平抛运动问题全解读

■江苏省镇江第一中学 白利燕 李更磊

将物体沿水平方向以一定的初速度(不为零)抛出,在忽略空气阻力的理想状况下,物体仅受自身重力作用,做平抛运动。平抛运动是初速度沿水平方向,加速度等于重力加速度g的匀变速曲线运动。深入研究平抛运动的运动规律和重要推论,掌握平抛运动常见题型的分析与求解方法是同学们在高三一轮复习过程中应该完成的主要任务。

一、平抛运动的特点

利用频闪照相、录制视频、传感器和计算机测绘等方法得到的做平抛运动的物体的轨迹如图1 所示,其运动轨迹是抛物线的一部分。根据研究平抛运动水平分运动和竖直分运动特点的实验可知,平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。做平抛运动的物体到达任意位置时,水平分位移x=v0t,竖直分位移,水平分速度vx=v0,竖直分速度vy=gt,合位移的大小s=x2+y2,合位移与水平方向间的夹角φ的正切值,合速度的大小,合速度与水平方向间的夹角α的正切值。

图1

二、平抛运动的推论

推论一：设做平抛运动的物体到达任意位置时的末速度与水平方向间的夹角为α,位移与水平方向间的夹角为φ,则总有tanα=2tanφ。

证明：做平抛运动的物体到达任意位置时,有,因此tanα=2tanφ。

推论二：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

证明：做平抛运动的物体到达任意位置时,末速度与水平方向间的夹角α的正切值,其中x'是末速度的反向延长线与x轴的交点到坐标原点的距离,即,解得,即。

推论三：做平抛运动的物体在任意相等的时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt大小相等,方向恒为竖直向下。

证明：因为做平抛运动的物体在任意时刻的水平分速度vx=v0,竖直分速度vy=gt,经过时间Δt,物体的水平分速度vx'=v0,竖直分速度vy'=g(t+Δt),所以物体的水平分速度变化量Δvx=0,竖直分速度变化量Δvy=gΔt,即物体在任意相等的时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt大小相等,方向恒为竖直向下。

推论四：在某一固定斜面上,将物体沿水平方向抛出,当其再次落到斜面上时,物体在空中运动的时间只与初速度大小有关,且初速度越大,运动时间越长。

证明：如图2所示,设将物体从倾角为θ的斜面顶端以初速度v0水平抛出,在不计空气阻力的情况下,物体经过时间t落回到斜面上时的水平分位移与竖直分位移分别为x、y,根据几何关系得,解得,因为斜面倾角θ和重力加速度g保持不变,所以物体在空中运动的时间t只与初速度v0的大小有关,且初速度v0越大,运动时间t越长。

图2

三、平抛运动的常见题型归类剖析

题型一：求平抛运动的初速度v0。

若已知平抛运动轨迹上某点的位置坐标(非原点),则根据平抛运动轨迹方程得;若已知平抛运动轨迹上某点位移s的大小和方向,则根据x=scosφ,y=ssinφ得。

例1如图3所示,将一支飞镖从倾角θ=45°的斜面底端正上方高H=1.6 m 处以一定的初速度水平抛出,取重力加速度g=10 m/s2,若飞镖打到斜面上发生的位移最小,则下列说法中正确的是( )。

图3

A.飞镖打到斜面上发生的位移与斜面成45°角

B.飞镖打到斜面上发生的位移与斜面垂直

C.飞镖的初速度大小为2 m/s

D.飞镖的初速度大小为4 m/s

解析：要使飞镖打到斜面上发生的位移最小,飞镖的位移应与斜面垂直,选项A 错误,B正确。设飞镖打到斜面上发生的水平分位移为x、竖直分位移为y,根据几何关系得,根据平抛运动轨迹方程得,解得v0=2 m/s,选项C 正确,D 错误。

答案：BC

题型二：求平抛运动的运动时间t。

若已知抛出点的高度h,则根据得;若已知平抛运动轨迹上某点速度v的大小和方向,则根据得;若已知平抛运动轨迹上某点位移s的大小和方向,则根据得。

例2如图4所示,无人机携带石块朝向倾角θ=30°的斜坡飞行。已知无人机以速度沿水平方向匀速飞行,某时刻无人机释放石块,之后无人机的飞行速度和飞行方向均保持不变,石块被释放后经过一段时间落在斜坡上。若石块落在斜坡上时的速度方向与斜面垂直,取重力加速度g=10 m/s2,则下列说法中正确的是( )。

图4

A.在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块始终位于无人机的正下方

B.在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块与无人机间的水平距离越来越大

C.石块从离开无人机至落到斜坡上所用的时间为0.1 s

D.石块从离开无人机至落到斜坡上所用的时间为0.3 s

解析：无人机始终沿水平方向做匀速直线运动,石块离开无人机后做平抛运动,根据平抛运动特点可知,石块和无人机在水平方向上做速度大小相等的匀速直线运动,因此在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块始终位于无人机的正下方,选项A 正确,B错误。当石块落在斜坡上时的速度方向与斜面垂直时,根据几何关系得, 解得t=0.3 s,选项C错误,D 正确。

答案：AD

题型三：求平抛运动的水平射程x。

根据x=v0t可知,要想求出平抛运动的水平射程x,需要先求出平抛运动的初速度v0和运动时间t。

例3取水平地面为零重力势能平面,不计空气阻力。将一质量为m的物块从离地h高度沿水平方向抛出,若物块在抛出点时的动能与重力势能恰好相等,则物块的落地点到抛出点的水平距离为( )。

A.2hB.h

解析：设物块的初速度为v0,根据物块在抛出点时的动能与重力势能相等得,解得。设物块做平抛运动的时间为t,则,解得。因此物块的落地点到抛出点的水平距离x=v0t=2h。

答案：A

题型四：求平抛运动的末速度vt。

例4将甲、乙两小球从同一斜面顶端沿同一水平方向抛出,小球甲落在斜面的中点处,小球乙落在斜面的底端,不计空气阻力,则下列说法中正确的是( )。

A.甲、乙两小球的初速度大小之比为1∶2

B.甲、乙两小球的位移方向相同

C.甲、乙两小球的末速度方向不同

解析：甲、乙两小球落在同一斜面上,则甲、乙两小球的位移方向相同,选项B 正确。根据做平抛运动的物体的末速度与水平方向间夹角的正切值总是位移与水平方向间夹角正切值的2倍可知,甲、乙两小球的末速度方向也相同,选项C错误。设斜面的高度为h,斜面沿水平方向的长度为l,根据平抛运动规律得,解得, 即甲、乙两小球的初速度大小之比,选项A 错误。设甲、乙两小球的末速度与水平方向间的夹角为α,根据几何关系得,变形得,即甲、乙两小球的末速度大小之比,选项D 正确。

答案：BD

总结：平抛运动四个重要推论的推导,平抛运动常见题型的分析与求解都是基于平抛运动的特点,结合数学知识得出的。另外,物体做平抛运动的时间由抛出点的高度决定,抛出点离地面越高,物体的运动时间越长;物体做平抛运动的水平射程由抛出点的高度和初速度共同决定,抛出点离地面越高、初速度越大,水平射程越大。同学们在高三一轮复习的过程中,应该在理解的前提下,熟练掌握平抛运动的特点、推论,灵活选用平抛运动规律,结合动力学知识和数学方法求解各种类型的问题。