初中数学解题中的“反证法”探析

徐冬平

（临夏州积石山县移民初级中学 甘肃 临夏 731799）

引言

反证法的思维模式与正向思维方式截然不同，在使用反证法解决数学问题时，学生常会用到“由果溯因”这一思维模式。初中数学课堂中，教师应重视使用相应的例题，培养学生的逆向思维，锻炼学生对此种解题方法的应用。本文举例了几种典型的可以使用“反证法”解决的问题，结合问题不难看出，反证法的思维方式是十分巧妙、独特的，学生可使用这些思维方式轻松地解决一些难度大的数学问题，并在此过程中，得到思维能力、问题解决能力的提升。

总而言之，反证法在初中数学解题中的应用是十分广泛的，它尤其可被用来解决一些基本性质、定理、重要结论类的问题，故而在教学过程中，教师必须多为学生传授“反证法”。

1.反证法的解题步骤介绍

对反证法的应用一般需要经历“反设——归谬——结论”三步骤，三步骤形成了一个整体。具体应用中，我们首先应反设，这是以反设法解题的前提，对解题进度、结果有着明显影响，反设时，可先明确题设的条件，之后找到对立的假设，再否定或肯定结论，实现反设。第二步归谬是使用反证法解题的重难点，主要指的是使用反设引发矛盾，因此在实际的解题过程中，解题者必须结合推理的主要方向，反设后条件部分，对如何找出题目中包含的矛盾形成初步思路。结论是反证法的第三步骤，主要指的是得出最终结果的过程。在上一步中，我们通过归谬得到的矛盾并非新理论，而是经由反设形成的理论，在此种情况下，命题原先的结论才得以真正成立，到此为止，全部的解题步骤已经完成，使用反证法证题的目的已达到。

在上述解题过程中，找到矛盾是最关键也最难的一步，通常情况下，在使用反证法的过程中，我们最容易接触到的矛盾有自相矛盾、与假设矛盾、与已知条件矛盾、与定理定义公理矛盾等。使用反证法证明问题，有利于帮助解题者越过障碍。在反证法的助力下，有时我们甚至可以使用小学知识解决一些难度较高的数学问题，反证法的优点也由此彰显。此外，对问题实施反设，也使得解题条件相较于过去有所增加，这也能够看出反证法在解题过程中有着极为突出的优势。

需要注意的是，整体看来，反证法的步骤是较好理解的，但实际解题中，我们必须高度重视反设的正确性。在结论存在多种情况或较为隐晦时，反证常会存在一定的困难。下面总结常用的互为否定形式的词语，以供参考：

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通常情况下，学生需要认真琢磨的结论有至少有一个、至多有n 个、至多有一个等等，在教学过程中，教师可结合这些结论，引导学生深刻领悟一个也没有、至多有两个、至多有n 个这些命题的含义，确保学生能够顺利地完成证明过程，使数学证明变得更为简单且便捷。

2.使用反证法解题的注意事项

2.1 正确否定结论

如下命题就可使用反证法来解决：“在一个三角形中，内角最多只有一个是直角。”，它代表两种情况：没有一个或仅有一个，其反面情况分为两种：三个内角均为直角、两个内角为直角。

从这一例子不难看出，在使用反证法解题的过程中，我们首先应当结合题型结构，使用反证法进行否定，从而肯定原有结论，在否定原始结论的过程中，我们应使用逻辑推理找到矛盾所在的位置，适时制造矛盾。通过反证法，学生能够更好地训练自己的逆向思维，并使用逆向思维完成解题。整体上来看，在现阶段的初中数学教学中，借助反证法解题培养学生的逆向思维，不仅有利于增强学生的思维能力，还有利于提升初中数学的教学质量，符合课程改革与素质教育的要求。

2.2 明确推理特点

反证法的核心内容是对结论实施否定，从而推理得出矛盾。但具体应用时，我们一般会先预测矛盾的出现。一般来讲，在实际解题中，我们需要先猜想矛盾出现的相关领域，通常情况下此领域与命题有关，举例而言，学生在解答平面几何问题时，就需要回忆与平面几何有关的公理、定义与定理，这是应用反证法解题的重要举措，一般情况下，很难预测、规定矛盾，当然这也无必要。在实际的解题过程中，我们只要能够证明假设无误、推理严谨、有理有据，就可找到矛盾并进行证明。

2.3 辨析矛盾种类

辨析矛盾种类也是使用反证法证明命题的一个重要环节。在实际操作中，我们是否只能够导出矛盾于题设或部分题设的结果呢？答案当然不成立。矛盾的结果是十分复杂的，或与题设相矛盾，或与已知命题相矛盾，有时亦可矛盾于已知定义、公理、定理或性质。

