浅析常用逻辑用语的命题方向

■甘肃省教育科学研究院 卞蕾

在高考中,常用逻辑用语一般与其他知识相结合,主要考查命题及其关系、含逻辑联接词的命题的真假判断、存在量词命题与全称量词命题的判断及其否定的书写、充要条件的判定,通常有以下六个命题方向。

一、充分条件与必要条件的判断

充分条件、必要条件、充要条件的考查范围广,需要同学们注重对综合知识的积累。

例1已知p:方程x2-4x+4a=0有实根;q:函数f(x)=(2-a)x为增函数。则p是q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：因为方程x2-4x+4a=0 有实根,所以Δ=16-16a≥0,所以a∈(-∞,1];因为函数f(x)=(2-a)x为增函数,所以2-a＞1,所以a∈(-∞,1)。因为(-∞,1)真包含于(-∞,1],所以p是q的必要不充分条件。故选B。

例2已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-a)2+y2=16,其中a＞0,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( )。

A.3＜a＜5 B.3＜a＜6

C.4＜a＜5 D.2＜a＜5

解析：由题意知C1(0,0)且半径r1=1,C2(a,0)且半径r2=4,结合a＞0,可知当r2-r1＜a＜r2+r1时,两圆相交,则3＜a＜5,所以A 选项为3＜a＜5的充要条件;B,D选项为3＜a＜5 的必要不充分条件;C 选项为3＜a＜5的充分不必要条件。故选C。

例3若x＞0,y＞0,则“x+y＜4”的一个必要不充分条件是( )。

A.x2+y2＜8 B.

C.xy＜4 D.

二、根据充分必要条件求参数的取值范围

在由充分必要条件求解参数的取值范围问题时,一定要注意端点是否能取到。

例4若“1＜x＜2”是“不等式(xa)2＜1 成立”的充分不必要条件,则实数a的取值范围为( )。

A.[1,2) B.(1,2]

C.[1,2] D.(1,2)

解析：由(x-a)2＜1得a-1＜x＜a+1,因为1＜x＜2是不等式(x-a)2＜1成立的充分不必要条件,所以即解得1≤a≤2。故选C。

例5设p:2x2-3x+1＜0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)＜0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围为( )。

三、全称量词命题与存在量词命题的真假

例6已知命题p:∃x∈N,使得 ex＜0(e为自然对数的底数);q:∀x∈R,都有x2+|x|≥0,则下列判断正确的是( )。

A.p真,q假 B.p真,q真

C.p假,q真 D.p假,q假

解析：因为∀x∈N,都有ex＞0,所以命题p为假命题;因为∀x∈R,都有x2≥0,|x|≥0,所以x2+|x|≥0,所以命题q为真命题。故选C。

例7下列命题中为假命题的是( )。

A.∃x∈R,sinx=

B.∃x∈R,lnx=-1

C.∀x∈R,x2＞0

D.∀x∈R,3x＞0

解析：对于选项A,因为-1≤sinx≤1,所以∃x∈R,sinx=,所以选项A 的命题为真命题;对于选项B,当x=时,lnx=-1,所以选项B 的命题为真命题;对于选项C,当x=0时,x2=0,所以选项C 的命题是假命题;对于选项D,因为y=3x的值域为(0,+∞),所以∀x∈R,3x＞0,所以选项D的命题为真命题。故选C。

四、全称量词命题与存在量词命题的否定

全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换,结论变否定。全称量词命题和存在量词命题的否定要注意是全否,而不是半否。

例8命题“∃x∈[-1,2],x2＜1”的否定是( )。

A.∃x∈[-1,2],x2≥1

B.∃x∉[-1,2],x2＜1

C.∀x∈[-1,2],x2＜1

D.∀x∈[-1,2],x2≥1

解析：由存在量词命题的否定知原命题的否定为“∀x∈[-1,2],x2≥1”。故选D。

五、根据命题的真假求参数的取值范围

在解决求参数的取值范围问题时,可以先假设两个命题都为真命题,如果哪个是假命题,去求真命题的补集即可。由全称量词命题和存在量词命题的真假判断来求参数问题相对较难,要注意端点是否可以取到。

例10已知命题p:∀x∈R,a＜3x2024+1,若p为真命题,则实数a的取值范围为_____。

解析：若“∀x∈R,a＜3x2024+1”为真命题,则等价于a＜(3x2024+1)min。因为x2024≥0,当且仅当x=0 时,等号成立,所以3x2024+1≥1,即(3x2024+1)min=1,所以a的取值范围为(-∞,1)。

例11已知命题“若x＞a,则＞0”是真命题,则实数a的取值范围为____。

解析：由＞0可得x(x-1)＞0,解得x＞1或x＜0。因为“若x＞a,则＞0”是真命题,所以x＞a能使x＞1或x＜0成立,即a≥1,故实数a的取值范围为[1,+∞)。

例13若命题“∃x∈[1,2],使得x2+lnx-a≤0”为假命题,则实数a的取值范围为_____。

解析：由命题“∃x∈[1,2],使得x2+lnx-a≤0”为假命题,可知当x∈[1,2]时,x2+lnx＞a恒成立,所以只需a＜(x2+lnx)min。设f(x)=x2+lnx,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以a＜f(1)=1。故实数a的取值范围为(-∞,1)。

六、有关命题的综合性问题

例14下列说法正确的是( )。

A.命题“∀x＞0,x2+x＞1”的否定是“∃x0＞0,+x0＜1”

B.“α＞β”是“sinα＞sinβ”的必要不充分条件

C.命题“∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立”为真命题

D.“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件

解析：对于选项A,“∀x＞0,x2+x＞1”是全称量词命题,其否定是存在量词命题,该命题的否定为“∃x0＞0,+x0≤1”,所以选项A 错误;对于选项B,“若sinα＞sinβ,则α＞β”是假命题,如,所以选项B错误;对于选项C,取α=β=0,则sin(α+β)=sin 0=sin 0+sin 0=sinα+sinβ,所以选项C 正确;对于选项D,因为函数y=2x是R上的增函数,则“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件,所以选项D 错误。故选C。

综上可知,能否准确作答常用逻辑用语问题取决于与之关联的知识是否掌握牢固。而与之综合的知识一般都是较为基础的知识,所以只要明确每一种命题方向的核心问题,即可顺利解答。