关于微积分中多元函数极值教学的几点思考

马明华 李明 孙宁

摘 要：本文通过等值线和梯度分析了微积分中多元函数无条件极值点的特点和条件极值中拉格朗日乘数法的构造原理。此外，将二元函数的极值问题与一元函数相联系，将不同极值问题归结为求驻点问题。分析具体例题，利用极坐标和不等式放大将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题。

关键词：微积分；多元函数；极值

Some Thoughts on the Teaching of Extreme Values

of Multivariate Function in Calculus

Ma Minghua Li Ming Sun Ning

College of Mathematical Sciences，Harbin Engineering University HeilongjiangHarbin 150000

Abstract：In this paper，isolines and gradients are used to discuss the characteristics of extreme value points of unconditional extreme values and the principle of Lagrange multiplier method in conditional extreme values of multivariate functions.In addition，the extreme value problem of binary functions is linked to that functions of one variable，and different extreme value problems are reduced to the problem of finding stationary points.by analyzing specific examples，use polar coordinate and inequality amplification to transform the maximum value problem of a binary function into the extreme value problem of a function of one variable.

Keywords：Calculus;multivariate function；extreme values

多元函數的极值问题是微积分的重要内容，包括无条件极值与条件极值问题，其中拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的重要方法。这部分的教学内容较为抽象，在实际的课堂教学中，很多学生机械地掌握定理的内容然后去做题，缺乏对微积分本质和内涵的理解。

教材“Calculus”（James Stewart著）［3］中指出微积分的教学应该从几何、数值、代数三方面进行，称为“三原则”。本文通过等值线和梯度对多元函数的极值问题进行了分析，让学生了解到，微积分不仅有抽象严谨的逻辑推导，也有形象直观的图形解释，提高了学生的学习兴趣。此外，通过函数变量的“升维”和“降维”将二元函数的极值问题与一元函数的极值问题相关联，建立知识模块的内在联系。

1 二元函数极值问题的几何刻画

1.1 利用等值线对无条件极值问题的刻画

以二元函数z=f（x，y）为例，求出驻点以后，通过求二阶导，进一步判别该驻点是否为极值点。

定理（充分条件）［4］：设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；

（2）AC-B2＜0时没有极值；

（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

该定理的证明用到了二元函数的泰勒公式，在传统的课堂教学中一般不给出证明，也不要求学生掌握该定理的证明。学生在学完此定理内容后，做题并不存在困难，但是学生还是往往存在疑惑：为什么满足该定理对应条件的点就是极值点或不是极值点。接下来，对具体习题，应用完定理求出极值点后，再通过等值线进行解释，形象具体，更利于学生接受。

例1：求f（x，y）=x4+y4-4xy+1的极值。

解 fy（x，y）=4y3-4x=0解得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）fxx=12x2，fxy=-4，fyy=12y2。

根据定理1，可以判别对（1，1）点和（-1，-1）点取得极小值，而在（0，0）点不能取得极值。

现对几点处的等值线进行分析，由图1所示，在（1，1）点和（-1，-1）点附近，等值线呈现椭圆形，逐步靠近这两点时，函数值越来越小，因此这两点为极小值点。而（0，0）点附近等值线呈双曲线，逐渐靠近原点时，有的等值线对应的函数值越来越大（如第一象限的等值线），有的等值线对应的函数值则越来越小（如第四象限的等值线），根据极值点定义，得到（0，0）点不是函数的极值点。

图1 f（x，y）=x4+y4-4xy+1等值线

1.2 利用梯度和等值线对拉格朗日乘数法的几何解释

在条件极值拉格朗日乘数法的教学中，学生经常会有这样的问题：（1）为什么要这样构造拉格朗日函数？（2）拉格朗日乘数法求得的结果难道就是极值点或最值点了吗？

利用梯度向量和等值线进行分析，如图所示，若P点为极值点，那么它有什么性质，从极值点出发，推得的条件自然为极值点的必要条件，这就解决了第二个问题，即拉格朗日乘数法求得的满足条件的点为极值点的必要条件。在实际问题中，往往通过比较或问题的实际意义直接判别该点为极（最）大值点还是极（最）小值点。

图2 利用等值线和梯度对拉格朗日乘数法的解释

以求函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的条件极值为例，如图2所示，若P点为极值点，等值线f（x，y）=9与约束条件φ（x，y）=0表示的曲线在点P处相切，即两条曲线在点P处具有相同的切向量和法向量。接下来从法向量的角度进行讨论。

（1）利用“升维”的思想，将一元函数求法向量的问题转化为求二元函数梯度向量的问题。约束条件φ（x，y）=0可以看作是z=φ（x，y）对应的等值线，利用梯度向量与等值线的关系，法向量n1→=φ（x，y）={φx，φy}。

