“集合和常用逻辑用语、函数、导数及其应用”跟踪练习

■河南省濮阳市第一高级中学 袁媛

一、单选题

1.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤4},集合B={(x|log2x≤1},则A∩(∁UB)=( )。

A.(0,1) B.(2,4]

C.[1,4] D.(0,4]

A.{x=1,y=-1}

B.{1}

C.{(1,-1)}

D.{(x,y)|(1,-1)}

3.已知命题p:∃x≥0,cosx≤ex,则为( )。

A.∀x≥0,cosx＞ex

B.∃x＜0,cosx＞ex

C.∀x＜0,cosx＞ex

D.∃x≥0,cosx＞ex

4.若{b}={x|ax2-4x+1=0}(a,b∈R),则a+b等于( )。

5.已知不等式m-1＜x＜m+1成立的充分条件是,则实数m的取值范围是( )。

6.已知集合A={0,1,a2},集合B={0,1,2a+3},若A=B,则实数a=( )。

A.-1或3 B.0或1

C.3 D.-1

7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x-1)是偶函数,当1≤x≤3时,f(x)=2x+,则f(log240)=( )。

8.“a=1”是“函数f(x)=lg(-x)(a∈R)是奇函数”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.已知7p=8,8q=9,pr=q,则p,q,r的大小关系为( )。

A.r＞p＞qB.q＞p＞r

C.q＞r＞pD.p＞q＞r

10.函数f(x)=(ex+e-x)cos 2x的图像大致为图1中的( )。

图1

11.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注。深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的。在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度。已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg2≈0.3)( )。

A.75 B.74 C.73 D.72

12.已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)-1为奇函数,为偶函数,f(0)=3,则下列结论正确的是( )。

A.函数f(x)的周期为3

B.f(-1)=-1

C.f(2 023)=0

D.f(2 022)=-1

13.在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成的一个集合称为“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论:①2 013∈[3];②-2∈[2];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数a,b属于同一“类”,则a-b∈[0]。其中正确结论的个数为( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

14.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x),且f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1]时,f(x)=x3。则下列结论正确的是( )。

A.函数y=f(x)的图像关于点(k,0)(k∈Z)对称

B.函数y=f(x)的图像关于直线x=2k(k∈Z)对称

C.当x∈[2,3]时,f(x)=(x-2)3

D.函数y=|f(x)|的最小正周期为2

15.已知函数f(x)=若满足f(a)=f(b)=f(c)(a、b、c互不相等),则a+b+c的取值范围是( )。

A.(3,2 023) B.(3,2 024)

C.[3,2 024) D.[3,2 025)

16.已知方程|log2x|+=0有两个不同的解x1,x2,则( )。

A.x1x2=B.x1x2=1

C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1

17.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且满足f'(x)+f(x)=e-x,f(0)=0,则不等式(e2x-1)f(x)＜e-的解集为( )。

C.(-1,1) D.(-1,e)

18.已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0的解集为[-2,+∞),则实数a的取值范围是( )。

19.已知函数f(x)=,g(x)=ex--x,若∃x1,x2∈[1,2],使|g(x1)-g(x2)|＞k|f(x1)-f(x2)|(k为常数)成立,则k的取值范围为( )。

A.(-∞,e-2] B.(-∞,e-2)

20.已知m,n为实数,不等式lnx-2mx-n≤0在(0,+∞)上恒成立,则的最小值为( )。

A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

21.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )。

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

二、多选题

23.已知f(x),g(x)都是定义在R上且不恒为0 的函数,则下列结论正确的是( )。

A.y=f(x)·f(-x)为偶函数

B.y=g(x)+g(-x)为奇函数

C.若g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则y=f(g(x))为奇函数

D.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=f(x)-g(x)为非奇非偶函数

24.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=2 对称,当x∈[0,2]时,f(x)=x2,若方程f(x)=4loga(x+5)(a＞0,且a≠1)在[-4,6]上恰有5 个实数解,则下列结论正确的是( )。

A.f(x)的周期为4

B.f(x)在[8,10]上单调递减

C.f(x)的值域为[0,2]

D.7＜a＜11

25.已知函数f(x)=ex+2,则下列结论正确的是( )。

A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-2

B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是3

C.过点(0,2)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条

D.过点(1,4)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条

三、填空题

26.已知函数f(x)=为偶函数,则实数a=_____。

27.计算log332·log49-+log26的值为_____。

28.若函数f(x)=λx3+(λ-2)x2是奇函数,则曲线y=f(x)在点(λ,f(λ))处的切线方程为_____。

29.若函数f(x)=x2-2x+1 在区间[a,a+2]上的最大值为4,则实数a=____。

30.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如图2所示:

