高中物理教学中“微元法”教学策略初探

邹燕

［摘 要］微元法是最近几年高考常考查的方法，同时也是学生较难掌握的一种方法。文章从微元法的概念入手，讨论了在高中物理教学中“微元法”的教学策略及相关注意点。

［关键词］微元法；高中物理；教学策略

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）17-0049-03

在新课程改革的大背景下，物理学科教学越来越关注学生对科学方法及相关规律的合理应用。《普通高中物理课程标准》中提到“通过物理概念和法则的学习理解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用”，可见课程标准对物理模型和数学工具提出了较高的要求。“微元法”是高中物理教学中处理变化问题时常用到的一种方法，也是初中学生没有涉及的思想方法。本质上，微元法属于高等数学中的微积分，虽然微元法在高中阶段的表现形式仍然是初等数学，但该方法已经需要运用极限、积分等高等数学的思想方法，因此学生掌握起来比较困难，该内容也一直是教学难点。怎样通过采用一些有效的教学策略帮助学生理解掌握微元法的思想与方法，并使学生能够灵活运用该方法解决实际问题是值得教师思考的问题。

一、微元法的基本概念

在高中物理学习过程中，学生因为数学知識的不足而难以解决一些涉及高等数学思想的问题。例如计算匀变速直线运动的位移、计算变力做功、推导曲线运动向心加速度的表达式等问题。这些问题对中学生来说是一个很大的难题。但运用“微元法”能够解决这些问题。“微元法”是指将一个整体的对象分成无穷多个很小的对象，然后对每个微小的对象进行分析，最后再将每个微小的对象累计起来。微元法是分析解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思考方法。通过微元法可以用我们熟悉的物理法则迅速化简复杂的物理过程，并简化所要求的问题。使用微元法，可以强化对已知法则的再思考，进而加深认识，提高能力。

在大学物理中，微积分是最基本的数学工具，但高中物理教学中并没有用微积分来解决问题。因此，很多学生在进入高校后一开始很难适应用高等数学解决问题，仍然习惯运用初等数学来处理变化的问题，造成物理学习困难。为了更好地与中学物理衔接，在中学物理教学中必须渗透这种思想。这也是教材编写者在编写教材时要考虑的问题。

二、微元法的教学策略

（一）以书本为载体，渗透微元法的思想

教材是教学的重要材料与基础，目前各个版本的高中物理教材中均涉及微元法的思想。教师在教学过程中应当梳理教材中涉及微元法思想的内容，在新授课时将微元法的思想渗透到相关的教学内容中，引导学生用微元法的思想来思考、解决问题，让学生在潜移默化中逐渐体会微元法的思想及本质。下面以人教版教材为例，选取教材中几处涉及微元法思想的内容进行讨论。教师在教学中应当特别关注这些内容，有意识、有层次地将这种思想方法渗透到课堂教学中。

1.匀变速直线运动的位移

必修一教材第二章第三节“匀变速直线运动的位移与时间的关系”中讨论了微元法的思想。

本节内容，教材通过匀速直线运动[v-t]图像中位移的表达方式类比匀变速直线运动的位移也可以用图像来表示，课本的思路是将过程先进行有限的分割，然后引导想象：如果将整个运动过程划分得非常细，许多小矩形的面积之和可以非常精确地表示物体的位移，并且这些小矩形结合成梯形OABC。梯形OABC的面积表示做匀变速直线运动物体从O到t的时间间隔的位移［1］。

教材非常形象生动地介绍了微元法的基本思想，不但深入浅出，而且非常到位，学生也第一次体会到微元法思想的精妙之处。在教学过程中，教师应当基于教材表述，结合生活中一些学生熟悉的场景或者模型帮助学生更加深刻地体会微元法的核心思想，同时可选择一些相关的练习巩固学生对这些内容的掌握。

2.曲线运动

必修二教材第六章第1节“圆周运动”也很好地体现了微元法的思想。教材首先是在引入“线速度”与“角速度”的定义时，利用微元法思想取了一个“时间元”[Δt]，然后进行逼近，也就是当“[Δt]→0”时，就是对应时刻的瞬时速度，这样就将一个过程逼近为一个时刻。同样在分析曲线运动的方向与轨迹切线关系时，也用到了割线向切线逼近的思想，从而达到“化曲为直”的目的。另外，教材在讨论处理运动轨迹不是直线也不是圆周运动的曲线运动时，都运用了微元法。