（2）同样利用“升维”的思想，等值线f（x，y）=9，利用梯度向量与等值线的关系，该等值线在点P处的法向量为梯度向量，函数为z=f（x，y），因此法向量：

n2→=f（x，y）={fx，fy}

则：

n1→//n2→

则：

f（x0，y0）=λg（x0，y0）

再加上约束条件，因此该点为极值点的必要条件为

f（x0，y0）=λg（x0，y0）g（x0，y0）=0（1）

（1）为从几何图形推得的取得条件极值的必要条件，表示为向量形式。现在将以上形式继续转化，将其中的梯度向量用分量的形式表示，即：

fx（x0，y0），fy（x0，y0）}=λ{gx（x0，y0），gy（x0，y0）g（x0，y0）=0

得到：

fx（x0，y0）-λgx（x0，y0）=0

fy（x0，y0）-λgy（x0，y0）=0

g（x0，y0）=0（2）

（2）为取得条件极值必要条件的数量形式。

2 问题的归一与转化

2.1 极值问题归结为驻点问题

微积分教学中，各部分之间的内容不是相互独立的，而是相互联系的，在教学中善于总结各部分内容之间的联系，将不同问题归结为同一问题，利于学生更深刻地理解微积分的内涵及本质。

在拉格朗日乘数法中，如何将数量形式（2）的结果表示成易于表示和记忆的形式？回忆一元函数的极值问題和多元函数的无条件极值问题可知，求极值都是先求驻点，再根据不同的判别方法进一步判别该驻点是否为极值点，因此考虑也将拉格朗日乘数法描述成求某一函数驻点的问题。因此构造拉格朗日函数F（x，y，z）=f（x0，y0）-λg（x0，y0）。

结果（2）即为求拉格朗日函数F（x，y，z）的驻点，如下表所示，一元函数的极值问题、多元函数的无条件极值问题和多元函数的条件极值问题的拉格朗日乘数法都可以归结为求驻点问题。

在公式中更习惯用加法表述该公式，因此将λ换为-λ，无论用λ还是-λ，表示的都是两个法向量即梯度向量的平行关系（即坐标成比例），因此对该问题的本质没有影响，这样原拉格朗日函数变为：

F（x，y，z）=f（x0，y0）+λg（x0，y0）

这样就解决了问题（1），得到拉格朗日函数的构造形式。以上分析从等值线、梯度向量入手分析，得到以向量形式（梯度向量）表示的条件极值问题的必要条件，进而再得到数量形式表示的条件极值的必要条件，层层递进，从直观到抽象，从简单到复杂，易于学生接受。

2.2 二元函数极值问题转化为一元函数极值问题

在前面条件极值拉格朗日乘数法的讨论中，通过“升维”将求法向量的问题转化为求二元函数的梯度向量。同样，通过“降维”思想，即减少自变量的个数，将多元函数的极值或最值问题转化为一元函数的极值或最值问题。接下来，以2021年考研数学一的一道题为例进行分析。

例2：设x0，y0，x2+y2kex+y恒成立，则k的最小值为（  ）。

解：该不等式可转化为（x2+y2）e-（x+y）k，设f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y），该问题转化为求f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y）在x0，y0的最大值问题。

方法1：

（1）在区域内部，即x＞0，y＞0，

fx（x，y）=2xe-（x+y）-（x2+y2）e-（x+y）=0

fy（x，y）=2ye-（x+y）-（x2+y2）e-（x+y）=0

解得x=y=0或x=y=1，其中（0，0）点在边界上，因此先求f（1，1）=2e-2。

（2）在区域边界，x=0，g（y）=f（0，y）=y2e-y，y0，该问题转化为一元函数的最值问题，y＞0时，g′（y）=0，得y=2，f（0，2）=4e-2，y=0，f（0，0）=0。

同理，在边界y=0，也转化为一元函数的最值问题，可求得区间内部驻点为x=2，f（2，0）=4e-2，端点处的值为g（0）=f（0，0）=0。

综合以上讨论，从f（1，1）=2e-2，f（0，2）=4e-2，f（2，0）=4e-2，f（0，0）=0值中找到最大值4e-2，4e-2即为k的最小值。

f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y），注意到函数表达式中包含x2+y2，因此利用极坐标进行变量替换。

方法2：

x=rsinθ，r0，0θπ2，f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y）=r2e-r（cosθ+sinθ）=r2e-2rsin（θ+π4），令g（rθ）=r2e-2rsin（θ+π4）r2e-r，则r2e-2rsin（θ+π4）r2e-r，r0，0θπ2，当θ=0或π2时等号成立。

设g（r）=r2e-r，r0，g′（r）=re-r（2-r）=0，r=2或r=0。g（0）=0，g（2）=4e-2，因此最大值为g（2）=4e-2，4e-2即为k的最小值。

方法2通过极坐标及不等式的放大将二元函数的最值问题转为一元函数的最值问题，与方法1相比，简化了计算。

參考文献：

［1］李艳娟，马丽萍.微积分里多元函数极值问题的探讨［J］.沈阳大学学报，2005（12）：9496.

［2］杨丽娜.拉格朗日乘子法几何意义的教学设计［J］.高等数学研究，2023，26（02）：4951+60.

［3］James.Stewart.Calculus［M］.第7版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］同济大学数学教研室.高等数学［M］.北京：高等教育出版社.

基金资助：2021年黑龙江省高等教育教学改革项目（SJGY20210219）；黑龙江省教育科学“十二五”规划2015年省青年专项课题（GJD1215007）

作者简介：马明华（1981— ），女，汉族，副教授，河北昌黎县人，主要从事模糊集理论和大学数学教学的研究。