图2

横轴为投资时间(单位:天),纵轴为回报,根据以上信息,若使回报最多,则下列说法正确的是____。

①投资3天以内(含3天),采用方案一;

②投资4天,不采用方案三;

③投资6天,采用方案二;

④投资10天,采用方案二。

31.已知函数f(x)=则关于x的不等式f(1-x)＜f(2-x)的解集为____。

32.若函数f(x)=log2|a+x|的图像不过第四象限,则实数a的取值范围为_____。

33.若命题:“∃x0∈R,使-(m+1)x0+1≤0”是假命题,则实数m的取值范围为_____。

34.已知函数y=f(x)的对称中心为(0,1),若函数y=1+sinx的图像与函数y=f(x)的图像共有6 个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则=_____。

35.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x+1)是偶函数,g(x)=(x-1)f'(x)-1恰有4个零点,则这4个零点的和为____。

36.设x,y∈R,a＞1,b＞1,若ax=by=3,3a+b=18,则的最大值为_____。

37.已知函数f(x)=ln(ex+1)-kx是偶函数,函数g(x)=则g(g(-2))=____。

38.已知函数f(x)=+x,若f(2x-1)+f(2-x)＞0,则x的取值范围是____。

39.设函数y=f(x)在R上存在导数y=f'(x),对任意的x∈R,有f(x)-f(-x)=2sinx,且在(0,+∞)上f'(x)＞cosx。若-f(t)＞cost-sint,则实数t的取值范围为_____。

40.已知函数f(x)=lnx-x2,直线l:x+y-4=0,A为函数f(x)的图像上一动点,B为直线l上的动点,则|AB|的最小值是_____。

41.已知直线y=ax+b与曲线y=alnx+2相切,则a2+3b2的最小值为____。

42.已知函数f(x)=若关于x的不等式4ef2(x)-af(x)+=0 恰好有6 个不同的实数解,则a的取值范围是____。

43.已知函数f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c),其中a＞b＞c,给出下列四个结论:

①1＜c＜2;

②b+c＞2;

③a+b+c=6;

④abc的取值范围为(0,4)。

以上正确结论的序号是_____。

四、解答题

45.已知集合A={x|y=},集合B={x|y=ln(4-3x-x2)},集合C={x|m+2＜x＜2m-3}。

(1)设全集U=R,求(∁UA)∩B;

(2)若A∩C=C,求实数m的取值范围。

46.已知m∈R,命题p:∀x∈[0,2],m≤x2-2x;命题q:∃x∈[0,+∞),使得方程2x+3=m成立。

(1)若p是真命题,求m的取值范围;

(2)若p,q只有1 个为真命题,求m的取值范围。

47.已知f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=,且f(x)+g(x)=2x+1。

(1)求函数f(x),g(x)的解析式;

(2)求不等式2[f(x)]2-3g(x)≤8 的解集。

48.已知函数f(x)=1-(a＞0且a≠1)为定义在R上的奇函数。

(1)利用单调性的定义证明:函数f(x)在R上单调递增;

(2)若关于x的不等式f(mx2-1)+f(2-mx)＞0 恒成立,求实数m的取值范围;

(3)若函数g(x)=kf(x)-3x有且仅有2个零点,求实数k的取值范围。

49.已知函数f(x)=+ax2+bx+ab(a,b∈R)。

(1)若f(x)是奇函数,且有3个零点,求b的取值范围;

(2)若f(x)在x=1 处有极大值,求当x∈[-1,3]时f(x)的值域。

50.已知f(x)=lnx-kx+1(k∈R),g(x)=x(ex-2)。

(1)求f(x)的极值;

(2)若g(x)≥f(x),求实数k的取值范围。

51.已知函数f(x)=ex--ax(a∈R)。

(1)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围;

52.已知f(x)=(x-1)2ex-+ax(x＞0,a∈R)。

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当a=0 时,判断函数g(x)=f(x)+lnx-的零点个数,并说明理由。

53.设a∈R,函数f(x)=lnx-ax。

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(e,f(x))处的切线方程;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)若函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求证:lnx1+lnx2＞2。

54.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax。

(1)若f(x)存在唯一零点,求实数a的取值范围;

(2)当n∈N*时,证明:(1+3-1)(1+3-2)(1+3-3)…(1+3-n)＜。