曲线运动的概念及处理方法是高中物理教学的重要内容之一，学生在学习本章内容时容易思维固化，往往只是记住几个公式，对于公式的形成及背后的物理意义并不了解。对向心加速度概念，很多学生就算是到了高三阶段，仍然只记得向心加速度的表达式，无法阐明表达式的推导过程及其中运用的物理规律及方法，因此教师在教授该知识点时应当引导学生对加速度表达式的产生进行详细推导，让学生掌握：当条件满足“[Δθ]→0”时，弧线的长度与弦的长度相同；当“[Δθ]→0”时平均加速度就等于瞬时加速度。

3.重力势能

在必修二教材第八章“机械能守恒定律”中，当讨论重力做功特点时所采用的逻辑方法是从特殊到一般，即先是竖直向下的直线情况，再是斜直线情形，最后是任意曲线情形。讨论物体沿任意曲线运动过程中重力做的功时，书本的分析大意是：

如图1所示，假设某物体沿着某个路径从高度为h1的起点[A]移动到高度为h2的终点[B]，并将整个路径分割成较短的间隔[AA1]，[A1A2]，[A2A3]……由于每一级都很小，所以可以近似于倾斜的直线。每段小斜线的高度差分别是[Δh1]，[Δh2]，[Δh3]……那么，物体通过各段的小斜线时重力做的功分别是[mgΔh1]，[mgΔh2]，[mgΔh3]……物体通过整个路径时重力做的功就是各个部分的功的代数和，即[WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+……=mgh1-mgh2]。

本段内容是教材上对于微元法最为全面的描述，它描述了从“取元”到“叠加”这一完整的解决问题过程。教师在讲授本节内容时应特别重视该部分内容，不能将重力做功与路径无关的结论直接告诉学生，而忽略了上述推导证明过程。当学生理解了运用微元法分析该过程的实质后，也会用同样的方法分析静电场力做功的特点，从而加深对保守力做功特点的理解。

上述所列举的三个例子均是学生在高一阶段所学的内容，教师应当重视在该阶段运用教材中的内容将微元法的思想介绍给学生，在高一阶段就让学生体会微元法的本质与处理方法，从而为下一阶段用该方法解决更复杂的问题打下基础。

（二）以习题为手段，强化微元法的使用

物理习题是对真实物理情境的加工简化，将所要考查的知识镶嵌到具体的题目情境中，以期考查学生对物理知识、规律、方法的掌握程度以及学生的物理建模能力、问题解决能力。分析解答物理习题是促进学生理解掌握物理知识方法的重要手段之一。教师可以通过呈现包含微元法思想的习题并让学生解答，以此检验学生对微元法思想的掌握情况，并强化学生对微元法的使用，同时通过习题训练也能进一步加深学生对微元法思想的理解。在近些年全国高考物理试题中，多次出现需要运用微元法来解答的试题。下面以江苏省高考物理试卷中的一道题为例讨论微元法的应用。

如图2所示，在水平面内三角形顶角[θ=45°]的固定导轨MON放置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的长直导线在一个水平外力的作用下垂直于导轨的ON边以不变的速度[v0]向右匀速运动，导线单位长度的电阻为r，导线与导轨的接触点为a和b，从直导线在O处时开始计时，若在[t0]时刻撤去外力，求导线最终停在导轨上的位置坐标。

［分析］由牛頓第二定律有：[F=ma]           ①

由动量定理有：[FΔt=mΔv]

在上面的解题过程中，主要运用了①②③这三个式子，因为去除了外力的杆会做加速度变小的减速运动，故用一般方法无法解决。这时可取时间元[Δt]，通过整理并且两边进行叠加发现[lvΔt]可以表示杆子扫过的梯形面积S，而[Δv]为全过程的速度的变化量，此时问题就能迎刃而解了。可见微元法是解答此问的关键，也是学生处理这个问题的瓶颈。

（三）以数学为依托，深化对微元法的理解

在高中数学教学中，也会对微元法的相关概念进行讨论，教师可以查看数学教材中对微元法思想的相关阐述，再结合物理学科背景进行教学，这样有助于学生对微元法进行迁移运用，加深学生对微元法思想的理解。

