众多的连续时间系统的稳定性分析方法，在此处，总结了3种比较常见的方法[7-8]。

2.1.1 时域分析法

通过求解代数微分方程，给出系统冲激响应h（t），若冲激响应满足绝对可积条件，则系统是稳定的，即存在常数M，使得

2.1.2 变换域分析法

利用拉普拉斯变换求解微分方程，得出系统函数H（s），冲激响应h（t）与系统函数H（s）构成变换对，h（t）和H（s）分别从时域和s域表征了系统的特性。求出系统极零点分布，从而分析系统稳定性，因果性，若h（t）的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则系统是稳定的。

2.1.3 罗斯-霍维茨准则

求得系数An（n=0,1,…），系统要稳定就需要实部都小于零，即系数An均同号且都不为零。若An符号一旦发生改变，则系统不稳定，并且系数符号变化的次数就是实部大于零的根个数。An的求解方法如下：判断系统函数的最高阶次，若最高次为k，则需要求解A0,A1,…，Ak，共k+1 个系数。依次将这些系数从Ak开始依次竖向排列，再将各项均按降幂排列的系统函数中的Sn（n=0,1,…，k）前的系数，从第二列开始按照只排两行从上往下、从左往右依次排列，第二列的数字即对应的An，当然还要算出其他An，第三列的系数即Bn，第四列为Cn，第五列为Dn。其中的关系表示为

通过这些表达式，可以计算出所有的行列式系数An，从而判断系统的稳定性。

2.2 离散时间系统稳定性分析

离散时间系统：若系统的各个物理量随时间的变化关系，只是在离散的时刻给出瞬时值，这种系统称为离散时间系统。和连续时间系统不同的是，连续时间系统的系统分析方法一般用微分方程描述，而离散时间系统通常用差分方程如下所示：

式（4）中，e（k）为输入激励，y（k）为输出响应[9-10]。

对于离散时间系统，稳定性判定也发展了3 种方法。

2.2.1 时域分析法

利用时域上的差分方程进行直接求解，得出单位抽样响应h（n），离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和，即

2.2.2 变换域分析法

利用z变换，在变换域内求解差分方程，得出系统函数H（z）表达式及其极零点分布情况，判断系统稳定性。H（z）和h（n）是一对z变换，若H（z）的全部极点应落在单位圆之内，即收敛域应包括单位圆在内，则系统是稳定的。下面举例说明，由差分方程求H（z）和h（n），并判定其稳定性。

2.2.3 朱里准则

设A(z) =anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0，则可以判断方程A(z) =0的根是否位于z平面的单位圆内，由下面的朱里准则，首先写出阵列：

阵列中第一行为A(z)的系数，第二行也是A(z)的系数但按反序排列，第三行按下列各式计算

第四行是将第三行的各系数反序排列，由第三、四两行再利用上述相同方法可求得第五、六两行，其公式如下：

这样求得的两行比前两行少一项，以此类推，直到第2n-3行。准则指出，A(z)的所有根都在单位圆内的充分必要条件是：

上式中关于系数的条件是，各奇数行的第一个系数必大于最后一个系数的绝对值。

2.3 稳定性判别方法

系统稳定性的判据可以分别从线性代数和求解微分方程的这两种异曲同工的代数方法和幅角技术的几何方法等方面进行考虑[11-12]。

2.3.1 劳斯稳定性判据（Routh-Hurwitz stability criterion）

劳斯稳定性判据是一种代数矩阵判据方法。它首先求解出的系统矩阵特征方程式的特征根，通过判断特征根在s平面的位置，从而决定系统的稳定与否。判断方法：特征方程的各项系数都不等于0；并且特征方程各项系数符号相同；劳斯表的第一列是否均大于零。

2.3.2 奈奎斯特稳定性判据（Nyquist stability criterion）

奈奎斯特稳定判据的内容表明，如果系统开环传递函数G(s)在s复数平面的虚轴jω上既不存在极点又不存在零点，那么系统正实部极点数Z，为

式（10）中：P为开环传递函数在右半s平面上的极点数，N为当角频率由ω=0增加到ω为正无穷时的轨迹沿逆时针方向绕着实轴上点（-1，j0）的旋转次数。如果Z=0，则闭环控制系统是一稳定系统；若Z≠0，则闭环控制系统是一不稳定系统。分别从幅度和相位角度判定系统的稳定程度和系统的稳定条件就成为了这种判断方法的特点。

2.3.3 根轨迹法

不同于直接求解特征方程的方法，EVANS W R提出用作图的方法描述特征方程的根与系统某一参数的全部数值之间的对应关系。当这一参数取特定值时，从上述关系图就可以读取对应的特征根。系统的根轨迹法既可以给出结构和参数已知的闭环系统的稳定性和系统的瞬态响应特性分析方法，又可评估参数改变对系统性能的影响。由此，设计线性控制系统时，不仅可以根据对系统性能指标的规定求解可调整参数，而且可以求解系统开环零极点的坐标，即根轨迹法可以在系统的分析与综合设计中发挥作用。

2.3.4 李雅普诺夫稳定性方法（Lyapunov stability criterion）

李雅普诺夫第一法是首先通过求解系统微分方程，随后根据解的性质来评判系统的稳定性；李雅普诺夫第二法是根据能量参数进行稳定性分析，当一个系统获得激励信号后，其储存的能量是与时间密切相关的，随着时间的逝去，储能将逐渐削弱，当达到平衡状态时，能量将随之达到最小值。只有清晰地了解了各种稳定性判据的概念，才能灵活运用各种方法判断系统的稳定性。

3 结语

经过上述分析与总结，对于系统稳定性分析有了清晰的思路。就连续时间系统与离散时间系统稳定性分析时用到的方法进行归纳总结，以及它们之间的内在关联和稳定性判别的4 种方法进行细致阐述，将碎片化、离散化的知识有机结合，利于学生更直观地掌握“信号与系统”这门课程的知识架构，针对不同的系统环境，可以根据具体的实际应用灵活选择合理、便捷的稳定性分析方法。