3.反证法在初中数学解题中的作用

3.1 反证法在初中数学解题中的魅力

在初中数学解题中，反证法属于典型的间接证法，是一种使用逆向思维进行解题的方法。所谓的逆向思维，在实际应用中有着这样的特点：从命题的题设切入，找到题目的矛盾，最终确定命题真实与否。整体上看来，在初中数学解题中，反证法有着思想独特、手段灵活的特点，学生若能够得心应手地使用反证法证明题目，一定能够感受到这种思维方法蕴含的无穷魅力。但是，在实际教学中，我们常常能够观察到，很多初学者常会因为反证法使用的是逆向思维，而不习惯使用这种证明方法，很多学生很难把握到这种证明方法的要领，部分学生甚至会对反证法避而不用。在证题术中，反证法占据着极为重要的地位，学生不仅能够运用它来完成论证，还能够在论证过程中得到很多全新的发现，由此可见反证法具有的巨大魅力。总之，只要能够正确理解反证法的规律，学生是可以对这种证明方法运用自如的，在不断运用反证法解题的过程中，学生终究会培养出清晰、缜密的逻辑思维能力，认识到这是一种使用起来十分便捷、灵活的方法，实现对数学题的高效解答，获得核心素养的生成与发展。

3.2 结合生活实际，运用数学思维解题

在数学教学过程中，教师必须重视培养学生的数学思维能力尤其是逻辑思维能力，多引导学生结合过去做过的题目，不断思考、归纳解题技巧，在一次次的复盘中，习得良好的数学解题能力。在实际教学中，教师应指导学生在遇到困难时，不轻易说放弃，增强自己的自信心，学会使用反证法等巧妙的解题方法应对挑战。目前看来，反证法在学生的生活中也有着极为重要的作用，在数学解题教学中，教师常常会思考如下这一问题：如何使用反证法，培养学生的思维能力。结合课程改革理念可知，培养学生的思维能力必须做到“以学生为主体”，必须做到“从学生的真实状况出发”，基于这一理念，在日常教学中，教师必须引导学生将反证法使用到现实生活当中，学会结合实际生活解答数学问题，使数学解题过程变得更为有趣、精彩。在具体的课堂教学中，教师必须注意不要“照本宣科”，要学会引导学生的探索兴趣，多调动学生的学习积极性，将数学思维真正渗透到学生的学习过程当中，引导学生将学习数学视作一件趣味无比的事情去做，使学生真正爱上数学这门学科，促进学生核心素养与学习能力的均衡发展。

4.初中数学解题中应用反证法示例

目前看来，初中数学中，能够使用反证法进行证明的命题，大体可被分为五种：定理性命题、无限性命题、唯一性命题、肯定性命题、否定性命题。本文主要例谈了对无限性命题与否定性命题的证明，如下：

4.1 对无限性命题的证明

“无限”、“无穷”等概念，常出现在求证命题当中，学生使用正面思维去证明此类命题，常会感到缺乏头绪，此时使用反证法就显得十分必要了。

[案例1]求证：0 与1 之间存在无穷个有理数。

证明：假设有无穷个有理数在0 与1 之间，分别为a1、a2、a3...an。将这些有理数相乘可得b=a1·a2·a3·...·an。依照“有理数的积仍是有理数”，我们可以得出，b 必然是位于0 到1之间的有理数，在此基础上，我们能够推导出，0～1 之间的有理数有n+1 个，这与题设必然是矛盾的，故而我们可以推出在0 到1 之间的确有着无穷个有理数。

4.2 对否定性命题的证明

否定性命题的反设必然就是肯定性命题。实际解题中，我们只要能够找出否定性命题中的“特殊”，就能够对命题实施否定，达到顺利解题的目的。

[案例2]求证：已知n 为自然数，求证n2+n+2 不能被15整除。

证明：若n2+n+2 能够被15 整除，可以确定这一式必然也能够被3 或者5 整除。若该数为5 的倍数，其尾数必然为5，可对式实施分解：n2+n+2=n（n+1）+2，当尾数为5 时，该数必然为奇数，但从上式可看出，该数应为偶数，存在矛盾，故而能够证明原命题成立。当该数的尾数为0 时，我们可知n2+n 的尾数是8，对于任意自然数，n（n+1）的结果都不会为8，存在矛盾，故而能够推出原命题成立。综合上述两点结论，我们最终可推出n2+n+2 不能够被15 整除。

结语

目前看来，反证法在初中数学解题中，有着一定的地位，涉及反证法的初中数学题，通常有着较深的内涵与较广的外延，在使用正向思维解决此类问题的过程中，学生常会遇到各种各样的问题，为帮助学生解决学习过程中遇到的困难，教师应积极为学生传授反证法，引导学生使用反证法解决问题。但目前看来，很多学生在遇到难题时，往往不会第一时间想到用反证法来解决，或在解题过程中，迟迟难以找到与原命题矛盾的反设，这说明学生掌握反证法存在一定的缺憾。针对此类问题，建议教师强化对反证法的讲解，引导学生看透反证法的本质，并把握反证法的解题规律，最终思路清晰地解答问题，这能够显著提升学生的解题能力。