1.强调微元法的数学思想

运用微元法解题时，一般从对事物的极小部分（微元）的分析着手，通过各部分的叠加，达到解决整个问题的目的。微元法的思路是先“分割取元”，接着对元进行逼近与分析，所谓逼近就是指当你正确取元后，你的研究对象或过程就与某些便于处理的模型和物理过程接近了，比如说当取时间元[Δt]后，此时研究的过程就向匀速运动逼近，就可以将其作为匀速直线运动来处理了。最后就是将各个元进行叠加，从而得到整体的结论［2］。

2.深化对微元法的理解

微元法的核心之一就是“元分割”与“元叠加”。分割取元一般有两种情况：

一是将研究对象进行分割。比如一根有长度的金属棒可以将其分割为无限多个[Δl]的元长度；一个带电体可以将其分割为无限多个[Δq]的元电荷；一条曲线也可以分解为无限根直线；等等。

二是将研究的过程进行分割。比如变速运动可以分割为无限个匀速直线运动的元过程；变力做功过程可以分割为无限个恒力做功的元过程；等等。

微元法最关键的地方就是能够根据不同的情况合理地选取“元”，不可以盲目地进行分割取元。要想合理地取元，必须与后一步“逼近与分析”联系起来，也就是说取元的目的应当非常明确，取出来的“元”一定是我们容易处理的物理模型或过程，不然取出来的元是没有意义的。

对元的选取要注意两点：首先，要确保所取的元具有可相加性，不然这些元最后将无法相加，以至于无法反映整个对象的特性。其次，要确保所取的元没有遗漏与重复，否则将无法得到正确的整体性质。“元叠加”这一过程其实就是高等数学中的积分，在中学也就是两边的无限求和，用“[Σ]”表示。在中学物理中遇到的叠加问题都是有其宏观的物理意义。比如说“[vΔt]”就表示全过程的位移，[Δv]表示初、末速度的变化量等。在分割取元时应当要考虑将元叠加后应该有宏观的物理意义。

（四）以生活为经验，内化微元法的内容

通过与学生的交流发现，学生较难掌握微元法的重要原因是生活中并没有直观的模型或经验，这样学生就难以接受与理解微元法。其实生活中涉及微元法的思想很多，教师可以选择适当的例子，通过视频、实验等展现给学生，让学生体会微元法思想在生活中也是常见的，是真实的，以此帮助学生接受微元法思想，实现知识的内化。

例如，微元法思想在“化曲为直”分析中的运用，教师可以地球为例来展示，教师先问学生“当大家在高处往空旷的远方眺望时，觉得地面平直吗？”，学生凭借经验会得到肯定的结论，接着教师拿出地球仪，让学生思考“大家都知道地球是一个球体，其表面应当是曲面，但为什么地面上的人看到地面却觉得它是平面呢？”。该问题可引发学生的认知冲突，学生通过思考与讨论发现实际上就是由于在地面上的人看到的平面仅仅是整个地球表面非常小的一部分，相对于整个球面而言该部分就是一个“面元”，当然非常小的“面元”就可近似视为平面，这就是微元法在“化曲为直”分析中的一个具体运用。当学生理解了这个例子后，对微元法的思想自然能接受，同时对该种方法也有了更加深刻的理解。又比如对将变化的过程处理为多个不变过程的叠加时，可以用植物的生长过程来类比。用摄像机快速播放植物几个月内的生长过程，人们可以非常明显地观察到植物的生长变化，但生活中我们就算观察植物一整天也无法发现植物在生长。这是因为相对几个月而言，一天的时间是非常短的，相当于“[Δt]→0”这个条件，因此对整个变化过程（几个月中植物的生长），我们可以将其分解为多个近似不变的过程（一天中植物的生长）的叠加来处理。

总之，微元法是人类研究数学和物理问题的重要思想方法。中学物理教师要在实践中让学生掌握这种方法，让学生体会微元法思想的重要性。

［   参   考   文   献   ］

［1］  人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 物理 必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006.

［2］  沈晨.更高更妙的物理 ［M］.杭州：浙江大学出版社，2007.